奥数因式分解

1、.一、常用公式：序号公式 特征(1) 常数 两数 x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b)1(2) 一次 系数两数和（十字相乘法）(3) 二次 系数 12a2-b 2 = (a-b)(a+b)（平方差公式）a2+2ab+b2 = (a+b)23a2-2ab+b 2 = (a-b)2（完全平方公式）a2+b 2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)24（完全平方公式 展）a3+3a2b+3ab2 +b3 = (a+b)35 a3-3a2b-3ab 2+b3 = (a-b)3（完全立方公式）a3+b 3 = (a+b)(a2-ab+b2)6a3-b 3 = (a-b)(a

2、2+ab+b2)7a3+b 3+c3-3abc = (a+b+c)(a2 +b2+c2 -ab-ac-bc)(1) 三数平方和(2) 两两 的 2 倍 照完全平方公式相互加 (1) 近似完全平方公式(2) 缺 之完全立方公式(a+b)(a+b) 2-3ab=(a+b) 3-3ab(a+b)(a-b)(a+b) 2+3ab=(a-b) 3+3ab(a+b) 照公式4 相互加 (1) 短差 和；89an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2 +abn-2+bn-1) （平方差公式 展）an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2 -+abn-2-bn-1) （

3、立方差公式 展）n=整数(2) a 指数逐 减1 ；(3) b 指数逐 增 1；(4) 式每 指数和恒等于n-1。(1) 短式 加 式加减相 ；n=偶数(2) a 指数逐 减1 ；(3) b 指数逐 增 1；(4) 每 符号 b 指数决定偶加奇减。an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)n=奇数 比公式 9 的异同10（立方和公式 展）公式 1 ：第一 第二 第三 第四 第五 x2+6x+52x2+8x-10x3-8x2+15x2x2-x-3x2+2xy-15y2x2-x+423x2+3x-36x3+20x2+51x-3x2+11x-6x3+2x

4、2y-15xy2x2+2x-355x2-10x-15x3-12x2+32x-4x2-8x-32x2-xy+3y2x2+4x-457x2-35x+42x3-11x2+30x6x2-2x-84x2-2xy+2y2二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分 分解法4、十字相乘法5、拆 、添 法.三、例题讲解1、提取公因式法例 1x(a-b)2n+y(b-a)2n+1提示： (b-a)2n=(a-b)2n, (b-a)2n+1=-(a-b) 2n+1解：原式 =(a-b)2nx-y(a-b)=(a-b) 2n(x-ay+by)例 2 (ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2

5、提示：先展开再合并同类项解：原式 =a2x2 +2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2 x2 +c2y2+c2x2（原式展开）=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2（合并同类项）=(a2+b2+c2)(x2+y2)（提取公因式）2、运用公式例 1 x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低（2 或 3 最佳）解：原式 =xy(x6-y6)（提取公因式）=xy(x3)2-(y3)2（公式 2：平方差公式）=xy(x3-y3 )(x3+y3 )（公式 6：立方和 / 差公式）=xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)例

6、 2 (a+2b+c)3-(a+b)3 -(b+c)3 提示：第一个多项式为另外两个多项式之和原式 =(a+2b+c)3-(a+b)3+(b+c)3（添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2（应用立方和公式展开）=(a+2b+c)(a+2b+c)2-(a+b)2+(a+b)(b+c)- (b+c)2（提取公因式a+2b+c 形成平方差公式）=(a+2b+c)(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (b+c)2（提取公因式b+c）=(a+2b+c)(b+c)(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c)（合并化简

7、）= 3(a+b) (b+c) (a+2b+c)例 3 若 x=2 + 2 ， y=2 - 2 ，则 x6+y6 的值是：解： x6+y6 =(x2)3+(y2)3=(x2+y2)(x2)2-x2y2+(y2)2（应用立方和公式）=(x2+y2)(x2+y2)2 -3x2y2（应用完全平方公式） x2+y2=(2 + 2)2+(2 - 2)2=4, 3x2y2=3 (2 + 2)2 (2 - 2)2=6 x6+y6=4 (42 6)=403、分组分解法提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。1)按系数分组例 2ax-10ay+5by-bx= (2ax-1

8、0ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b) (x-5y)2)按字母分组例 x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y 3(b+1)=ax3 +x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3（去括号）= ax3 -axy(x-y)+bxy(x-y)+by 3+x 3+y3（适当分组）.=(ax3-ax2 y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3)（去括号化简）222222=ax(x -xy+y )+by(x -xy+y )+(x+y)(x -xy+y )（提取公因式及应用立方和公式）22=( x -xy+y )(ax+by+x+y)3

9、) 按次数分组例 (xy-1) 2+(x+y-2)(x+y-2xy)=(xy-1)2+(x+y)-2)(x+y)-2xy（分组）=(xy-1)2+(x+y)2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy（多项式相乘）=(xy-1)2+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)+4xy（提取公因式整理）=(xy-1)2 +4xy +(x+y)2-2(x+y)(xy+1)（再次分组）=(xy)2-2(xy)+1+4(xy)+ (x+y)2-2(x+y)(xy+1)（完全平方公式展开）=(xy+1)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y)2（合并后得到新的完全平方）=(xy+1)-(x+y)2（再次应用完全

10、平方公式）=(xy-x-y+1)25、添拆项法例 1x5+x+1提示：原因无法直接应用任何公式，可通过添加-x2+x2 后分组应用公式原式 =(x5-x2)+(x2+x+1)（添加 -x2+x2 后分组）=x2(x3-1)+(x2 +x+1)（提取公因式）=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)（应用立方差公式）=(x2+x+1)x2(x-1)+1（提取公因式）=(x2+x+1)(x3-x2+1)例 22x4-15x3+38x2-39x+14提示：把 -15x3拆成 -13x3 和 -2x3，把 38x2 拆成 13x2 和 25x2，把 -39x 拆成 -25x 和 -14x，分组

11、提取公因式原式 =2x4-2x3-13x3+13x2+25x2-25x-14x+14（拆项分组）=2x3(x-1)-13x2(x-1)+25x(x-1)-14(x-1)（各自提取公因式）=(x-1)( 2x3-13x2+25x-14)（提取公因式 x-1）=(x-1)( 2x3-7x2-6x2 +21x+4x-14)（再次拆项）=(x-1)x 2(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7)（分组各自提取公因式）=(x-1)(2x-7)(x2-3x+2)（提取公因式 2x-7）=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2)（对进行 x2-3x+2 十字相乘分解）=(x-1)2(x-2)(2x-7

12、)真题精解：1） 已知多项式ax3+bx2+cx+d 除以 x-1 时的余数是1，除以 x-2 时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？（第12 届“希望杯”试题）解：设原式 =(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当 x=1 时，原式 =1，即 m+n=1；当 x=2 时，原式 =3，即 2m+n=3 ，解此关于m、n 的方程组得m=2,n=-1 ，故原式除以 (x-1)(x-2)时的余数为x-12） k 为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）解：原式中不含y 的项为 x2+3x+2 可分解为(x

13、+1)(x+2)，故可设原式 =(x+1)+ay(x+2)+by ，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得： a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得 a=-3,b=1,k=-3 3） 如果 x3+ax2+bx+8 有两个因式 x+1 和 x+2，求 a+b 的值。（美国犹他州中学竞赛试题）解法 1：设原式 =(x+1)(x+2)(x+k)，展开后得： x3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k，对比原式系数得a=3+k, b=3k+2, 8=2k，.所以 a+b=4k+5=16+5=21解法 2：因当 x=-1 或 x=-2 时，原式

14、 =0，分别代入后得a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得 a=7, b=14，故 a+b=14真题实练：1下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）a. (x+1)(x-1)=x2b. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)c. ab-a-b+1=(a-1)(b-1)d. m2-2m-3=m(m-2-3/m)（第 8 届“希望杯”试题） （提示： 本题简单，因式分解的概念）2下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有（） a2b2-a2-b2-1x3 -9ax2+27a2 x-27a3 x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b 3m(m-n)+6n(n-m) (x

15、-2)2+4xa.b. c. d. （第 10届“希望杯”试题） （提示： 立方差公式、提取公因式，但排除法最快）a-b3设 b c，且满足 (3 + 1)(a-b)+2(b-c)=a-c，则 b-c 的值（）a.大于零b. 等于零c. 小于零d. 正负号不确定（第 12届“希望杯”试题） （提示： 按 (a-b)和 (b-c)重新整理分组合并）4已知 x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）a.3 个b. 4 个c. 6 个d. 8 个（第 7 届“希望杯”试题） （提示：对-12 以十字相乘法拆分穷举）5y-2x+1 是 4xy-4x2 -y2-k 的一个因式，则k 的值是（）a. 0b. -1c. 2d. 4（第 14届“希望杯”试题） （提示： 完全平方 +平方差）6将多项式 x2-4y2-9z2-12yz 因式分解结果是（）a. (x+2y-3z)(x-2y-3z)b. (x-2y-3z)(x-2y+3z)c. (x+2y+3z)(x+2y-3z)d. (x+2y+3z