基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

1、最新 料推荐专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：a2b22ababa 2b2(a、br)，2当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；ab2ab2abab(、br)，当且仅当 a = b 时， “ =号”成立；2a a3b3c33abcabca3b3c3( 、 、r)，3ab c当且仅当 a = b = c 时, “ =号”成立；3 abc33abcabcabc(a、 b、cr ),当且仅当 a = b = c 时 , “ =号”成立 .3注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正 ”、二 “定 ”、三 “等 ”；222 熟悉一个重要的不等式链：ababa b。1

2、122ab二、函数f()axb( 、b0)图象及性质xxayb(1)函数 f (x)axa、 b0图象如图：bx2 abxaob2 abb(2)函数 f (x)axa、 b0性质：ax值域： (,2ab 2ab ,) ；3x1 x111)21315，3222(x22当且仅当 x112( x1) 即 x2 时， “= ”号成立，故此函数最小值是5 。22( x1)2评析： 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型：求几个正数积的最大值。例 2、求下列函数的最大值： yx2 (32x)(0x3) ysi

3、n 2 x cos x(0x)322解析： 0x0，,3 2 x23 ) xx(32 x) 3 yx2 (32 x)(0xxx (32 x)1 ，当且仅当 x32x 即 x 123时， “= ”号成立，故此函数最大值是1。0x2, sin x0,cos x0 ，则 y 0，欲求 y 的最大值， 可先求 y 2 的最大值。y24222212221sin2 xsin2 x2cos2 x 34sinx cos xsin x sin x cos x(sin x sin x 2cos x)(3),222722x)tan x2 ，即 xarc tan 2时 “= ”号成立，故当且仅当 sin x2cos

4、x (022 3此函数最大值是。评析： 利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型：用均值不等式求最值等号不成立。单调递增区间： ( ,b ， b ,) ；单调递减区间： (0,b ， b , 0) .aaaa三、用均值不等式求最值的常见类型类型：求几个正数和的最小值。例 1、求函数 yx1(x1)的最小值。22( x1)解析： y x1(x1)(x1)11(x 1)x 1x 111(x 1)222222(x1)2( x 1)2(x 1)例 3、若 x、 yr ，求 f ( x)x41)的

5、最小值。(0 xxb (a、b 0)解法一 ：（单调性法）由函数f (x) ax图象及性质知，当4xf ( x )xx1 , x2(0,1 且 0x1x21 ，则是减函数。证明：任取xf ( x1 )f ( x2 )( x1 x2 )( 44 )( x1x2 ) 4 x2x1( x1 x2 )x1x2x1 x2x(0,1时，函数x1x24，x1x21最新 料推荐 0 x1 x21 ， x1x20, x1x240 ，则 f ( x1 )f ( x2 )0f ( x1 ) f ( x2 ) ，x1x2即 f ( x)4在 (0,1上是减函数。故当 x1时， f ( x)x4x在 (0,1上有最小值

6、 5。xx解法二 ：（配方法）因 0x1，则有 f ( x)42x)24，x(xx8sin2x8解法三 ：（三角换元法）令xx2x则有sin1cos2x1yy2xcos则： x2y828csc2 x 2sec2 x8(1 cot2 x) 2(1 tan2 x) 10 8cot 2 x2tan2 xsin2 xcos2 x10 222，易求得 x12, 此时 y 3 时 “= ”号成立，故最小值是18。(8cot x) (2tan x)18易知当 0 x 1时，2x0且单调递减，则f (x)( 2x)24在 (0,1上也是减函数，xx即 f (x) x4 在 (0,1上是减函数，当x1 时， f

7、 (x)x4在 (0,1上有最小值 5。xx解法三 ：（拆分法）f (x)x4 (0 x 1)(x1)32 x135 ，xxxx1当且仅当 x1 时 “=号”成立，故此函数最小值是5。评析： 求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型：条件最值问题。例 4、已知正数 x、 y 满足 811 ，求 x2y 的最小值。xy解法一 ：（利用均值不等式）x2 y(81 )(x 2y)10x16y10 2x 16y18,xyyxyx811当且仅当xy即 x12, y3时 “= ”号成立，故此函数最小值是18。x16 yyx解法二 ：（消元法）由

8、811 得 yx0x0又 x0x 8 ，则xyx，由 yx88x 2 y x2xx2(x8)16 x216(x 8)16102(x 8)161018。x 8x8x8x8x 8当且仅当 x816 即 x12,此时 y3 时 “= ”号成立，故此函数最小值是18。x8评析： 此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：x 2 y ( 81 )(x2 y)281x 2y8 。原因就是等号成立的条件不一致。xyxy类型：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例 5、已知正数 x、y 满足 xyx y3 ，试求 xy 、 xy 的范围。解法一 ：由 x0, y0 ，则

9、xyxy3xy3 xy2xy ，即 (xy)22xy30 解得xy1( 舍 ) 或 xy3 ，当且仅当 xy且xy x y3即 xy 3时取 “= ”号，故 xy 的取值范围是 9,) 。又 xy3xy( xy)2(xy)24(xy)120xy2(舍 )或 xy6 ，2当且仅当 xy且xyxy3 即 xy3时取 “= ”号，故 x y 的取值范围是 6,) 。解法二 ：由 x0, y0 ， xyxy3( x1) yx3知 x1，则： yx3 ，由 y 0x30x 1 ，x1x1则： xy xx3x23x(x1)25(x1) 4(x 1)452(x 1)459 ，x1x1x1x 1x1当且仅当

10、x1x4( x0)即 x3 ，并求得 y3时取 “=”号，故 xy的取值范围是 9,) 。1x3xx14x41 (x 1)442 6 ，x y xx1x 1x1x2 2 (x 1)11x当且仅当 x1x4( x0)即 x3 ，并求得 y3时取 “= ”号，故 xy的取值范围是 9,) 。1评析： 解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。2最新 料推荐四、均值不等式易错例析：例 1. 求函数 yx4x9的最值。x错解： yx4 x9x213 x3613x36132 x3625xxxx当且仅当 x36 即 x6时取等号。所以当x6时， y 的最小值为25，此函数没有最大

11、值。x分析： 上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数 yx4x9的定义域为， 00，所以须对 x 的正负加以分类讨论。x正解： 1）当 x0 时， y13x36132x 3625xx当且仅当 x36 即 x6 时取等号。所以当x6 时， ymin25x2）当 x0 时，x 0，360 ，x362x36xx12xy13(x) (36)1312136 ，即 xx当且仅当x6时取等号，所以当x6 时， ymax13 12 1.x9例 2. 当 x0时，求 y4x的最小值。x 2错解：因为 x0， y4x996x 22 4x2xx所以当且仅当 4x9 即

12、 x3 9 时， ymin623 18 。x24x分析：用均值不等式求“和 ”或 “积 ”的最值时， 必须分别满足 “积为定值 ”或 “和为定值 ”，而上述解法中 4x 与 9 的积不是定值，导致错误。x2正解：因为 x 0， y4x993933 362x 2x3 2x2 xx 2x 2x 2当且仅当 2x9336x3363。x2 ，即 x时等号成立，所以当时， ymin3 3622例 3. 求 yx 25 ( x r) 的最小值。x24错解： 因为 yx 25x 24142x 2412 ，所以 ymin 2x 24x 2x 24分析： 忽视了取最小值时须x 241成立的条件，而此式化解得 x

13、23 ，无解，所x 24以原函数 y 取不到最小值 2 。正解： 令 tx24t 2，则 yt1 (t2)t又因为 t1时， yt1 是递增的。所以当t2 ，即 x0时， ymin5 。t2例 4.已知 x, yr且141，求uxy 的最小值 .xy错解：144xy4, uxy2xy8,u 的最小值为 8 .1yxyx分析： 解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为14y ，而这两个式子不能同x和 xy时成立，故取不到最小值8.正解： u( xy)( 14 )54xy549xyyx当且仅当 4xy 即 x3, y6 时等号成立 .u 的最小值为9.yx综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

14、一要正：各项或各因式必须为正数；二可定： 必须满足 “和为定值 ”或 “积为定值 ”，要凑出 “和为定值 ”或 “积为定值 ”的式子结构， 如果找不出 “定值 ”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：凑项例 1：已知 x5y 4 x 21的最大值。，求函数4 x 543最新 料推荐解：因 4x50 ，所以首先要“调整”符号，又(4 x1不是常数，所以对4x2 要进行2)54 x拆、凑项，x5 ,5 4x0 ，y 4x 2154x513231，44x54x当且仅当 54x1，即 x1 时，上式等号成立，故当x1 时， yma

15、x1。54x技巧二：凑系数例 2. 当时，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2 x (8 2x)8 为定值，故只需将y x(8 2x) 凑上一个系数即可。当，即 x 2 时取等号当 x 2 时， yx(8 2x) 的最大值为 8。技巧三 ： 分离例 3. 求 yx27x 10 (x1) 的值域。x 1解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项，再将其分离。当,即时 , y2 （ x 1)4（当且仅当 x 1时取“”号）。5 9x1技巧四 ：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x 1，化简原

16、式在分离求最值。(t27(t）t25t441)1 +105yt=ttt当,即 t=时 , y2t49 （当 t=2 即 x1时取“”号）。5t技巧五： 在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 f ( x) xa的单调性。x例：求函数yx25x2的值域。4解：令x24t (t2) ，则 yx25x 241t1 (t 2)x24x24t因 t 0,t 11 ，但 t1解得 t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。t1t5因为 yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。t2所以，所求函数的值域为5 ,。2技巧六：整体代换： 多次连用最值定理求最值时，要注意

17、取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。2：已知 x0, y191 ，求 xy 的最小值。0 ，且yx解： x 0, y0, 1 91，x yx y1 9y 9 x 10 6 10 16xyxyxy当且仅当y9 x时，上式等号成立，又191 ，可得 x4, y12时， xy16 。xyxymin巩固练习：1、已知： x2y 2a, m 2n2b 且 ab ，则 mxny 的最大值为 ()(a)abab(c)a 2b2(d)a 2b2(b)2222、若 a, x, yr，且xyaxy 恒成立，则a 的最小值是 ()(a) 22(b)2(c)2(d)13、已知下列不等式：x332x( xr) ；

18、a5b5a3b 2a2 b3 (a, br) ； a 2b 22(ab 1) .其中正确的个数是 ()(a)0 个(b)1 个(c)2 个(d)3 个4、设 a,br，则下列不等式中不成立的是()(a) ( ab)( 11)4 (b)a 2b 22ab(c)ab12(d)2abababababa b5、设 a,br且 2ab1, s2ab4a2b2 的最大值是 ()(a) 2121(c)21(d)21(b)226、若实数 a, b 满足 ab2 ，则 3a3b 的最小值是 ()(a)18(b)6(c) 23(d) 24 37、若正数 a, b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是.8、若

19、x, yr,且2xy1，则11的最小值为.基本不等式xy知识点：1. (1) 若 a,b r ，则 a2b22ab (2)若 a,br ，则 aba 2b2（当且仅当ab 时取2“ =”）2. (1) 若 a, br* ，则 abab (2) 若 a, br * ，则 ab2ab（当且仅当ab 时取24最新 料推荐“ =”）r* ，则 abab2( 当且仅当 ab 时取“ =”）(3) 若 a,b23. 若 x0 ，则 x12(当且仅当x1=时取“ ”）x若 x0 ，则 x12( 当且仅当 x1时取“ =”）x若 x0 ，则 x12即 x12或 x1-2 (当且仅当 a b 时取“ =”）xx

20、x4. 若 ab0 ， 则 a b2( 当 且 仅 当 ab 时 取 “ = ” ） 若 ab0 ， 则b aab2即2或a- 2当且仅当ab时取“ =”）abb (bababa5. 若 a, br ，则 ( ab ) 2a 2b2（当且仅当 ab 时取“ =”）22注意：(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2) 求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域11（ 1） y 3

21、 x 2（ 2 ） y x2 x 2x1216 值域为 6 ， + ）解： (1)y 3x 2 23x 222x2x11(2) 当 x0时， y x2x2 ；xx111当 x0时， y x=（ x）2x= 2xxx值域为（， 2 2 ， + ）解题技巧技巧一：凑项例已知 x51的最大值。，求函数 y 4x 24x45解：因4 x50 ，所以首先要“调整”符号，又(4 x 2)1不是常数，所以对4 x2 要进4 x5行拆、凑项，x5 , 5 4x 0 ，y 4 x 2155 4 x132 3 144 x5 4x当且仅当 54x1，即 x 1时，上式等号成立，故当x 1时， ymax1。4x5技巧

22、二：凑系数例： 当时，求 yx(8 2x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。 注意到2 x(8 2x)8为定值， 故只需将 yx(82x) 凑上一个系数即可。当，即 x 2时取等号当 x2 时， yx(82x) 的最大值为 8 。变式：设 0x34x(32x) 的最大值。，求函数 y232解： 0x2x0 y4 x(32 x)2 2 x(32 x) 2 2x 3 2x93222当且仅当 2x3 2x, 即 x30, 3时等号成立。42技巧三：分离技巧四：换元例：求 yx27x 10 ( x1) 的值域。x 1解析一：

23、本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x 1 ）的项，再将其分离。5最新 料推荐当,即时 , y2 （ x1)459（当且仅当 x1 时取“”号）。1x解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x 1 ，化简原式在分离求最值。y(t27(t）= t25t4t451)1 +10ttt当,即 t=时, y 2t459（当 t=2 即 x 1时取“”号）。t技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f ( x) xa的单调性。x例：求函数 yx25的值域。x24解：令x24t (t2) ，则 yx25x241t1x2x 2(t 2)44t因 t0,t 11 ，但 t1 解得 t1不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为 yt1在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故5ty。2所以，所求函数的值域为5 ,。2技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取