甘肃2024年冬季高中学业水平合格考数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）甘肃省2024年普通高中学业水平合格性考试试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．若复数（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．已知，，则（

）A． B． C． D．4．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．5．下列各式值为的是（

）A． B．C． D．6．函数的零点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．37．2024年10月16日，习近平总书记在给中国国际大学生创新大赛参赛学生代表的回信中指出：“创新是人类进步的源泉，青年是创新的重要生力军.”某校特举办了创新知识竞赛，随机抽取100名同学，将他们成绩（单位：分）的数据绘制成如图所示的频率分布直方图.请根据此图，判断下列统计数据为70（单位：分）的是（

）A．中位数 B．众数 C．极差 D．平均数8．用符号语言表述“一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行”正确的选项是（其中表示直线，表示平面）（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则9．设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．下列说法正确的是（

）A．“若，则”是真命题B．“”是“”的充分条件C．命题“”的否定是“”D．，使得成立12．公园里有一处扇形花坛，如图所示，小明同学从点出发，沿着线路匀速走了一圈，则在此过程中，小明到点的距离与他出发后的运动时间之间的函数图象大致是（

）A． B．C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.13．已知向量，向量，则______．14．______.15．函数的部分图象大致如图所示，则的最小正周期是______.16．在中，，则______.17．不等式的解集为______；三、解答题：本大题共3小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数(1)求的定义域；(2)求的最大值.19．中医药是中华民族的瑰宝，作为中医药文化发源地的甘肃，其中医药文化底蕴深厚，资源丰富.为了宣传中医药文化知识，学校组织了“中医文化进校园，传承国粹助成长”活动，某小组为调查高一、高二、高三学生对中医药文化的了解程度，随机向600名学生发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：人

成绩数年级高一122030362高二1012601153高三8107215060(1)若采用分层抽样的方法抽取24人参加趣味有奖活动，应从高一、高二、高三参与问卷调查的学生中各抽取多少人？(2)若从调查问卷得分不低于80分的高一、高二、高三学生中随机抽取3人参加中医药文化知识竞赛，求至少有1名高一学生被抽取的概率，20．如图，在正三棱锥中，．(1)若点是棱的中点，求证：平面；(2)若，求三棱锥外接球的表面积．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．D【详解】.2．A【详解】集合，则3．A【分析】根据正切函数值及角的范围写出对应的角.【详解】∵，∴，又，∴.故选：A.4．C【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为.【详解】连结、，如下图：在正方体中，且；四边形为平行四边形，则；又在正方体中，为等边三角形，就是异面直线与所成角,，异面直线与所成角的大小为.故选：C.5．A【详解】，A对；，B错；，C错；，D错．6．C【详解】当时，令，解得；当时，令，解得，则函数的零点个数为2.7．A【分析】根据频率分布直方图，分别计算出众数、中位数、平均数及极差，进而判断即可.【详解】对于A，由频率分布直方图可知，组距为，各组的频率分别为：的频率为；的频率为；的频率为；的频率为；的频率为；的频率为.前三组的频率之和为，因为前三组频率和恰好为，所以中位数约为，故A正确.对于B，众数是最高矩形底边的中点值，即，故B错误.对于C，极差为最大值与最小值的差，极差约为，故C错误.对于D，平均数为各组中点值与对应频率乘积之和，即，故D错误.8．D【详解】A选项，符号使用错误，直线在平面内，用“”表示，A错；B选项，缺少了关键条件“”（即过该直线的平面），B错；C选项，与题目条件“过该直线的平面（即）”矛盾，C错；D选项，符号使用正确，D对．9．B【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性判断结论的正误.【详解】函数是定义在上的偶函数，则对任意，恒有，已知偶函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减.选项A：由偶函数性质得，错误；选项B：由偶函数性质得，在区间上单调递增，因为，故，正确；选项C：由偶函数性质得，在区间上单调递减，因为，故，错误；选项D：由在区间上单调递减，因，故，错误.10．A【详解】法：根据三角函数图像平移规则（对左加右减）逐项分析，对于，函数的图象向左平移个单位长度得，，符合题意；对于，函数的图象向左平移个单位长度得，，不符合题意；对于，函数的图象向右平移个单位长度得，，不符合题意；对于，函数的图象向右平移个单位长度得，，不符合题意．法：设函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数解析式为，依题意所以，，当时，对应选项．11．C【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，，但不满足，即不能推得，故B错误；对于C，含量词的命题否定，改变量词，否定结论，的否定为，故C正确；对于D，，解得，故不存在，故D错误.12．D【详解】小明同学从点出发，第一段沿着线路匀速走，此时小明到点的距离不变，第二段沿着线路匀速走，此时小明到点的距离均匀减小直到为，第三段沿着线路匀速走，此时小明到点的距离从开始均匀变大，选项D满足条件.13．【详解】由于，，故．14．【详解】.15．【详解】由图象可知，相邻两零点间的距离为半个周期，即，解得.16．【详解】在中，由余弦定理得，，故.17．【分析】根据分式不等式的解法求解即可.【详解】解：将不等式变形为，通分得：，即：，解得：或故答案为：【点睛】本题考查分式不等式的解法，是基础题.18．(1)(2)【分析】（1）根据对数函数的定义及一元二次不等式的解法求解即可.（2）通过配方求内层二次函数的最大值，结合对数函数的单调性求原函数的最大值即可.【详解】（1）令，即，解得，故的定义域为.（2）令，，因为，所以.又在上单调递增，所以.即的最大值为2.19．(1)应从高一、高二、高三参与问卷调查的学生中分别抽取4人、8人、12人；(2)．【分析】（1）依据分层抽样的等比例原则，先计算各年级总人数，再结合抽样比，求出各年级抽取人数；（2）先计算得分不低于80分的学生总人数，再采用对立事件转化的思路，将复杂问题“抽取的3人中至少有1名高一学生”转化为“抽取的3人中没有高一学生”，利用组合公式计算古典概型概率，再借助对立事件概率公式求解即可．【详解】（1）分层抽样的抽样比为抽取总人数与总样本量的比值，即，

高一总人数，抽取人数，高二总人数，抽取人数，高三总人数，抽取人数，所以采用分层抽样的方法抽取24人参加趣味有奖活动，应从高一、高二、高三参与问卷调查的学生中分别抽取4人、8人、12人；（2）得分不低于80分的学生总人数为高一2人、高二3人、高三60人，合计人，设事件为“抽取的3人中至少有1名高一学生”，其对立事件为“抽取的3人中没有高一学生”，即从高二、高三的63名不低于80分的学生中抽取3人，根据古典概型概率公式，，所以抽取的3人中至少有1名高一学生的概率为．20．(1)证明：在正三棱锥中，，故是正四面体，各条棱长均相等，又点是棱的中点，所以，，而