求数列通项公式的6种方法

1、.求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的7 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于：an 1anf (n) - 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例 1已知数列 an

2、 满足 an 1an2n1， a11，求数列 an 的通项公式。解：由 an 1an2n1得 an 1an2n1 则an (anan 1 ) (an 1an 2 )(a3a2 ) (a2a1) a12( n1)12( n2) 1(22 1)(2 1 1) 12(n1)(n2)21(n1)12 (n1)n(n1)12(n 1)(n1)1n2所以数列 an 的通项公式为 ann2。.例 2已知数列 an 满足 an 1an23n1， a13 ，求数列 an 的通项公式。解法一：由 an1an2 3n1得 an1an2 3n1则an( anan 1 ) (an 1an 2 )(a3a2 ) (a2

3、a1 ) a1(23n1 1)(23n21)(2321)(2311)32(3n13n23231 )(n1)32 3(13n 1 )(n1)3133n3n133nn1所以 an3nn1.解法二： an 13an23n1两边除以3n1 ，得 an1an21，3n13n33n1则an1an213n 13n3n 1 ，故3ananan 1an 1an 2an 2an 3a2a1a1n(n) (n 2 )(n 2n 3 )( 21 )333 an 1an 13333 32121(21213(n )(n 1 )3n 2 )(2 )333333332(n1)1111113(nnn1n22 )333331n1

4、因此an2(n1)3n(13)12n11，3n3133223n则 an2 n 3n1 3n1 .322练习1. 已知数列an的首项为1 ，且 an 1an2n(nn * ) 写出数列an 的通项公式 .答案： n 2n1anan 11(n2) an a3n( n1)练习2. 已 知数 列满足， 求此 数列的 通项 公式 .1an21答案：裂项求和n.评注：已知a1aan 1anf (n)，其中 f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函,数、分式函数，求通项an .若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;

5、若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于： an 1f (n)an- 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。an 1a2a3f (2)，an1f (n)2若f (n) ，则f (1)，ana1a2anan 1n两边分别相乘得，a1f (k )a1k1例 4.设 an是首项为 1的正项数列，且n 1 an21 na n2an 1 an 0 （ n =1 ， 2， 3，），则它的通项公式是an =_.解：已知等式可化为：( an 1an ) (n 1)an 1 nan0an 1nan0

6、( n n * )(n+1) an 1na n 0 , 即 ann 1ann 1n2 时， an 1nanan 1a2a1n 1 n 211an1an 1an 2a1= n n 12= n .评注： 本题是关于an 和 an 1 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an 与 a n 1 的更为明显的关系式，从而求出a n .练习 .已知 (n1)an 1nan , a11 ,求数列 an 的通项公式 .三、待定系数法适用于 an 1qanf ( n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如an 1cand , (c0

7、 ,其中 a1 a )型例 6 已知数列 an 中， a11,an2an 11(n2) ，求数列an 的通项公式。解法一：an2an 11(n2),an12(an 11)又a112,an1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列an 1 2n ，即 an 2n1解法二：an2an 11(n2),an 12an1两式相减得 an 1an2( anan 1 )(n2)，故数列an 1 an 是首项为2，公比为2 的等比数列，再用累加法的 an 中， a12, an 11an1, 求通项 an 。练习已知数列22an (1) n 11答案：2a n1panq n(其中 q 是常数，且 n0,1)2形如

8、：若 p=1 时，即： a n 1anq n ，累加即可 .若 p 1 时，即： an 1panq n ，.求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以pn 1 .目的是把所求数列构造成等差数列a n 1an1 ( p) nbnanbn 1bn1 ( p ) n即：p n 1q np q,令p np q1，累加求通项 .，则,然后类型ii. 两边同除以 q n 1 . 目的是把所求数列构造成等差数列。an 1pan1即：q n 1qq nq,bnanbn 1p1q nbn令,则可化为qq .然后转化为类型5 来解，iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设a n 1q n 1p(an

9、pn )，转化为等比数列求通项 .通过比较系数，求出注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列 an满足an 1 2an4 3n 1， a11，求数列an的通项公式。解法一（待定系数法） ：设an 113n2 (an3n 1 )，比较系数得14,22，则数列an 4 3n1是首项为 a14 31 15 ，公比为2 的等比数列，所以 an4 3n 15 2n 1 ，即 an4 3n 15 2n 1q n 1an12an4解法二（两边同除以）： 两边同时除以3n 1得： 3n133n32，下面解法略p n 1an 1an4(3)n解法三（两边同除以）： 两边同时除以2

10、 n 1得： 2n 12 n32，下面解法略*3 形如 a n 1panknb(其中 k,b 是常数，且 k 0 )例 8在数列 an 中， a11, an 13an 2n, 求通项 an .（逐项相减法）解：， an 13an2n,.n 2 时， an3an 1 2( n 1) ，两式相减得 an 1 an3(an an 1 )2 .令 bnan 1a n ,则 bn3bn 12利用类型 5 的方法知 bn5 3n 12即an 1an5 3n 11an53n 1n1a n53n 1n1再由累加法可得22 . 亦可联立 解出22 .*5. 形如 an 2pan 1qan 时将 an 作为 f

11、(n) 求解分析：原递推式可化为an 2an 1( p)(an 1an ) 的形式，比较系数可求得，数列an 1 an 为等比数列。例 11 已知数列 an 满足 an 25an 16an , a11,a22 ，求数列 an 的通项公式。解：设an 2an 1 (5)(an 1an )比较系数得3 或2 ，不妨取2 ，（取 -3 结果形式可能不同，但本质相同）则an 22an 13(an12an )，则an 12an是首项为4，公比为3 的等比数列an 12an4 3n 1，所以 an4 3n 15 2n 1练习 .数列 an 中，若a18, a22,且满足an 24an 13an 0,求an

12、.答案：an113n .四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 16已知数列 an 满足 an 12an, a1 1 ，求数列 an 的通项公式。an2解：求倒数得111 ,111 ,11 为等差数列，首项11 ，公差为1 ，an 12anan 1an2an 1ana1211 ( n1),an2an2n 1.五、由和求通项已知数列 an 的各项均为正数，且前n项和sn满足 s 3n22n, a2 求数列 an的通项公式。n1例 19 已知数列 an 的各项均为正数，且前n 项和 sn 满足 s1 (an1)(an2) ，且 a2 , a4 , a9 成n6等比数列，求数列 an 的通项公式。解：对任意 nn有 sn11)(an2)(an6当 n=1 时， s1a11 ( a11)(a12) ，解得 a11或 a1 26当 n2 时， sn 11(an 1 1)(an 12)6 -整理得： (anan 1)( anan13) 0 an 各项均为正数， anan13当 a11时， an3n2 ，此