第四讲——整式的乘除与因式分解讲义

1、.整式的乘除与因式分解一、基础知识1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：2a 2bc 的 系数为2 ，次数为 4，单独的一个非零数的次数是0。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如： a 22abx 1，项有 a 2、 2ab、 x 、1，二次项为 a2 、 2ab ，一次项为 x ，常数项为 1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为 1，-2， 1，1，叫二次四项式。3、整式：单项式和多项式统称整式。注意

2、：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、同底数幂的乘法法则：a m a na m n （ m, n 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。5、幂的乘方法则： (am ) na mn （ m, n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方法则可以逆用：即a mn( am ) n(a n )m6、积的乘方法则：(ab) nan b n （ n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。7、同底数幂的除法法则： a ma nam n （ a0,m, n 都是正整数， 且 mn)同底数幂相除，底数不变，指数相减。.8、零指数和负指数；a

3、 01 ，即任何不等于零的数的零次方等于 1。ap1p （ a 0, p 是正整数），即一个不等于零的数的p 次方等于这个a数的 p 次方的倒数。9、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。10、 单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相

4、加，即 m(a b c)ma mb mc ( m, a,b,c 都是单项式 )注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。11、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘， 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。.12、平方差公式： (ab)(ab)a 2b2公式特征：左边是两个二项式相乘， 并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。13、完全平方公式： (ab) 2a 22abb2公式特征：左边是一个二项

5、式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。注意：a 2b 2(ab) 22ab(a b)22ab( ab) 2(ab)24ab( ab) 2(ab)2(ab) 2(a b) 2(ab) 2(ab) 214、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式15、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式

6、，在把所的的商相加。即： (ambmcm)mammbmmcmmabc16 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。1、 提公因式法 .：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的积的形式、.ma+mb+mc=m(a+b+c)（m 可以表示单项式，也可以表示多项式）2、 运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b22 2；-a -b =(a+b)(a-b)(2) (ab)2 = a2 2ab+b2 a22ab+b2=(a

7、b)2；3、分组分解法(1)分组后能直接提公因式amanbmbn=m（a+b）+n(a+b)=(a+b)(m+n)(2) 分组后能直接运用公式x 2y 2axay =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)4、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x 2( pq) xpq( xp)( xq) 进行分解。特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c，都要求b24ac 0 而且是一个完全平方数。(二) 二次项系数不为1 的二次三项式 ax 2bxc条件：（1）

8、a a1a2a1c1（2） c c1 c2a2c2（3） b a1c2a2c1b a1c2a2 c1分解结果： ax 2bx c = (a1xc1 )(a2 x c2 ).一、基础知识梳理（课前完成）（一） 整式的乘除1幂的运算性质（1） . a. m.an_ （ m ， n 都是正整数） 。例： a2 .a 3_ 。（2） . ab n_ （ n 为正整数）。例： ab 3_ 。（3） . am n_ （ m ， n 都是正整数） 。例： a2 3_。（ 4 ） .a .man_ （ a0 ， m ， n 都 是 正 整 数 ， 并 且 mn ）。 例 ：a 3a 2_ 。（5） . a0_

9、 （ a 0 ）（ 6） . a n_ （ a0 ， n 是正整数）2整式的乘法：（ 1）单项式乘以单项式： 6x 2 .3xy _ 。（2）单项式乘以多项式：x22y xy 2_ 。（ 3）多项式乘以多项式：2x 3y x 4 y _ 。3.整式的除法：（1）单项式除法： 6x 32x_ 。（2）多项式除以单项式：8x24 xy4x _ 。（二） 因式分解1分解因式的概念（ 1） .分解因式：把一个多项式化成几个_ 的形式。（ 2） .分解因式与整式乘法的关系：2分解因式的基本方法：（1） . 提公因式法：mambmc_ 。（ 2）运用公式法：（ 1 ） 平 方 差 公 式 ： a 2 b

10、2 _ ；（ 2 ） 完 全 平 方 公 式 ：a 22abb 2_ 。.二、基础诊断题101.计 算 a 4 3 的 结 果 是 （）a a7b a12c a16d a 642.计 算 ： 3ab 2 .5a 2b_ ， 9x33x2_ 。3.计 算 ：2a .1a31_ ， 2ab a b_ 。44.计 算 ： x1x1_， a3 2_ 。5 计 算 ： 3x39x26 x3x_ 。6.下列从左到右的变形是因式分解的是（）a. 2a 3b2a 3bb . x 24x 10 x 2 26c.a 3 a 3 a 29d. x 26 x 9 x 3 27. 多 项 式 x 2x 6 提 取 公

11、因 式 x 2 后 的 另 一 个 因 式 是 （）a x4b. x3c. x41d. x318.分 解 因 式 ： x 216_ _ ； x26x 9 _ 。9. 单 项 式 8a 2 b2 ， 12ab3 ， 6a2 b2 的 公 因 式 是 _.10. 分 解 因 式 ：x3 2x3_ 。三、典型例题例 1. 先 化 简 ， 再 求 值 ： 2b2a b a ba b 2 ， 其 中 a3 ， b1 。2例 2分解因式： a 3a_ _； 2x 24x 2 _ _ 。例 3.（ 1 ） 已 知 ab2 ， ab1， 则 a2 bab2 的 值 为 _ 。（ 2 ） 若 m2n1， 则 m

12、 24mn4n 2_ 。.四、达标检测题（一）基础检测91. 下 列 各 式 计 算 正 确 的 是 （）a a7 2a 9b. a7 .a 2a14c. 2a 23a35a5d.ab 3a 3b32.下列运算正确的是（）a a 2 .a4a8b.x 2 x 3x26c. x 2224d.x2a3a5a3.若 3 9m27m321 ，则 m 的值是（）a 3b.4c. 5d.64. 分解因式： x29 y2_ x22x3 _3a 212_ mn26mn9m_5.若 a2 ， a b3，则 a2ab6.在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（ ab ）（如图甲），把余下的部分拼成一

13、个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）a ( ab) 2a22abb2aabb ( ab) 2a22abb2ac a2b2( ab)(ab)bbb图甲图乙2b)( a b) a22b2d ( aab7. 先 化 简 ， 再 求 值 ： x 1 x 1 x x3 ， 其 中 x 3 （二）能力提升111（ 2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x 1 的是（）a x2 1b x （ x 2）+（ 2 x）c x 2 2x+1d x 2+2x+12（ 2014?孝感）若 a b=1，则代数式 a2 b2 2b 的值为3（ 2014?遵义）若 a+b=2， a

14、b=2，则 a2+b2 的值为（）a 6b 4c 3d 24（ 2014?襄阳）下列计算正确的是（）a. a2+a2=2a4b. 4x 9x+6x=1 c. （ 2x2y）3= 8x6y3d. a6a3=a2.5（ 2014?枣庄） 如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（ a+2）的小正方形 （ a 2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）a 222d 2a +4b 2a +4ac3a 4a 44a a 26. 先 化 简 ， 再 求 值 ：x y x y4x3 y 8xy32xy ， 其 中 x1 ， y3 。32. 下列计算正确的是（）ba.a 3 a4

15、=a7 b. a3 a4=a7c. （ a3） 4=a7 d. a6 a3=a213. 当 x=3， y=1 时，代数式（ x y）（ xy） y2 的值是 _.314. 分解因式： x2 2x3=_. （ x 3）（ x1）13分解因式：x29 =18. （ 1）计算： ( x1)22(1x)6下列各选项的运算结果正确的是a (2 x2 ) 38 x6b 5a2b 2a2b 3623d (a b)2a2b2c x xx13分解因式：22x1 =x5下列运算正确的是a a2a3=a6b ( a2) 3=a6c a6 a2=a3d2 3= 617分解因式：a2 6 +9= _.a22. (1)

16、计算： (a b)( ab)22b .5下列各式计算正确的是（）a 3x-2x=1b a2 +a2=a4c a5 a5=a7化简 5（ 2x-3 ） +4（ 3-2x）结果为（）a 2x-3b 2x+9c8x-316分解因式： a2-1= （ a+1）（ a-1） 5下列各式计算正确的是a ( a2 ) 2a4b a a a2c 3a2a22a2d a4 ga2a811已知 x22 x8 0 ，则3 x26 x 18的值为a 54b 6c -10d -1816计算： 3(2 x1) 6 x .17分解因式：a24.3下列运算中，结果是a5 的是a a3 a2b a10a2c (a2 )317.

17、分解因式： x22x1_22.（ 1）化简： ( a3)(a3)a(4a) 【例 1】若 a 2n3，则 a6 n =.计算3nx 2 y2 y【例 2】 n m 3 pm n n m p 4【例 3】计算 x2y 3 n2yx 2 m【例 4】下列运算正确的是（）a 、 8x94x32 x3b、 4a2b34a2b30c 、 a2 mama2d、 2ab2 c(1 ab2 )4c2【例 5】利用平方差公式计算： 20092007 20082【例 6】已知 a，b， c 是 abc 的三边，且 a2b2c2abd a3?a2=a5d 18x-3d (a)52mxbcca ，则abc 的.形状是a. 直角三角形b 等腰三角形c 等边三角形d 等腰直角三角形【例 7】分解因式： 2ax10ay5bybx【例 8】分解因式： a 22ab b2c2【例 9】已知 0 a 5，且 a 为整数，若2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .【例 10】分解因式： x 25x6【例 11】分解因式： 2x2y 8xy8y【例 12】分解因式 x 24xy14 y21、（2012，陕西）计算 (5a3 )2 的结果是（）a 10a5