振动力学基础 1

1、第 七 章 振 动 力 学 基 础,振动物理量作周期性的变化,（1）声音：音带振动（喇叭纸盆的振动）,（2）钟表中摆的运动（周期性往复运动）,（3）汽缸活塞的往复运动（曲柄连杆机构转换 成圆周运动）,（4）无线电波中的电磁振动（电场，磁场量作周 期性变化）,振动学是光学,电学,声学,机械设计等学科的基础,最简单的振动是,谐振动,方波的分解,7 - 1 简谐振动动力学,简谐振动：质点位置坐标是时间的正弦或 余弦函数,作谐振动的必要条件:,回复力,（始终指向平衡位置的力）,7 - 2 简谐振动运动学,（一）数学表达式：,A：最大位移称振幅,：圆频率，单位时间转过的角度,：频率（次数）,: 初位相（

2、t=0 时，质点具有的初位移）,振动三要素：,振幅，频率，初位相,（二）振动曲线（x t 坐标画出的曲线图）,t,x,o,10,t,-10,x,o,t,x,o,10,2,2,（三）谐振动的 旋转矢量图示法,o,A,t,(a) 振幅 A 表示矢径,(b) 矢径在 x 轴上的投影为位移,(c) 矢经旋转的角速度为圆频率,矢径旋转端点组成的圆称参考圆,规定：,逆时针旋转（可判断质点的运动趋势）,（四）谐振动的速度 加速度,（1）速度：,（2）加速度：,或,加速度与位移恒成正比且反向,称谐振动的运动学特征方程,(a) 弹簧振子,k,x,m,x,o,7 - 3 微振动的简谐近似,（一）谐振子,谐振子 构

3、成作谐振动的物体,(负号表示回复力),令,则,特解：,由初始条件决定,本身系统所固有,(b) 单摆,m,l,mg,(负号表示回复力),当 很小时,则,特解：,由初始条件决定,本身系统所固有,(c) 复摆 (q很小),o,c,-M=J ,(负号表示回复力矩),当 很小时,特解：,由初始条件决定,本身系统所固有,（二）圆频率 振幅和位相之间的关系,设 t = 0 时 x = x0 v = v0 = 0,解得：,（三） 谐振动的能量,(1) 动能：,(2) 位能：,(3) 总能量：,例1： 一谐振动，已知振幅 A= 12 厘米，T= 2 秒 t= 0 时，X= 6 厘米且朝X负向运动。求（1）初 位

4、相。（2）t =0.5 秒时 x, v, a。（3）当x= -6厘米 且朝负相运动时的 v, a 和到平衡位置所需时间。,解 (1),x,方程,(2) t =0.5 代入,(3) X= -6 且朝负向,代入,另外,x,例2：光滑斜面,轻弹簧,物体,如图，取平衡位置为原点，设,（）写出振动方程,（）求系统总势能,解平衡位置,x0,任一位置,o,x,(桌面光滑，以平衡位置为原点）,例3已知,求周期,o,x,例4：,已知木块 = 800 kg/m3，h=0.3 m，截面S,把木块压入水面，求运动方程,解：木块在水中平衡位置,a,b,h,o,y,合力,任一位置,当 t = 0 时 y0 = a = 0

5、.06 米 v0 = 0,振动方程：,加速度与位移恒成正比且反向，作谐振动,速度方程：,加速度方程：,（一）数学表达式：,（二）谐振动的 旋转矢量图示法,(a) 振幅 A 表示矢径,(b) 矢径在 x 轴上的投影为位移,(c) 矢经旋转的角速度为圆频率,矢径旋转端点组成的圆称参考圆,规定：,逆时针旋转（可判断质点的运动趋势）,或,(三) 谐振动的运动学特征方程,振动学,7 - 4平行简谐振动的合成,（一）同频率平行简谐振动的合成,o,x,（二）不同频率平行简谐振动的合成拍,讨论：,当 A1 = A2 时,A = 0 静止,反位相,同位相,合振幅随时间变化,每秒加强的次数称拍频,拍频,用旋转矢量

6、解释拍现象,7 - 5垂直简谐振动的合成,（一）同频率垂直简谐振动的合成,X，Y 平面内运动 较复杂,模拟演示,消除参数 t,讨论：,直线方程,o,x,y,Y超前x p/2 右旋,Y落后x p/2 左旋,o,y,椭圆方程,y,o,当,圆方程,x,x,（二）不同频率垂直简谐振动的合成,当两振动频率恰成整数比，得封闭稳定轨道,称为(Lissajou)李萨如图形,7 - 6 阻尼振动,当阻力与速度一次方成正比, 为阻尼系数,对弹簧振子,二阶线性常微分方程,P 225 图 6-21,模拟演示,令：,（ 称阻尼因子）,解得：,其中：,结论：,(1) 振幅随时间减小,(2) 振动周期变长,7 - 7受迫振动共振,(一