常见分布的期望和方差(2)

1、.;.概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算： f (x)p( xx)x) 。(2、随机变量函数的概率密度：x 是服从某种分布的随机变量，求y f (x ) 的概率密度： fy ( y)fx ( x) h( y) h ( y) 。（参见 p66 72）xyf (u,v)dudv 具有以下基本性质：3、分布函数 f ( x, y)、是变量 x， y 的非降函数；、 0 f (x, y) 1，对于任意固定的x， y 有： f (, y)f ( x, ) 0 ；、 f ( x, y) 关于 x 右连续，关于y 右连续；、对于任意的 ( x1 , y1 ), (x2 , y2 ),x1x2 , y1

2、y2 ，有下述不等式成立：f (x2 , y2 ) f (x1, y2 ) f ( x2 , y1 ) f ( x1 , y1) 01arctan x)(arctan y ) 的概率密度为：264、一个重要的分布函数：f ( x, y)(f ( x, y)f ( x, y)2 (x29)23x y4)( y 25、二维随机变量的边缘分布：f x ( x)f (x, y)dy边缘概率密度：fy ( y)f (x, y) dxfx ( x)f ( x,)xf (u, y)dydu边缘分布函数：y二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。fy ( y)f (, y)f (x, v) dxdv6、随机变量

3、的独立性：若f ( x, y)fx ( x)fy ( y) 则称随机变量 x ， y 相互独立。简称x 与 y 独立。;.7、两个独立随机 量之和的概率密度：fz ( z)f x ( x) f y ( z x)dxfy ( y) f x (zy)dy 其中 z x y8、两个独立正 随机 量的 性 合仍服从正 分布，即z ax by : n (a 1 b2 , a22221b2 。9、期望的性 ：（3）、 e( x y )e( x ) e (y) ；（ 4）、若 x ，y 相互独立， e(xy ) e( x ) e(y ) 。10、方差：d (x )e( x 2 ) (e( x )2 。若 x

4、 ， y不相关， d ( x y) d ( x )d (y) ，否 d ( x y )d ( x ) d (y ) 2cov ( x ,y) ，d ( xy ) d ( x )d (y)2cov( x ,y)11、 方差： cov ( x , y)e( xe( x )(ye(y) ，若 x ， y 独立， cov ( x ,y )0，此 称： x 与 y 不相关。12、相关系数：xycov ( x ,y)cov ( x , y)xy 1 ，当且 当 x 与 y 存在 性关系 ( x ) (y )，d ( x ) d (y)13、 k 原点矩： vke( x k ) ， k 中心矩： k e(

5、xe( x ) k 。xy1，且xy1,当 b0;1,当b0。14、切比雪夫不等式： p x e( x )d ( x )e( x )1d ( x )lim pmp1 。2,或 p x2。 努利大数定律：nn 015、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因p1 n11n1 。xi2 ，所以 lim pxin i1nn0n i116、独立同分布序列的中心极限定理：n, n 2 ) 。(1) 、当 n 充分大 ，独立同分布的随机 量之和znx i 的分布近似于正 分布 n ( ni 1(2) 、 于 x1 , x 2 ,. x n 的平均 x1 nx i1 ne( xi )n1nd ( x i )nn

6、 i 1，有 e( x )n， d ( x )n2，即独立同分布的随机n i 1n2i 1n;.变量的 均值当 n 充分大时，近似服从正态分布n () 。n(3) 、由上可知： lim p a znb(b)( a)p a z nb(b)(a) 。n17、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：设m 是 n 次独立重复试验中事件a 发生的次数， p 是事件 a 发生的概率，则对任意 x ,lim pmnpx(x) ， 其中 q1p 。nnpq(1)、当 n 充分大时， m 近似服从正态分布，n (np npq) 。(2)m近似服从正态分布，n( , pq ) 。、当 n 充分大时，pnn18、参数的矩估计和似然估计：(参见 p200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数已知xnu未知txns未知2(n 1) s2( x y ) ( 12 )n1n222tswn1 n21212( n1 1)s12(n2 1)s22未知2其中 swn1n21置信区间 xu, xunn xt (n1) s , xt (n1) s nn(n 1)s2,(n1)s22 (n 1)2(n 1)111( xy ) t (n1 n2 2