信息光学 常用函数

1、Chapter 1 线性系统分析,几个常用的非初等函数 函数 二维傅里叶变换； 卷积与相关； 傅里叶变换的基本性质和有关定理； 线性系统分析; 二维光场分析 本部分是整个课程的数学基础，其中有关数学公式的理解和众多定理的灵活运用将是难点,1.1 几个常用函数,希望有关数学概念和运算的引入能密切结合光学现象，这样有利于大家能较快地运用这些数学工具来处理光学问题。,1.1.1 矩形函数(1),一维定义,图像,中心在x=x0，宽度为a，高度为1,宽度,中心,高度,1.1.1 矩形函数(1),一维定义,图像,当自变量x代表时间变量时，光学中可以用它来描写照相机快门 当自变量x代表空间变量时，无限大不透

2、明屏上的单缝的透过率,应用,截取作用,1.1.1 矩形函数(2),二维定义,二维矩形函数可以用来描述不透明屏上矩形孔的透过系数；快门; 单缝, 矩孔,区域限定,图像,1.1.2 sinc函数,定义,sinc(x) 图像,在xx0处有极大值为1,主瓣宽度为2|a|,x0=0，a=1,极大值1,单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数,特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0 x,曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2,单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数,Sinc函数的重要性: 数学上,sin

3、c函数和rect函数互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数,二维sinc函数: sinc(x)sinc(y),1.1.3 三角函数,定义,图像,a=1,二维三角函数可以用来表示矩形光瞳非相干成像系统的光学传递函数,中心在x0处底边宽2|a| ，高1，面积为a的三角形,它和矩形函数的关系?,1.1.4 符号函数,定义,图像,E.G：某孔径的一半嵌有位相板，可用sgn函数描述此孔径的复振幅透过率,应用,改变正负。代表“”相移器、反相器,1.1.5 阶跃函数,定义,图像,阶跃函数与符号函数的关系？,作用,开关作用，无穷大半平面屏,

4、与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1,1.1.6 圆域函数(柱函数),定义,图像,直角坐标系,柱坐标系,描写无限大不透明屏上圆孔的透过率函数,底半径,高斯函数,Gaus(0) = 1 S = 1 是非常平滑的函数,即各阶导数均连续,可代表单模激光束的光强分布,定义,图像,二维：,x,注 意,以上定义的函数,其宗量均无量纲. 在处理实际问题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子。 例: 以 rect(x) 代表单缝. 若x单位为cm, 则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝.若x单位为mm,则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝.,练习: 画出rec

5、t(x), 10rect(10 x), sinc(x), 10sinc(10 x) 的示意图.,1.2 函数,用来描述物理量在空间或时间上高度集中的物理模型的数学工具,如：单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等.,1.2.1 函数的定义(1),类似普通函数形式的定义,说明,函数的定义表明在一个很小很小的范围内它不为0，而它在在这个范围内的形状却没有规定。 积分限不一定为（-，+）,只要把函数不为0的关键点包括在内即可。 函数是奇异函数，本身没有确定的值，但作为被积函数中的一个乘积因子，其积分结果具有明确的值。,d -函数的图示

6、:,1.2.1 函数的定义(2),普通函数序列极限形式的定义,常用的序列函数表现形式,1.2.1 函数的定义(3),广义函数形式的定义,不同形式的函数，只要它在积分中的作用与上式相同，就可认为它们与函数相同,1.2.1 函数的定义(3),函数的图形表示 函数的物理意义:,后焦面上照度：,表示一种脉冲状态的物理量。 如：平行光通过透镜后焦面上的照度分布,1.2.2 函数的性质,筛选性质,坐标缩放性质,函数f(x,y)在(x0，y0)点连续,a,b为实常数,可分离变量性,与普通函数乘积的性质,奇偶性？,抽样特性,1.2.2 函数的性质,与普通函数乘积的性质,抽样特性,说明,一个连续函数与函数的乘积

7、，其结果只能抽取该函数在函数所在点处的函数值。,推论,无定义,练习：计算 sinc(x)d (x) 2. sinc(x)d (x-0.5) 3. sinc(x)d (x-1) 4. (3x+5) d (x+3),1.2.3 梳状函数（抽样函数）,一维梳状函数定义,间隔为1的函数的无穷序列,一维梳状函数图像,可见： 1.描写光栅透过率时，梳状函数是十分有用的。 b函数用于对连续函数进行定点抽样，使其离散化，以便于计算和处理。,表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列,1.2.3 梳状函数（抽样函数）,一维梳状函数定义,表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列,间隔为t的脉冲系列:,一

8、维梳状函数图像,间隔为1的函数的无穷序列,画图？,1.2.3 梳状函数（抽样函数）,一维梳状函数定义,梳状函数性质：,比例变化特性,可以利用梳状函数对普通函数做等间隔抽样，因此又称抽样函数，是十分有用的,周期性,奇偶性,周期抽样特性,利用梳状函数与普通函数的乘积:,利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样:,1.2.3 梳状函数（抽样函数）,1.2.3 梳状函数（抽样函数）,一维梳状函数定义,一维梳状函数图像,1.2.3 梳状函数（抽样函数）,二维梳状函数定义,1.3 二维傅里叶变换（2-D Fourier Transformation）,光学系统和电气系统一样，都是以信息为对象，研

9、究信息的传递和变换，只是信息的形式不同。电气系统所处理的是以时间为变量的信息，而光学系统则是空间变量的信息。不管什么形式的信息它们都存在于信号之中。一个电信号可以用一个时间域的函数描述，而一副透明的图片，则可以用各点的光强或光振幅透过率来描述。 一般来说，这些信号都很复杂，直接处理比较困难。如果能把一个复杂信号分解许多简单分量，显然将大大简化信号的处理。,1.3.1 傅里叶级数,一个周期函数 f(t)，周期 ，且在一个周期内满足狄里赫利条件, 则可以把函数分解为：,利用数学上的“按正交函数展开”的方法，可以圆满解决上述问题。,光学中常用的正交函数系：1）三角函数系；2）复指数函数系。在这两个函

10、数系上按上述方法展开得到的函数项级数，就是大家熟悉的傅里叶级数。它是Fourier和Euler分别在18世纪末和19世纪初提出的。,1.3.1 傅里叶级数,其中傅里叶系数为,三角级数形式,指数傅里叶级数形式,或者,其中频谱函数为,注意: 周期函数只有离散谱,一个周期函数f(t)，周期 ，且满足狄里赫利条件,则,1.3.2 傅里叶变换(1),非周期函数f(x,y)，在整个无限xy平面上满足狄里赫利条件和绝对可积条件，则二元函数f(x,y)的二维傅里叶变换为,狭义傅里叶变换,直角坐标系内的二维傅里叶变换,二维傅里叶变换的核,二元函数F(，)的二维傅里叶逆变换为,各连续频率成分的权重因子,傅里叶逆变

11、换,1.3.2 傅里叶变换(1),狭义傅里叶变换,直角坐标系内的二维傅里叶变换,F(，)的二维傅里叶逆变换为,称为 的频谱函数,一般为复函数：,1.3.2 傅里叶变换(1),狭义傅里叶变换,直角坐标系内的二维傅里叶变换,F(，)的二维傅里叶逆变换为,即：,即：,1.3.2 傅里叶变换(2),极坐标系内的二维傅里叶变换,正变换,逆变换,当函数具有圆对称性时,傅里叶-贝塞尔变换,贝塞尔函数关系式,极坐标系内，圆对称函数的FT与逆FT形式相同,作为时间或空间函数而实际存在的物理量其傅里叶变换总是存在的 各个领域的应用事实证明，实际的空间或时间函数物理量总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的

12、可能就是傅里叶变换存在的充分保证。 应用问题中遇到的一些理想化的函数可以定义广义傅里叶变换。 但是，在分析光学系统时，为了描述方便，还往往引入一些理想化的函数（如余弦函数、阶跃函数、常数等），它们虽在光学上是常用的（当然在物理上也不能严格实现），但不满足上述存在条件，它们不存在普通的傅里叶变换。 为了能够继续用傅里叶变换方法讨论这些有用的函数，并用它们来描述实际的物理图像，就有必要将前面做的傅里叶变换定义推广一下。,1.3.3 广义傅里叶变换,极限意义下的傅里叶变换,函数的傅里叶变换,设f(x) 无法确定其狭义的傅里叶变换，但可表示为,且fn(x)的狭义傅里叶变换存在：,而且当n趋于无穷大时,

13、 Fn()的极限也存在：,广义傅里叶变换计算举例,此式解决了常数的傅里叶变换问题,那么，可定义,快速抢答！,1. 描述位于x0处的点光源：,2. 描述在x轴上等间隔（间隔为a）分布的点光源序列：,3.,4.,快速抢答！,7.,9.,10.,常用函数 变型,平移 (原点移至x0),折叠 与f(x)关于y轴 镜像对称,取反 与f(x)关于x轴 镜像对称,倍乘 y方向幅度变化,比例缩放 a1, 在x方向展宽a倍 a1, 在x方向压缩a倍,求 f(-2x+4),解： f(-2x+4)= f-2(x-2)，包含折叠、压缩、平移,常用函数 变型,先折叠， 偶函数折叠后不变,解： f(-x/2+p/4)=

14、f- (x- p/2)/2，包含折叠、扩展、平移,再扩展, 最后平移,求 f (-x/2+p/4),常用函数 变型,1.4 卷积(convolution)和相关(correlation),卷积与相关，是由积分定义的两个函数的相乘运算，从外形上看极为相似，然而它们所描述的物理过程却截然不同。,卷积运算的特点是，它能使被卷积函数的某些细节被平滑掉，卷积结果的图形较为“光滑”。在一定条件下光学系统的成像过程就是一个卷积过程。若函数f(x)表示一个物体的光强，那么卷积则使光能量扩散，使物象模糊。 相关运算则通常用来描述两个函数图像的相似程度。一个函数在和自身相关时（即自相关），当这两个相同的图形完全重

15、叠在一起时就出现相关峰，此时相关值最大。,如：,卷积概念的引入,用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2f0 x) 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。,例题：,卷积概念的引入,探测器输出的光功率分布：,设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x),像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用卷积运算来描述,卷积概念的引入,成像系统,1.4 卷积和相关(1),一、卷积的定义,一维定义,卷积运算f(x)*h(x)定义了一个新的函数g(x)，它的值随x变化而变化,卷积的几何解释:,1. 在以为横轴的图上画出f( )和h()，将h()反转

16、得h(-) 2. h(-)平移x值，得h(-( - x) =h(x-) 3.将f( )和h(x-)相乘得一新函数f( ) h(x-) ，此新函数图象与轴之包围的面积便是函数f( x)*h(x)在x点的函数值 4.对于不同的参量x值，相应的面积就不相同，并且是x的函数这个函数就是g(x)=f( x)*h(x),1.4 卷积和相关(1),一、卷积的定义,卷积的几何解释:,1. 在以为横轴的图上画出f( )和h()，将h()反转得h(-) 2. h(-)平移x值,得h(-( - x) =h(x-) 3.将f( )和h(x-)相乘得一新函数f( ) h(x-) ，此新函数图象与轴之包围的面积便是函数f

17、( x)*h(x)在x点的函数值 4.对于不同的参量x值，相应的面积就不相同，并且是x的函数这个函数就是g(x)=f( x)*h(x),卷积举例,翻转,平移,相乘,积分,h(),h(x-),f( ) h(x-),面积,h(-),f( x)*h(x),练习: 计算rect(x)*rect(x),1. 画出函数f(t)和h(t);,2.将h(t)折叠成h(-t);,3.将h(-t)移位至给定的x, h-(t -x)= h(x -t);,4.二者相乘;,5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).,步骤:,h(),h(x-),f( ) h(x-),面积,h(-),1.4 卷积和相关（2）,卷积运算的

18、两个效应:,二维定义:,如果f(x，y)和h(x，y)描述的是两个真实的光学量，则f(x，y)*h(x，y)总是存在的,(1)展宽效应 假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为函数的宽度一般说来，卷积函数的宽度等于被卷函数宽度之和 (2)平滑效应 被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身起伏振荡变得平缓圆滑.,1.4 卷积和相关（3）,二、卷积的基本性质,线性性质,a，b为任意常数，可实可复,交换率,平移不变性,结合率,坐标缩放性质,若f(x)*h(x)=g(x), 则,上述性质可以直接推广到二维,1.4 卷积和相关（4）,函数f(x,y)与(x,y)的卷积,2.

19、任意函数f(x,y)与(x-x0,y-y0)函数的卷积，是把函数f(x,y)平移到脉冲所在位置(x-x0,y-y0),1. 任意函数f(x,y)与函数的卷积，得出函数f(x,y)本身,二、卷积的基本性质,练习,0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N. 0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？,练习: 0-10 (透过率 = 输出/输入),*,=,t (x, y),d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ,=,*,p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即

20、: 透过率= exp(jp ) = -1,d (x+d/2 - d (x-d/2),若右边园孔上加p 位相板, 则,利用卷积性质求卷积的例子练习0-11 ：求图示两个函数的卷积f(x) * h(x),若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质 利用d函数的卷积性质 利用卷积的平移性质,*,=,？,1.4 卷积和相关（5）,互相关的定义,讨论光学系统传递函数时非常有用的公式,参变量x，y，积分变量 ， 均为实数而函数 f(x,y) 和 h(x,y) 可实可复，但要求函数是绝对可积函数,三、相关,平

21、移,共厄,相乘,积分,一维：,二维：,1.4 卷积和相关（5）,互相关的定义,讨论光学系统传递函数时非常有用的公式,三、相关,平移,共厄,相乘,积分,自相关的定义,一维：,二维：,1.4 卷积和相关（5）,互相关,互相关和自相关的卷积表达式,三、相关,平移,共厄,相乘,积分,1.4 卷积和相关（6）,互（自）相关的两个重要性质,1.互相关运算不具有交换性,自相关函数具有厄米对称性(实部为偶函数，虚部为奇函数),当f(x,y)为实函数时？,互相关和自相关的卷积表达式,当且仅当f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的 , 相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共

22、轭;运算时f(x)不需折叠,实函数的自相关为实偶函数,若f(x)是实偶函数, 则:Rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相关就是自卷积,1.4 卷积和相关（6）,互（自）相关的两个重要性质,2.两个函数互相关的模的平方不大于各自自相关在原点处值的乘积,函数自相关的模不大于自相关在原点处的值,原点(0,0)处，自相关函数有最大值,证明: 利用施瓦兹不等式 （阅读：P14-15）,1.4 卷积和相关（7）,互相关的物理意义： 以x，y 为自变量的互相关函数Rfg(x,y)，描述f(-x, -y)和g(, )两者之间的相关性。对任一给定的x，y来说， Rfg(x,y)的数值可以用来估计这

23、种关联性的强弱。当f(-x, -y) k g(, )时，可以合理地认为此时的f(-x, -y)与g(, )之间完全相关实际上，也正是这时Rfg(x,y)有最大值,自相关的物理意义： 以x，y 为自变量的自相关函数Rff(x,y)， 描述函数f(-x, -y) 与f(, )之间的相关性（重叠程度）由于f(-x, -y)是由f(, )通过平移x，y距离而形成的，它们之间的相关性，就反映了函数f(, )变化的快慢,互相关和自相关的物理意义,1.4 卷积和相关（8）,归一化互相关函数和自相关函数,归一化 互相关函数,归一化 自相关函数,归一化互相关和自相关函数的值域,1.4 卷积和相关（9）,有限功率

24、函数的相关,有限功率函数的互相关,有限功率函数,有限功率函数的自相关,函数非绝对可积，但满足下面的极限,当系统中能量传递的平均功率为有限时，常用这类函数,作业,0-13. 证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即： Rff(x，y) = Rff(-x，-y) 0-14. 已知函数 f(x) = rect (x/a), 求函数f(x) 的自相关，并画出图形。,卷积与相关在运算上有什么差异？注意不要混淆！,傅里叶变换的有关性质和基本定理，请注意预习,下一节课内容：,课后思考,1.5 FT基本性质和定理,线性性质,对称性质,迭次 FT定理,相似性定理,翻转性质,平移定理,共轭性质,体积对应关系

25、(二维),相关定理,卷积定理,Parcevals 定理,广义 Parcevals 定理,积分定理,矩定理,导数定理,1.5 FT基本性质和定理,X1.线性性质,X3.对称性质,X4.迭次 FT定理,X5.相似性定理,当a=-1,b=-1时？,X2.翻转性质,1.5 FT基本性质和定理,X6. 平移定理,位移或时移：,说明：函数f(x)在空间域或时间域的平移，相当于它的F.T.变换乘以一个位相因子，即只引起频谱的位相线性平移，而不改变其振幅谱。,二维：,频移：,说明：函数F()沿频率轴平移 ，相当于其原函数f(x)乘以位相因子 。而在信息处理中，f(x)与位相因子 相乘，就相当于与频率为 的正弦

26、或余弦函数相乘。如果 很大，就使得f(x)所描述的信号变成高频交流信号调制。,举例！,1.5 FT基本性质和定理,X8. 共轭性质,X7. 体积对应关系（二维）,则其F.T.具有厄米对称性,若 f(x,y) 是实函数,一维：面积对应关系,1.5 FT基本性质和定理,D2. 相关定理,D1. 卷积定理,互相关定理,自相关定理,f(x,y)=g(x,y),f(x,y)的能量谱密度,f(x,y) 和 g(x,y)的互谱能量密度,举例,作为练习自己证明。 提示:利用卷积定理、相关定义和共轭函数的F.T.,1.5 FT基本性质和定理,D3. Parcevals 定理,物理意义：能量守恒的体现，故也称能量

27、积分定理,D4. 广义 Parcevals 定理,D5. 积分定理,1.5 FT基本性质和定理,D7. 矩定理,D6. 导数定理,m+n order moment of f(x,y),一阶矩定理(m+n=1),二阶矩定理(m+n=2),零阶矩定理(m+n=0),常用傅里叶变换对,常用傅里叶变换对（续）,傅里叶变换的计算方法,用定义直接计算: rect(x)，三角函数，高斯函数， circ(r) ， . 2. 用广义傅里叶变换的定义计算并求极限: 1， d (x)，comb（x），sgn（x）. 3. 用傅里叶变换的性质间接导出:,F.T.的积分定理 F.T.的卷积定理 ,Similarity

28、theorem example (1),如果矩形脉冲变窄, 它的傅里叶变换就加宽，直到成为常数。,Similarity theorem example (2),If a rectangular pulse is made broader, its FT becomes narrower until in the limit its FT become a delta function.,卷积定理的证明,交换积分顺序:,应用F.T.的平移性质,应用F.T.定义,利用卷积定理的例子,Parseval定理的证明,交换积分顺序,先对x求积分:,利用复指函数的F.T.,利用d 函数的筛选性质,思考题:,

29、作业,P32-33： 1.5；1.6（1）；1.7（2）；1.8,d ();,1,1 与d 函数互为F.T.,comb(),comb(t ),sinc();,rect(),快速抢答！,exp(-j2p a),d (-a),sinc2(),1.6 线性系统分析（Linear system analysis）,1.6.1 线性系统,从数学角度，实现函数变换的运算过程称为系统。,系统 L,光学透镜组、自由空间等,f(x1,y1),g(x2 ,y2),输入,输出,系统,一组事物相互关联在一起所构成的一个整体。,物理系统：用来收集、传递获变换信息的装置。（如某具体的电子线路、通信网络、光学成像装置） 非

30、物理系统：如管理系统、指挥系统,考虑光学系统,激励函数,响应函数,光学系统是用来收集、传递或变换信息的系统。 一个光学系统的理想成像，就是将物空间的物体信息完整、全面的传递、变换到像空间，在像面上形成不失真的物体像。显然该过程为线性的。 但是实际上，物体的成像会产生失真，该过程是非线性的。 不过，如果把所研究的问题看做线性的而不会引起明显的误差、或者在某个小范围内满足线性性质，我们就可以将问题作为线性问题来处理。 事实上，在科学技术的各个领域（包括光学领域）中，很多实际系统都可以简化为线性系统。当系统具有了线性性质的假设，就可以有既简单又有物理意义的表示，同时也很容易到处输入和输出之间的有用关

31、系式，甚至还可以用标准方法求得精确解。,1.6.1 线性系统,线性系统,a为任意常数,若一个系统同时具有叠加性和均匀性时，则称此系统为线性系统,系统中某个输入并不影响系统对其它输入的响应,叠加性,系统能够保持对输入信号的缩放因子不变,均匀性,线性系统具有叠加性质,线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合。,根据叠加性和均匀性，就可以把系统对任一复杂激励函数的响应用它对某种“基元”激励函数的响应表示出来。具体来说，可以把任何复杂的激励（输入）函数分解成某些“基元函数”的线性组合，而每一个基元函数所产生的响应输出是已知的，或极容易求出，那么根据线性性质，总响应就可以

32、看做各个基元函数所产生的响应函数的相同的线性组合。 即，复杂输入函数分解为基元函数的线性组合，其经过系统后的输出，可以通过对这些基元函数的响应的线性组合来求得线性系统的空间域分析方法,若一个系统同时具有叠加性和均匀性时，则称此系统为线性系统,1.6.1 线性系统,基元函数的选取必须考虑的两个因素,是否任何输入函数都能较方便地分解成这些基元函数的线性组合； 系统的基元函数的响应函数是否能比较方便地求得,光学中常用的两种基元函数,点基元函数，即函数 指数基元函数（e指数函数）,基元:不能再分解的最基本的函数单元,1.6.1 线性系统,线性系统的分解和综合的过程（以点基元函数为例）,输入函数,输出函

33、数,线性系统定义,对于给定的光学系统，点扩散函数既与输入点脉冲的位置(, )有关，也与像点的位置(x2，y2)有关,函数的卷积性质,线性系统的性质由其脉冲响应表征,系统对处于原点的脉冲函数的响应：,系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应：,在线性系统中引入脉冲响应的意义:,1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合,2. 若线性系统的各个脉冲响应函数为已知,则系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合。问题是:如何求对任意点的脉冲(x1-, y1-)的响应h(x2, y2; ,),1.6.1 线性系统,脉冲响应函数（点扩散函数）,对一般系统而言, 脉冲响应函数的形式可能是点点不

34、同的！,只有对一类特殊的系统线性不变系统 h(x, y; x,h)= h(x-x , y-h) 才会成立, 分析才可以得到简化.,脉冲响应函数h(x1, y1; ,)的求法:,1.6.1 线性系统,线性系统的分解和综合的过程（以点基元函数为例）,则此线性系统称为时不变系统. 系统的性质不随所考察的时间而变, 是稳定的系统. 时间轴平移了, 响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.,实际物理系统大多可近似为平移不变系统.,1.6.2 线性平移不变系统,推广到二维空间函数：如果一个激励信号（输入函数）在输入面上位移时, 线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入函数的响应函数形式相同，仅造成响应

35、函数相应的位置移动，则称该系统为位移不变系统（平移不变系统）。因为具有平移不变性的系统，要求输入与输出具有相同的宗量,例：空不变(二维)系统 : 等晕成像系统,h(x-x ; y-h),光学成像系统在等晕区内是空间不变的.,1.6.2 线性平移不变系统,等晕性,1.6.2 线性平移不变系统,系统具有平移不变性（空间平移不变系统）,线性（平移）不变系统,1.6.2 线性平移不变系统,空间域分析方法,因为具有平移不变性的系统，要求输入与输出具有相同的宗量，即x1=x2，y1=y2.,线性系统,线性平移不变系统,平移不变系统的脉冲响应仅取决于观察点和输入点之间的间隔,1.6.2 线性平移不变系统,空

36、间域分析方法,对于线性不变系统，由于均匀性，物点的成像性质与其强度无关，又由于空不变性质,物点的成像性质与其位置无关，故可由物面坐标原点的单位脉冲响应h(x,y)来表征系统的性质 （像点形状不随物点位置改变，等晕）,线性系统,线性平移不变系统,输出是输入与脉冲响应函数的卷积.这也是线性空不变系统的判据.,1.6.3 线性平移不变系统的传递函数,输入函数f(x,y)的FT：,逆FT：,物理意义：空间信号f(x，y)可以分解成具有不同空间频率(,)的基元函数expj2(xy)的线性组合，F(,)d d就是这线性组合中对应的基元函数的权重因子.,第二种基元函数,频谱函数,空间函数；x,y具有长度量纲

37、,频谱密度或谱密度,，具有长度倒数的量纲， 具有空间频率的意义，指单位长度内变化的周数,F(,)描述了空间信号f(x,y)中不同频率的基元函数的组合情况，称为频谱密度。,1.6.3 线性平移不变系统的传递函数,傅里叶变换的卷积定理,线性平移不变系统 对输入函数的变换公式,线性平移（空）不变系统可采用两种方法研究 1. 在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数； 2. 在空间频率域求输入函数与脉冲响应函数两者各自频谱密度的乘积，再对该乘积取逆傅里叶变换求得输出函数,频率域分析方法,输出与输入函数中同一频率基元成分的权重的相对变化,（原点点扩散函数的FT） 线性平移不变系统的传递函数：,

38、如果函数f(x,y)满足以下条件（其中，a为复常数）：,1.6.4 线性平移不变系统的本征函数,本征函数,说明：基元函数exp(j2(xy)是线性空不变系统的本征函数,1.6.5 一类特殊的线性系统,一类特殊的线性系统：此类系统可以把一个实值输入变换成一个实值输出。,振幅传递函数,相位传递函数,特点：振幅传递函数为偶函数，相位传递函数是奇函数。 余弦或正弦函数是这类系统的本征函数,非相干成像系统,此时有,例1：p32，1.1(1)(2) 例2：p33，1.11 作业 P32, 1.1(3)(4)(5),评价系统对不同基元函数exp(j2(xy)的传递能力，如果输入函数是一个具有均匀频谱密度的函

39、数，则相应的输出函数中各种频率的基元成分的权重，即输出函数频谱可直接用来量度这种传递能力或频率响应特应。 位于原点的脉冲信号(x,y)是具有均匀频谱密度的函数，而系统对应于输入函数(x,y)的输出函数就是系统的原点脉冲响应h(x,y)因此，原点脉冲响应h(x,y)的频谱密度H(，)恰好能用来表示系统对不同频率的基元函数的传递能力。,说明：传递函数H(,)一般是复函数，其模的作用在于改变输入函数各种频率基元成分的模， 其辐角的作用在于改变这些基元成分的初位相。,快速抢答！,线性系统,脉冲响应,线性不变系统,传递函数,线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合,系统对

40、输入脉冲函数的响应,输入脉冲位移时, 仅使响应函数产生相应的位移，则此线性系统称为线性不变系统,线性不变系统脉冲响应函数的 F.T.即为传递函数,线性不变系统的输入输出关系：,空域,频域,二维线性不变系统例题：,给定一个线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波：,对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。,输入函数:,输入频谱:,输入:,0,-1/3,1/3,G(),2/3,-2/3,50/3,1,-1,2,-2,传递函数,H(),传递函数：,输入频谱：,输出频谱：,输出频谱:,输出函数：,输出频谱:,1.7 二维光场分析,1.7.1 单色光波场的复振幅表示,理想单色光振动(电场矢量),光场随

41、时间的变化关系: 由频率n表征.,可见光: n 1014Hz 严格单色光: n为常数,光场随空间的变化关系体现在:,(1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.,光场变化的空间周期为l=/ .,光场变化的时间周期为1/ n.,将光场用复数表示,以利于简化运算,由复振幅计算光强,1.7.1 单色光波场的复振幅表示,单色光波场中 P点的复振幅,在计算干涉、衍射和另一些光学问题时，涉及单色光波的线性运算(加、减、积分和微分等)，可直接利用复振幅进行计算，导出所需结果的复振幅,理想单色光振动(电场矢量),复数表示有利于将时空变量分开,1.7.1 单色光波场的复振幅表

42、示,一、球面波的复振幅,1. 当坐标的原点与球面波中心重合时,发散球面波,会聚球面波,点光源发出，球面波的等相位面是一组同心球面，各点上的振幅与该点到球心的距离成反比,k: 传播矢量，波矢量,a0: 单位距离(r=1)处的光振幅,若球面波中心(光源点或会聚点)在原点:,若球面波中心在 S (x0, y0, z0):,1.7.1 单色光波场的复振幅表示,一、球面波的复振幅,1. 当坐标的原点与球面波中心重合时,发散球面波,会聚球面波,2. 光波在某一特定平面上产生的复振幅分布的数学描述,点光源发出，球面波的等相位面是一组同心球面，各点上的振幅与该点到球心的距离成反比,S(x0,y0,0),P(x

43、,y,z),傍轴近似,1.7.1 单色光波场的复振幅表示,傍轴条件下xy平面上发散球面波的复振幅表示式,xy平面上相位相同点的轨迹，即等相位线方程为,不同c值所对应的等相位线构成一族同心圆它们是球面波面与xy平面的交线相位相距2的同心圆之间的距离不相等，而是由中心向外愈来愈密,傍轴条件下xy平面上会聚球面波的复振幅表示式,1.7.1 单色光波场的复振幅表示,2. 等相位线方程为,二、平面波的复振幅,平面波的特点：等相位面是平面在各向同性介质中，等相面与传播方向垂直在平面波光场中，各点的振幅为常数点光源发出的光波经透镜准直，或者把点光源移到无穷远，可以近似获得平面波,1. 对于确定方向(,为常数)传播的平面波，所选定的垂直z轴的xy平面,1.7