函数的极值及其求法

1、第十节 函数的极值与最值一、函数的极值及其求法,定义,使得,有,则称 为 的一个极大值点 (或极小值点 ),极大值点与极小值点统称为极值点 .,极大值与极小值统称为极值 .,1) 函数的极值是函数的局部性质.,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点(称为可疑极值点).,称 为 的一个极大值 (或极小值 ),注意,函数极值的求法,定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理),定义,注意:,例如,设,在点,处具有导数, 且在,处取得极值,则,定理2 (第一充分条件),(是极值点情形),设,在点,处连续 ,(1) 若,时,而,时,则,在点,处取得极大值;,(2) 若,时,而,时

2、,则,在点,处取得极小值;,(3) 若,时,的符号相同, 则,在点,处无极值.,求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,例2,解,的极值 .,解,得驻点,不可导点,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,例3 求函数,不存在,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,设函数 f (x) 在点 x0 处 具有,例4,解,图形如下,注意:,的极值 .,解:,令,得驻点,因,故 为极小值 ;,又,故需用极值的第一充分条件来判别.,例5. 求函数,则,1) 当 为偶数时,2) 当

3、 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 ,证,定理4,设 f (x) 在点 x0 处 具有n 阶导数，且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,点 为拐点 。,故,1) 当 为偶数时,由极限的保号性,知,又,得,故 在点 取极大值 。,则 在点 取极小值 .,同理可证，,2) 当 为奇数时,可证 在 点邻近两,侧异号,故 在点 不取极值 。,故,当 为奇数时,可证 在 点邻近两侧异号,故点 为拐点 。,设,其中a 为常数 .,证明:,时, f (0) 为 f (x)的极小值 ;,时, f (0) 为 f (x)的极大值 .,证,时,f (0) 为 f (x)的极小值 ;,时,f (

4、0) 为 f (x)的极大值 ;,时,例6,f (0) 为 f (x)的极大值.,函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,例7,解,非奇非偶函数,且无对称性.,定义域（-，+ ）0,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点是可疑极值点.,判别法,第一充分

5、条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),思考与练习,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性 .,(A) 不可导 ;,(B) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(D) 取得极小值 .,D,提示: 利用极限的保号性 .,2. 设,是方程,的一个解,若,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,3. 设,设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 .,证,则,得 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值;,不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 ,有,由 f ( x )在 x = a 处连续，得,f 2( a )是 f 2( x )的极大值.,同理可讨论f ( a ) 是f ( x )的极