专题二 数形结合的思想方法 数学第二轮专题复习第一部分 考题剖析.ppt

1、专题二 数形结合的思想方法,数学第二轮专题复习第一部分,考题剖析 ,规律总结 ,知识概要 ,03,05,23,数形结合的思想方法,1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本 质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合. 2.实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何

2、元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x2)2+(y1)2=4,知识概要,返回目录,数形结合的思想方法,3.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”. 4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图

3、，以开拓自己的思维、视野.,返回目录,知识概要,数形结合的思想方法,考 题 剖 析,返回目录,1.设命题甲：0x3，命题乙：|x1|4，则甲是乙成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.不充分也不必要条件,考题剖析,返回目录,数形结合的思想方法,解析解法1：由命题乙|x1|4可得：3x5 , 所以命题甲是命题乙的充分不必要条件. 解法2：将两个命题用数轴表示，如图： 从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件.所以选A.,点评 对于处理集合的问题，可以用数形结合的方法，如果是含字母参数的，可以画韦恩图；如果是具体的数集，则可以画数轴，都可以使用集合间的关系直观化

4、.,A,2.已知函数y=f(x)(0 x1)的图象如右图，若0x1x21,则（ ） A. B. C. D.以上都不正确,返回目录,考题剖析,数形结合的思想方法,解析 由选项 的结构特点，联想到两点间的斜率公式，事实上， 可以看作是点（x,f(x)与原点连线的斜率，由图象不难得出答案为A.,点评 在解题的过程中，要注意一些式的几何意义，一般地 可联系到斜率， 可联系到距离公式.,A,3.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ） A.( , ) B.( , ) C. , D. , ,返回目录,解析如图，当过右焦点的直线与渐近线平行时，由双

5、曲线性质可知，此时直线与双曲线右支有且仅有一个交点（且与整个双曲线也仅此一个交点）.当过右焦点的直线位于两条渐近线之间时， 直线与双曲线左右支均交于一点，也符合题干条件. 又由双曲线方程 1，有双曲线的渐近 线方程为y x，所以有 k .,点评本题还可以设直线方程为yk(x4)，与双曲线方程联立，求 0，但不可忽略直线与双曲线左右支各交于一点的情况，利用韦达定理确定k的值，基于本题是选择题，不提倡采用解析法.本题重点在于考查数形结合的思想.,C,考题剖析,数形结合的思想方法,4.（2007湖南三市七校试题）若不等式 x(a0)的 解集为x|mxn，且|mn|=2a，则a的值为（ ） A.1 B

6、.2 C.3D.4,返回目录,解析 画出y= , y=x的图象， 依题意，m=a，n=a， 从而 =a a=0或2.故选B.,点评本题很好地体现了数形结合的优越性，如果单纯地从数的观点来解题的话，得出m=a与n=a也是有一定的难度的，但从形的角度出发，可以很直观地看出，这也就说明了解小题时，一 定要重视这种思想的应用.,B,考题剖析,数形结合的思想方法,5.甲、乙两人相约7:008:00在某地会面，假定每人在这 段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到 者等20分钟后便离去，则两人能会面的概率为 .,返回目录,解析在平面上建立直角坐标系，直线x=60，直线y=60, x轴，y轴围成

7、一个正方形区域G.设甲7时x分到达会面地点， 乙7时y分到达会面地点，这个结果与平面上的点（x,y） 对应.于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应.,考题剖析,数形结合的思想方法,由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的， 甲乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间相差不超 过20分钟，即 yx20，x20yx+20, 因此，图中的 阴影区域g就表示“甲乙能会面”.容易求得 g的面积为6024022000，G的面积为3600， 由几何概型的概率计算公式，“甲乙能会面” 的概率 P(甲乙能会面)g的面积/G的面积 .,点评 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形

8、的几何度量来求随机事件的概率.,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,6.设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数， 它在区间0,1上的图象为如右图所示的线 段AB，则在区间1,2上，f(x)= .,解析 解法1：题目已给出f(x)在区间 0,1的图象，可运用数形结合与对称的思想方法. 由y=f(x)是偶函数，由“形”对称变换到“形”， 得函数y=f(x)在区间1,0上的图象，如下图的线 段CA. 由y=f(x)是最小正周期为2的函数，再由 “形”向右平移到“形”，得到函数y=f(x)在 区间1，2上的图象，如右图所示的线段BD.,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,由“形”到“数”，

9、函数y=f(x)在区间1,2 上的图象是经过B(1,1)，D(2,2)的直线，由待 定系数法，求得f(x)=x(x1,2).,考题剖析,数形结合的思想方法,解法2：也可以由“形”到“数”， 用待定系数法求得，当x0,1时，f(x)=x+2； 由偶函数，当x1,0时， f(x)=f(x)=(x)+2=x+2(0 x1)， 由最小正周期为2，得当x1,2时， f(x)=f(x2)=(x2)+2=x.,返回目录,点评 解法1根据偶函数与周期函数的特征作出在1,2上的图象，再根据图象找出解析式；解法2，先由 图形确定在0,1上的解析式，再利用周期性和奇偶性将1，2上的解析式化归到0,1上进行处理.两种

10、解法都 恰当利用了“数”与“形”的有机结合.,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,7.函数y= 的最大值为 ，最小值为 .,解析y= 表示点P(cosx，sinx)与点A(2，0)连线的斜率的取值范围，而点P在单位圆上， 如右图，过A作单位圆的切线AB，AC. 易知kAB= ，kAC= 为斜率 的最大值和最小值，那么y的最大值为 ，最小值为 .,点评 对于分式型问题的处理，常可构造斜率模型，利用数形结合的思想方法进行求解.,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,8.解关于x的不等式|x21|0).,解析 设 分别作出两个函数的图象， 由 令y1=y2，求出交点横坐标：x1= , x2=

11、, 从图形不难看出当函数y2的图象位于y1的图象的上方时，对应的x值的取值范围即为原不等式的解. x .,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,点评 图象法解不等式与图象法解方程有类似之处，首先求出两函数图象交点的横坐标(即方程的根)，然后根据不等式的方向从图象中判断解 的区间.,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,9.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)上，另一根在 (1,2)上，求 的取值范围.,分析用二次函数的图象研究根的分布问题，再研究所得不等式和式子的几何意义.,解析由x2+ax+2b=0的二根分别在区间 (0,1)与(1,2)上的几何意义为y=f(x)=x

12、2+ax+2b与 x轴的两交点的横坐标分别在区间(0,1)，(1,2)内. ,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,在aOb坐标平面内，上面不等式表示的点集为ABC的内部， 如图所示. A点由 解得A(3,1); B点由 解得B(2,0)； C点由 解得C(1,0). 而 的几何意义是点(a,b)与点D(1,2)连线的斜率. kAD= = ，kCD= =1，由图知kAD kCD， 1.,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,点评本题是二次方程根的分布、线性规划等的小型综合题，本题解法中两次用到数形结合，一是研究方程根的分布，利用了二次函数的图象，二是在研究 的取值范围时，根据其几何意义为斜

13、率，累出不等式。,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,10.（2007岳阳质检）已知奇函数f(x)= （1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象； （2）若函数f（x）在区间1，|a|2上单调递增，试确定a的 取值范围.,解析（1）当 x0， f(x)=(x)2+2(x)=x22x， 又f（x）为奇函数，f(x)=f(x)=x22x， f（x）x22x，m2 yf（x）的图象如右所示.,考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,（2）由（1）知 f（x） ， 由图象可知，f(x)在1，1上单调递增， 要使f(x)在1，|a|2上单调递增， 只需 解之得3a1或1a3.,

14、考题剖析,数形结合的思想方法,返回目录,规 律 总 结,返回目录,数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.,规律总结,返回目录,数形结合的思想方法,数形结合的两个方面：即以形助数、以数解形. （1）以形助数的体现： 利用曲线方程解题； 利用“直线的斜率”； 利用“单位圆”； 利用“点到直线的距离”； 利用“两点间的距离”； 利用“直线的截距”； 利用“平行线间的距离”； 利用“直线的方程”； 利用函数的图象； 利用几何图形解题； 利用向量运算； 利用“三角形三边的关系”； 利用勾股定理构图.,返回目录,规律总结,数形结合的思想方法,（2）以数解形的体现： 向量坐