1）由模拟滤波器设计数字滤波器

1、第六章 IIR滤波器的设计方法,主要内容,1、IIR数字滤波器基本概念； 2、模拟滤波器设计简介； 3、 模拟滤波器到数字滤波器的转换； 4、频率变换理论。,一、滤波器的基本概念,1、滤波器的功能 滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。,6.1 引言,低通 高通 带通 带阻,2、四种基本的数字滤波器,二、滤波器设计的步骤,1）根据任务，确定性能指标。 2）用因果稳定的LTI系统的系统函数去逼近。 3）用有限精度算法实现这个系统函数。(包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法) 4）用适当的软、硬件技术实现，包括：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结

2、合。,三、性能指标,理想滤波器物理不可实现的。(由于从一个频带到另一个频带之间的突变) 要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带，且在通带和阻带内也不应该严格为1或零，应给以较小容限。,1、低通滤波器的性能指标,f w,1：通带的容限,2：阻带容限,fp(wp)：通带截止频率，又称为通带上限频率。 Ap：通带允许的最大衰减。 fs(ws)：阻带截止频率，又称阻带下限截止频率。 As：阻带应达到的最小衰减。,2、高通滤波器的性能指标,fp(wp)：通带截止频率，又称为通带下限频率。 Ap：通带衰减。 fs(ws)：阻带截止频率，又称阻带上限截止频率。 As：阻带衰减。,3、带通滤波器

3、的性能指标,通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As,4、带阻滤波器的性能指标,通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As,5、通常具体技术指标,四、H(z)如何推导出,有时根据提出对滤波器的性能要求、频率特性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z)。 有时根据时域波形提出要求来设计-单位冲激响应h(n)的形状。 有

4、时也直接给出H(z)(但要求因果稳定)。,五、表征滤波器频率响应的特征参量,1、幅度平方响应,的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的,H(z)的极点：单位圆内的极点,2、相位响应,相位响应：,3、群延迟响应,相位对角频率的导数的负值,若滤波器通带内 = 常数， 则为线性相位滤波器,六、IIR数字滤波器的设计方法,先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器,用一因果稳定的离散LTI系统逼近给定的性能要求：,即为求滤波器的各系数,计算机辅助设计法,s平面逼近：模拟滤波器,z平面逼近：数字滤波器,6.2 最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统,LTI系统的系统函数：,频率响应：,模：,相角：,

5、当,位于单位圆内的零/极矢量角度变化为2p,位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0,单位圆外的零点数为mo,单位圆内的极点数为pi,单位圆外的极点数为po,则：,全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N,因果稳定系统,1）全部零点在单位圆内：,2）全部零点在单位圆外：,为最小相位延时系统,为最大相位延时系统,，n 0时，h(n) = 0,辐角变化为负，相位延时系统,逆因果稳定系统,1）全部零点在单位圆内：,2）全部零点在单位圆外：,全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0,为最大相位超前系统,为最小相位超前系统,辐角变化为正，相位超前系统,，n 0时，h(n) = 0,最小相位延时

6、系统的性质：,1）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后,2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量相同,5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统,4）在 相同的系统中， 唯一,3）最小相位序列的 最大：,6.3 全通系统,一阶全通系统：,极点：,零点：,零极点以单位圆为镜像对称,极点：,零点：,实系数二阶全通系统,两个零点（极点）共轭对称,极点：,零点：,零点与极点以单位圆为镜像对称,N 阶数字全通滤波器,极点： 的根,零点： 的根,全通系统的应用,1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联

7、,其中：H1(z)为最小相位延时的， 为单位圆外的一对共轭零点,设有一个因果稳定的非最小相位延时系统，它的某一对共轭零点位于单位圆外，其余零点位于单位圆内。,而幅度响应不变：,2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器,把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内,原滤波器有一对位于单位圆外的极点：,级联一个全通滤波器：,3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性,利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数,6.4 IIR DF的设计方法,设计IIR数字滤波器系统函数的方法有： 1、简单滤波器的零、极点累试法 2、间接方法 3、直接方法,一、零、极点累

8、试法,在z平面上直接设计IIR数字滤波器,以滤波器响应作为依据，直接在z平面上通过多次选定极点和零点位置逼近该响应。即在单位圆内设置一对共轭极点 ，频响在w0处就有一峰值。r越近于1，极点位置越接近单位圆，则峰值就越尖锐。同理，若在单位圆内设置一对零点 ，频响就会在w1处出现零值，即可实现陷波。如特性还达不到要求,可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获得一些简单的DF。这种方法可以设计一些简单，阶数很低（12阶)的DF。,二、间接方法,由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIR DF的方法。 这种方法

9、通常要先设计一中间滤波器，然后通过映射或频率变换完成最终IIR数字滤波器的设计。这种间接设计方法中包括： 1） 由模拟滤波器设计数字滤波器； 2） 频率变换法(分为模拟频率变换法和数字频率变换法)来设计数字滤波器。,三、直接方法,即为计算机辅助设计法。 1）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。 2）在时域直接设计IIR数字滤波器 此法根据性能指标和一定的逼近准则，直接利用计算机完成设计。,设计步骤： 1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 2、模拟低通滤波器的设计 3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器,6.5 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,设计

10、思想：,s 平面 z 平面,模拟系统 数字系统,由模拟变换到数字的映射必须满足两条基本要求： 1）H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应。S平面的虚轴j必须映射到Z平面的单位圆上，即 S=j,Z=ej,映射方法：,- 冲激响应不变法,- 阶跃响应不变法,- 双线性变换法,2）因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z)。为保持滤波器稳定性，S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内，即Res0 |z|1,一、冲激响应不变法,1、变换原理,数字滤波器的单位冲激响应h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t),T抽样周期,由于时域抽样，导致频域内数字滤波器频率响应H(ejw)为模拟

11、滤波器频率响应的周期延拓。 因此存在多对一的映射关系。,设,则：,S平面上每一条宽为2/T的横带部分，将重叠映射到整个z平面上。 S平面的虚轴(j)轴映射到z平面单位圆上，虚轴上每一段长为2/T 的线段都映射到z平面单位圆上一周。 数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。,从频率响应来看：,数字滤波器的冲激响应为对应模拟滤波器冲激响应的抽样，由抽样定理可知其频谱为模拟滤波器频谱的周期延拓，周期为2p/T。 只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即,才不会产生混迭失真,实际系统不可能严格限带，不可避免的会产生混迭失真，在| s/2处衰

12、减越快，失真越小。,2、模拟滤波器的数字化,系数相同：,极点：s 平面 z 平面,稳定性不变： s 平面 z 平面,当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正,令：,则：,试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。,例：设模拟滤波器的系统函数为,解：据题意，得数字滤波器的系统函数：,设T = 1s，则,模拟滤波器的频率响应：,数字滤波器的频率响应：,优点：,缺点：,模拟频率和数字频率w之间呈线性关系： w=WT 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,有频率响应混迭效应，只适用于限带的低通、带通滤波器,数字滤波器的h(n)完全模仿模拟滤波器的ha(t) ，时域逼近良好,3、冲激响应不

13、变法的优缺点,4、冲激不变法应用的局限性,由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。 若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。 对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。,二、阶跃响应不变法,1、变换原理,数字滤波器的阶跃响应g(n)模仿模拟滤波器的阶跃响应ga(t),T 抽样周期,阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现

14、象。 由于变换公式中存在因子1/s，因此在高频段将增加6dB/每倍频程的衰减。即对于同一模拟滤波器系统函数，阶跃响应不变法所引入的混叠误差将比冲激响应不变法所产生的误差小。,2、特点,例：二阶Butterworth 归一化模拟滤波器（LPF）为：,设计对应3dB截止模拟频率为50Hz的二阶Butterworth数字滤波器。设数字系统采样频率为500Hz，并采用阶跃响应不变法来设计。,解：求模拟系统函数：,最后得 （用在z-1表示）,代入T=1/500，计算Z变换得,三、双线性变换法,冲激响应不变法、阶跃响应不变法：使数字滤波器在时域上模仿逼近模拟滤波器，缺点是脉冲响应不变法的映射是多值映射，导

15、致产生频率响应的混叠失真。 为了克服这一缺点，采用双线性变换法。使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。,1、变换原理及特点,改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。,第一次变换：,第二次变换：,为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c,则可得到S平面-z平面的单值映射关系：,2）某一特定频率严格相对应：,1）低频处有较确切的对应关系：,特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置,2、变换常数c的选择,3、逼近情况,1）,2）,4、性能分析,1）避免了频率响应的混迭现象,s 平面与 z 平面为单值变换,2）它是

16、一种简单的代数关系。,只须将上述关系代入AF的Ha(s)中(对直接、级联、并联结构都适用)即可求出DF的H(z)，设计十分方便。,3）除了零频率附近，W与w之间严重非线性,要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变,分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变,4）双线性变换法的适用场合： （1）不能设计线性相位的DF （2）它要求AF的幅频响应是分段常数型。(即幅度变换是线性的)。(一般低通，高通，带通，带阻型滤波器的频率响应特性都是分段常数),5）频率畸变的处理： 通过频率预畸变加以校正。,给定数字滤波器的截止频率 w1，则,按W1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到w1为截止频率的数字滤波器,5、预畸变,将临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率。,6、模拟滤波器数字化方法,可分解成级联的低阶子系统,可分解成并联的低阶子系统,7、设计流程,1）根据要求，设定所要设计的数字滤波器指标。 2）将各分段频率临界点预畸变。将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。,3）根据模拟滤波器的性能指标，设计出模拟滤波器的系统函