32 数学_橡皮圈_棒球_甜甜圈_W

1、11 找一张和这一页差不多大的纸。用铅笔和尺在纸上画一段线。 从线的左端起，标出四个点。 1 1 现在，揉破这张纸。把纸张开，但不要把纸摊平，你可以看到纸上的线和四个点。这是到 4 的路吗？ 2 你画在纸上的线在许多方面已经改变了。我们说它已经被扭曲，但并不是这段线所有的性质都改变了。 你可以找出这段线的那些性质没有改变吗？ 这段线仍然是连着的，从一端到另一端。而且，如 果你从点 1 开始，沿着线走，就会走到点 2，然后点 3， 最后到点 4。 13 14 找一条橡皮筋，把它剪断，这样就可以把橡皮筋拉成一直线。在橡皮筋中央到左端的中点打一个结，在橡皮筋中央到右端的中点再打一个结。 现在，把这条

2、橡皮筋拉长为原来的两、三倍长。不要放松！ 这是另一种扭曲。拉长改变了橡皮筋的许多性质。但同样的，并不是所有的性质都改变了。 你能找出这条橡皮筋的哪些性质没有改变吗？ 拉长了的橡皮筋是不是仍然是连着的，从一端到另一端？你打的两个结之间，是不是仍然隔着一段橡皮筋？左边的结是不是仍然比另一个结更接近橡皮筋的左端？ 15 16 从前面所提到的两个例子，我们可以看出线和橡皮筋被扭曲后，有些性质改变了，有些性质不会改变。我们特别给不会改变的性质一个名称：“不变性”。 把线以及不同的图形，经过压缩、卷曲或其他方式的扭曲之后，有些性质会改变，有些性质不会改变。 研究这些不会改变的性质的学科，是“拓朴学”。拓朴

3、学家是研究拓朴学的人。我们处在一个变化万千的世界，所要抓住的就是东西的不变性。 17 18 当一个人要知道有关一般线的一些事情，通常他会仔细的测量线有多长。当拓朴学家看到一条揉皱或拉长的线，他会试着去找出线的不变性，但决不会去测量线有多长。拓朴学家不在乎一条线有多长，或从一地到另一地有多远。拓朴学家关心的是什么呢？譬如说，当你在一个陌生的屋子里，他关心的是你想要知道怎么到厕所这一类的讯息。 如果有人告诉你，厕所离你所站的地方正好是十七公尺五十八公分远，这对你一点帮助也没有。你要的是像下面这样的指示： 不论距离有多远，只要依照这样的指示，一定可以找到厕所。即使楼梯延长或者走廊缩短，指示仍然有用。

4、 19 110 同时，拓朴学家也关心把一条线弯曲成一个圆之后，所产生的一些变化情形。在一张空白的纸上画一个圆。你知道你画的圆对纸产生了什么影响吗？ 圆把纸分成两部分。一部份在圆内，另一部份在圆外。 你知道这个正方形和三角形在哪一点上和圆很像？ 正方形、三角形和圆一样，把纸分成两个部分。一部分在线内，另一部分在线外。 即使是一滴小水滴也是一样。 111 112 依我们的想法，曲线是一条弯曲得很平滑的线。 但拓朴学家把任何将纸分成内部和外部的封闭曲线， 叫做“简单封闭曲线”。小水滴、圆、三角形和正 方形都叫做简单封闭曲线。 在一块橡皮或气球上画一个正方形。现在，你可以把正方形拉成任何弯曲的圆形。

5、你可以从这些弯曲的圆形中找出两个不变性吗？ 113 114 其中一个不变性是：所有的曲线都将橡皮表面分成内部和外部。另一个不变性是：在封闭曲线上的每一个点的相关位置，都不会改变。A 点始终位在 B 点和 D 点之间，B 点始终位在 A 点和 C 点之间等等。 在另一块橡皮上画圆、三角形、小水滴，或是其他的图形，并且拉拉看，你会把它们拉成什 么形状？你能找出这些图形扭曲之后，仍然不变的性质吗？ 115 116 你也可以用你的脸来做相同的实验。找一片光亮、弯曲的金属片。烤面包机的侧面就很适合。 当你的脸凑近烤面包机，或远离烤面包机， 或从一边转到另一边时，金属片上会出现各种扭曲了的脸型。如果你的头

6、不动，让前额靠近烤面包机，下颚远离烤面包机，那么你的前额看起来非常巨大，下颚看起来非常小。但映在金属片上的脸仍然有两个不变性。 其中一个不变性是脸的曲线，仍然把面包机侧面的金属片分成两部分。一部分在曲线内， 另一部分在曲线外。 另一个不变性是脸部的五官，仍然保持原来的相对位置。你的鼻子仍然在前额和嘴巴之间， 你的嘴巴仍然在鼻子和下巴之间。 117 118 和圆、正方形、小水滴一样，映在烤面包机上的脸也是简单封闭曲线。这儿也有一个看起来非常简单的封闭曲线，事实上，它可不简单呢！ 你知道原因吗？ 因为数字 8 曲线把纸分成两个内部和一个外部，也就是在曲线内有两个分离的内部，曲线外是一个外部。 你能

7、画一条封闭曲线，把表面画分成一个外部和几个内部吗？ 这儿就有一个例子： 119 拓朴学家认为，在某一方面来说，棒球和画在纸上的简单封闭曲线很类似。 一个棒球只有一个内部和一个外部。棒球皮以内是棒球，表皮以外就是外部了。 210你能想出一个类似简单封闭曲线的东西吗？ 你很容易就会想到蛋和篮球。 足球也是一样，只有一个内部和外部。香蕉呢？ 盘子呢？ 拓朴学家把这些东西分成不同的组。每一组叫做一“族”。到目前为止，我们所提到的东西都属于零族。待会儿你就知道它们为什么属于零族的原因了。 211 不用切开，也不用撕开，只要重新捏塑，任何属于零族的东西都能改变成像棒球或橘子的球状物。你可以用粘土试试看。先

8、把粘土捏成扁平的圆，再捏成一个球。 212用另一块粘土捏一个球。在这个球的表面， 用大头针或尖笔画一个圈，或其他的简单封闭曲线。 如果你用一把利刀，沿着球上的曲线切下，你知道会发生什么事吗？ 你会把这个球切成两个分离的部分，因为你把球上的一小块切下来了。 在球状物的表面上画一条封闭曲线，并沿着曲线切下，而不把球切成两部分，这是不可能办到的。 如果你画的曲线绕过球中央，那么就会把球切成平均的两半。 213 然而有一种形状，你可以在它上面画一个圈， 并沿着圈切下，但不会把它切成两部分。你能想像这样的形状吗？ 甜甜圈的形状呢？ 你可以在甜甜圈上画一个圈，并沿着圈切下一小块。 你也可以横切甜甜圈，把它

9、切成两大半。 214 也有一种切法，可以让你切过甜甜圈，但仍然保持它的完整。你知道怎么切吗？试试看，你能不能切过甜甜圈，但不把它切成两部分？ 这样的切法可以让你切过甜甜圈，但仍旧保持它的完整，你知道为什么会这样呢？你还知道只要你多切一刀，就会把甜甜圈切成两部分吗？族的区分，是看你能切多少刀，而不会把东西切成两部分来决定的，这就是球和甜甜圈不同族的原因。 215 你不可能沿着球上的一条简单封闭曲线切下一圈，却不把球切成两部分。这就是球和所有的球状物都属于零族的原因。零是你不会把球切成两半的切割次数。 你能够沿着甜甜圈上的一条简单封闭曲线切下一圈， 但不会把它切成两部分。所以，甜甜圈属于一族。 除

10、了甜甜圈之外，你还能想出哪些东西是属于一族？ 注音符号“ ”呢？你知道怎么在注音符号上切 216下一刀，但不会把它切成两部分？ 唱片呢？ 你知道该怎么切吗？ 咖啡杯呢？ 217 218 盘子和球都属于零族。不需切开，也不用撕开，粘土做的盘子就能改变成球。不能 切开，也不能用手撕开，你知道怎么把粘土做的甜甜圈改变成咖啡杯吗？ 挂锁是属于零族还是一族？ 挂锁锁上和没锁上有什么不同？ 当然完全不同。挂锁没锁上时，你没有办法切过它，但不把它切成两部分。所以，当挂锁没锁上时，是属于零族。 但是，挂锁锁上时，你这样或这样 切下一刀，仍然会保持挂锁的完整。所以，当挂锁锁上时，是属于一族。 219 310 你能想出任何属于二族的东西吗？ 数字 8 呢？ 你知道怎么切