管理统计学之随机变量教材(ppt 35页).ppt

1、管理统计学,第五章2：随机变量及其重要的离散概率分布Random Variables and Some Important Discrete Probability Distributions,学习目标 Learning Objectives,1.计算离散随机变量的期望值和方差 Compute the Expected Value & Variance of Discrete Random Variables 2.描述二项、泊松和超几何概率分布 Describe the Binomial, Poisson, & Hypergeometric Probability Distributions

2、3.介绍两个随机变量的协方差与和的思想Introduce the Ideas of Covariance and Sum of Two Random Variables,Random Variables(R.V.)using variables denoting events Properties: choosing value randomly,the probability of choosing value is definite. being divided into continuous variables and discrete variables often being den

3、oted by capital letter X,Y.,Random Variables and Their Distributions,The distribution of discrete r.v. X x1 x2 . xn Pi P1 P2 . Pn Writing like P(X=xi)= formula is also ok. For example: P(X=i)=,The Distribution of R.V.,(n may be, Pi0),The distribution of continuous r.v. The distribution function: F（x

4、）=P（Xx） It can describe discrete r.v. too. 0F（x）1， F（x）is nondecreasing as x increases F（）=?，F（-）=? The distribution density function: f（x） f（x）0， F（x）= , F（x）=f（x）.,The Distribution of R.V.,=1.,The geometrical meaning of density f(x) If X is a continuous r.v., then P(X=a)=0, so F(x)=P(Xa)=1-F(a) P(

5、aXb)=F(b)-F(a) For example: Which of the following formulas are impossible? P(X=6)=0.8 P(X=10)=1.3 F(3.2)=1.6 f(1.5)=0.8 F1(3)=0.5 F1(4)=0.4 f2(3)=1.6 f2(4)=1.0,Random Variables and Their Distributions,离散随机变量 Discrete Random Variable,1. 用数值表达的一个事件 掷两个硬币出现的反面次数 观察到0, 1, 2个反面 2. 离散随机变量 全部整数(0, 1, 2, 3

6、 等等) 通过计数得到,离散随机变量的例子 Examples,试验,随机变量,可能值,打100个促销电话,销售数目,0, 1, 2, ., 100,检查70个收音机,残品数目,0, 1, 2, ., 70,回答33个问题,正确数目,0, 1, 2, ., 33,在收费站数车,从 11:00 到 1:00,到达车辆,数目,0, 1, 2, .,离散概率分布Discrete Probability Distribution,1.列出所有可能的 Xi, P(Xi) 数对 Xi = 随机变量的取值 (可能的结果) P(Xi) = 与每一取值相应的概率 2.互斥 (没有重叠) 3.完备 (没有遗漏) 4

7、. 0 P(Xi) 1 5. P(Xi) = 1,离散概率分布的例子 Example,概率分布 取值, Xi 概率, P(Xi) 01/4 = .25 12/4 = .50 21/4 = .25,事件: 掷两个硬币. 出现反面的次数.,?1984-1994 T/Maker Co.,图示离散概率分布, (0, .25), (1, .50), (2, .25) ,列表,表格,图形,等式,# 反面,f(X,i,),次数,P(X,i,),0,1,.25,1,2,.50,2,1,.25,P,x,n,x,n,x,p,p,x,n,x,(,),!,!,(,),!,(,),1,.00,.25,.50,0,1,2

8、,X,P(X),离散随机变量概括度量 Summary Measures,1.期望值Expected Value 概率分布的均值 所有可能值的加权平均 = E(X) = Xi P(Xi) 2.方差 Variance 对均值的方差的加权平均 2 = E (Xi (Xi P(Xi),思考题 Thinking Challenge,扔两个硬币。你感兴趣的是反面出现的次数。反面的次数，作为一个随机变量，它的期望值和标准差是什么?,?1984-1994 T/Maker Co.,离散概率分布函数 Probability Distribution,1.模型的类型 代表一些内在的现象 2.数学公式 3.代表离散随

9、机变量 4.学会求出准确的概率,离散概率分布 Discrete Probability Distribution,离散,概率分布,泊松分布,超几何分布,二项分布,二项分布 Binomial Distribution,1.n 次观察 (试验) 的样本中成功的次数 2.15次旋转轮盘赌转盘中红色出现的次数 3.一批五件产品中残品的个数 4.33个问题的考试中正确回答的个数 5.100个进入店内的顾客中买东西的顾客个数,二项分布特征 Binomial Distribution Properties,1.两种不同的抽样方法 无限总体无放回 有限总体有放回 2.n 次相同的试验序列 3.每次试验有两个可

10、能的结果 成功(所希望的结果)或者失败 4.每次试验的概率恒定 5.每次试验互相独立,二项分布的概率分布函数 Probability Distribution Function,P(X= x | n,p) = 给定 n 和 p， X = x的概率 n=样本 数量 p=成功的概率 x=在样本中成功的次数 (X = 0, 1, 2, ., n),P,X,x,n,p,n,x,n,x,p,p,x,n,x,(,|,),!,!,(,),!,(,),1,二项分布示例,事件: 投掷一个硬币4次。记录反面的个数。出现三次反面的概率是多少?,P,X,x,n,p,n,x,n,x,p,p,P,X,x,n,x,(,|,

11、),!,!,(,),!,(,),(,|,.,),!,!,(,),!,.,(,.,),1,3,4,5,4,3,4,3,5,1,5,3,4,3,.25,二项分布的特征Characteristics,n = 5 p = 0.1,n = 5 p = 0.5,均值,标准差,E,X,np,np,p,(,),(,),1,.0,.2,.4,.6,0,1,2,3,4,5,X,P(X),.0,.2,.4,.6,0,1,2,3,4,5,X,P(X),泊松分布 Poisson Distribution,1.在一单位区间内发生的事件的次数 单位可以是 时间, 长度, 面积, 空间 2.例子 在20分钟内惠顾的顾客数目

12、每年美国罢工的次数 每一批录像机中的残品数目,泊松过程 Poisson Process,1.事件概率不变 平均60次/小时就是在60个 1分钟的区间内1次/分钟. 2.每个区间发生一个事件 不能同时到达 3.事件的发生相互独立 一个人的到达不会影响到另一个人的到达,?1984-1994 T/Maker Co.,泊松概率分布函数 Probability Distribution Function,P(X= x | ) 为给定 时 X = x 的概率 =成功事件数的期望(均值) e=2.71828 (自然对数的底) x=每单位时间、空间中成功的次数,P,X,x,x,x,(,|,),!,e,-,泊松

13、分布特征 Characteristics,= 0.5,= 6,均值,标准差,i,i,N,i,E,X,X,P,X,(,),(,),1,.0,.2,.4,.6,0,1,2,3,4,5,X,P(X),.0,.2,.4,.6,0,2,4,6,8,10,X,P(X),泊松分布应用示例 Example,顾客以每小时72人的速度到达. 3分钟之内达到4名顾客的概率是多少? 72每小时 = 1.2 每分钟 = 3.6 每三分钟,P,X,x,x,P,X,x,(,|,),!,(,|,.,),.,!,e,e,=,0.1912,-,-3,.6,4,3,6,(3,6),4,4,泊松分布题解: 求出 Finding ,7

14、5 单词/分 = (75 单词/分)(60 分/小时) = 4500 单词/小时 6 错误/小时= 6 错误/4500 单词 = 0.00133 错误/单词 在一个255个单词的段落中 (区间): = (0.00133 错误/单词 )(255 单词) = 0.34 错误/255个单词的段落,超几何分布 Hypergeometric Distribution,1.单一抽样方法 有限 总体 无 放回 2. n 次相同试验的序列 3.每次试验有两个后果 成功 (所希望的后果) 或者失败 4.恒定试验概率 5.试验之间相互依赖,超几何分布 Hypergeometric Distribution,P(X

15、) = 给定 n, N, 和 A 时 X = x 的概率 n=样本容量 N=总体容量 A = 总体中成功的次数 x=样本中成功的次数 (X = 0, 1, 2, ., n),P,X ),( )( ),A X,(,( ),N - A n - X,N n,超几何分布特征 Characteristics,均值,标准差,E,X,np 对于 p = A/N,np,p,(,),(,),1,N,n,N,1,超几何分布的例子,一个班有10个孩子，其中4 人患了感冒。试计算从该班抽取一个包括3 个孩子的样本中有2 个孩子患感冒的概率?,0.30,X ),4 2,(,10 - 4 3 - 2,10 3,( )(

16、),( ),P,协方差 Covariance,= (Xi XYiYP(Xi Yi),I=1,N,度量两个随机变量的相关程度 Measures the Joint Variability of Two Random Variables,XY,两个随机变量的和 Sum of Two Random Variables,E(X + Y) = E(X) + E(Y),Var (X + Y) = 2,两个随机变量的和的期望值,两个随机变量的和的方差,2 Y,XY,2X,X+Y,Example: The probability that one unit normally uses water is 0.7

17、5. Compute the probability: that there are 4 days that use water normally in the recent 6 days (using water independently everyday). Example: 20 machines work independently. It has been known that the probability that every machine breaks down in one hour is 0.01.Compute the probability: There are 2

18、 breaking down in 20 machines in one hour. If there are two persons who are looking after machines, compute the probability that at least one person is idle.,Thinking Challenge,About the approximation relationship among the Hypergeometric, Binomial and Poisson Distribution (1)When N is large and n i

19、s small (n/N0.1), the Binomial Distribution can approximate the Hypergeometric Distribution （we order P=M/N） (2)When n is large and p is small, the Poisson can approximate the Binomial Distribution（we take =np）。（n100，p0.01, np=1，0.1np10),Special Focus,The Binomial Distribution is used for determining the probability that there have x