第5讲抽屉原则二

1、最新 料推荐第五讲抽屉原则（二）一用数 构造抽 例 1在 1、 4、 7、10、 100 中任取 20 个不同的数 成一 ， 明 的任意一 数中必有不同的两 数，其和都是104. 明：把所 的数分成如下18 个不相交的数 ：4 、100 、7 、97 、10 、94 、49 、 55 、 1 、 52 。把每一 数看作是一个“抽 ”，当任意取出20 个整数 ，若取到1 和 52， 剩下的18 个数，一定取自前16 个“抽 ”， 至少有4 个数取自某两个“抽 ”中，若1 和 52没有全被取出， 有多于 18 个数取自前 16 个“抽 ” 中，同 至少有 4 个数取自某两个 “抽 ”中。而前 16

2、 个“抽 ”中的任一“抽 ”的两个数之和 104。 明： 目中没有 成的 西可看作“抽 ”。我 把和104 的两个数 成的数 看作“抽 ”。 种根据 的要求构造“抽 ”的方法少 常要用到的。 注意，本 中“抽 ”的容量是有限的， 解 要根据所 的条件 行具体的分析。例 2夏令 2017 名 去游 故 、景山公园和北海公园， 定每人必 去一 ，最多去两 游 ，那么至少有多少人游 的地方完全相同？解：首先要弄清楚一共有多少种不同的游 情况， 并把它 表示出来。 此， 某人游 某 作“ 1”，没有去某 作“ 0”。并用有序数 a，b，c 表示某人游 的情况。 a=1表示去了故 ， a=0 表示没有去

3、故 ； b=1 表示去了景山， b=0 表示没有去景山； c=1 表示去了北海， c=0 表示没有去北海。 例如 1 ，1，0 表示某人去了故 个景山， 而没有去北海。由于每人必 去一 ，且最多去两 ，所以又来的不同的情况共有6 种可能：1 ，1， 0 ， 1 ，0， 1 ， 0 ，1， 1 ，1 ， 0， 0 ，0 ，1， 0 ， 0 ，0， 1 。 我 就可以把 六种情况看作是六个“抽 ”，由于 20172016=6 336+1，根据抽 原 二，至少有337 人游 的地方相同。例 3把 1、 2、3、 10 这 10 个自然数按任意 序排成一圈，求 在 一圈数中一定有相 的三个数之和大于1

4、7. 明：无 依怎 的 序，把1、 2、3、 10 这10 个自然数 成一圈， 能先找到 1 的位置，然后按 方向，把其他的数依次表示 a2， a3，a4， a10。 任意一种 法，都把以上九个数分成三 (a2， a3， a4)； (a5， a6， a7)； (a8， a9， a 10)。把 三 数看作是三个 “抽 ”，又根据加法的交 律、 合律，可以得到下面的等式：(a2+a3 +a4)+( a5+a6+a7)+(a8+a9 +a10)=2+3+4+ +10=54.而 5451=17 3。根据抽 原 二，一定有一个抽 中的三个数之和大于17，它 恰好是位置相 的三个数。二用剖分 形构造“抽

5、”例 4已知在 1 的等 三角形内（包括 界） ，任意点了五个点，求 ：至少有两个点之 的距离不大于二分之一。1最新 料推荐aegbfc证明：如图，等边三角形abc 的三边中点为 e、f 、g，这样 ef 、 fg、ge 把边长为 1的等边三角形abc 分成了 4 个边长为二分之一的等边三角形。如果规定 ef、 fg 、 ge 上的点属于 efg ，那么 abc 内的点被划分为四个不相交的区域。把每个区域看作是一个“抽屉”，在 abc 内任意画五个点，根据抽屉原则，必有两个点放入同一抽屉中。也就是一定有一个边长为二分之一的三角形，其中包含两个点。显然这两个点的距离不超过二分之一。例 5如果在一

6、个边长为 1 的正方形中，任意放入九个点，则至少存在三个点，其所构成的三角形的面积不超过八分之一。解：g(1)g(2)g(3)dceaag(4)gb f图一图二如图一，将边长为 1 的正方形分成四个面积都是四分之一的长方形g1、 g2、 g3、g4，在正方形内任意放入九个点，由于92 4，根据抽屉原则，至少有一个长方形内包含三个或三个以上的点。 只要证明以这三个点为顶点的三角形的面积不大于小长方形面积的一半就行了。设一个小长方形 defg 内有三个点 a、b、 c（如图二），如果这三个点在一条直线上，结论显然是对的。 如果这三个点不在一条直线上，过这三个点分别做长方形较长边的平行线。设过 a

7、点的平行线交bc 于点 a，a到 de 的距离为h（ 0 h 1 ），a点到 fg 的距离是144h。于是 abc 的面积s abcs aa cs aa b11h11( 1h )2242最新 料推荐1112=。48 明：本 构造抽 的方法不是唯一的，例如 可以构造成四个相等的小正方形。但要注意，如果用两条 角 把正方形分成四个全等的小三角形是不行的。 所以恰当的构造 “抽 ”是解 的关 。三用着色的方法构造“抽 ”例 6 明在任何六个人的聚会上， 有三个人互相 ， 或者 有三个人互相不 。解： 了表示六个人之 相互 或不 的关系，我 用空 的六个点代表六个人。如果两个人相互 ，那么 接表示 两

8、个人的点的 段染成 色，如果两个人不 ，那么相 的 段就染成 色。 六个人聚会的 ，就可以 一个 法：空 有六个点a、b、 c、d 、e、 f，其中没有三点共 ，如果把每两个点 的 段染上 色或 色，不管如何染法， 有一个三 是同一 色的三角形。考察从某一点（如点 a）出 的五条 段开始，由于它 不是 色就是 色。把每种 色看作是一个“抽 ” ，根据抽 原 ，其中至少有三条 段染了相同的 色，不妨 色。假定点a 与 b、c、d 三点的 ab、ac、ad 色，再用虚 接bc、cd 、cb，在 三条 段中用 、 两种 色染色， 如果它 都是 色， 已 解决；如果其中至少有一条是 色，不妨 bc 色

9、， 三角形 abc 的三 都是 色。所以 得到解决。四用剩余数构造“抽 ”例 7一些孩子在沙 上玩耍，他 把石 堆成 多堆，其中有一个孩子 ，从石 堆中任意 出五堆，其中至少有两堆石子数之差是4 的倍数， 你 他的 ？ 什么？解：我 把五堆石子数看作是五个自然数，它 被4 除，其余数不外乎是0、 1、 2、 3四种可能。如果把每一种余数看作是一个“抽 ”，把五个数放入抽 ，根据抽 原 ，其中有一个抽 中至少有两个数， 两个数被4 除的余数相同， 也就是 两堆石子数之差是4 的倍数。例 8任意 定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘 完全由0 和7 成的数。分析：先 几个具体的正整数

10、。当 n=2 ，2 35=70；当 n=3 ， 3 259=777 ；当 n=4 ，4 1925=7700 ；当 n=5 ，5 14=70 。 种 使得我 此 更确信了。解： 在考察(n+1)个数： 7、 77、 777、 7777 、 7777 。n位( n+1)位把它 分 作 a1，a2， an， an +1，如果将 (n+1) 个数中的每一个数 ai 除以 n， 余数只可能是 0、 1、 2、 (n1)中的某一个。由此可以作出 n 个“抽 ”：第一个抽 是余数 0 的；第二个抽 是余数 1 的；第 n 个抽 是余数 (n1)的；把 a1，a2，an，an+1 这 (n+1)个数按照被n

11、除后余数不同的情况分到各个“抽 ” 中，根据抽 原 ， 必有一个抽 中含有两个余数相同的数。不妨 ap = 7777 ，aq= 7777p位q位（假 pq），于是 apaq 能被 n 整除，且具有apaq777000 的形式。( p q) 位q位 就是 n 乘以适当的数之后得到形式 777000 的数，即由7 和 0 成的数。( p q )位q位3最新 料推荐反 来我 一下 n=6 的情况： 首先把 7、77、777、7777、77777、777777 、7777777 七个数除以 6。7 6=1 1；77 6=12 5；777 6=129 3；7777 6=1296 1；。我 已 找到了两个

12、被6 除余数 1 的数是 7 和 7777.77777=7770，所以 7770 6=1295 ，即 6 1295=7770.练习题1某商店有126 箱苹果，每箱至少120 个，至多有144 个， 将苹果个数相同的箱子放作一 ，如果其中箱子数最多的一 有n 个箱子，那么n 的最小 是多少？解：从 120 到 144，共有 144120+1=25 个数，以 25 个数作 “抽 ” ， 125=5 25+1，所以必定有一个“抽 ”中至少有6 个箱子。 n 的最小 6.2在 1 的等 三角形中取10 个点，其中必有两个点它 之 的距离不超 三分之一。解：如 把三角形的每 找到它 的三等分点， 接成

13、9 个小等 三角形， 每个小三角形的 都是三分之一。 用 九个小三角形作成 9 个“抽 ”，把 10 个点放入抽 中， 一定有一个抽 中至少有两个点， 两个点之 的距离不超 三分之一。3任 5 个自然数， 明一定能从中 出3 个数，使得 3 个数的和能被3 整除。解：自然数被3 除的余数是0、1 或 2，用 三个余数作 “抽 ”，把五个数放入三个抽 中。若每个抽 中都有数字， 从三个抽 中各取一个数， 三个数的和能被3 整除；如果有一个抽 中没有数字，即将 5 个数放入到另外两个抽 中，根据抽 原 ， 一定有一个抽 中至少有3 个数， 3 个数的和能被3 整除。 上所述，在 5 个数中一定可以

14、找到3 个数，使得3 个数的和能被3 整除。4全班有 30 个同学，每人都有 ，全班 在共有450 本 ， 明至少有两个人有相同数量的 。解：全班30 个同学中，如果每人所有的 本数都不相同， 最少有1+2+3+ +30=465( 本 ) 。 在只有 450 本 ， 明至少有两个人，他 所有的 本数相同。5在半径 1 的 内，任意 画 13 个点， 一定有3 个点， 由他 所构成的三角形的面 小于。 什么？6解：如 把 分成6 等份，4最新 料推荐用这六小块作成六个“抽屉”， 13=2 6+1，所以根据抽屉原则，一定有一个“抽屉”中至少有三个点， 由这三个点组成的三角形的面积小于圆的面积的六分

15、之一，即三角形面积小于。66黑色、白色、黄色、红色的筷子分别有1 根、 3 根、 5 根和 7 根混杂在一起，黑暗中要从这些筷子中取出不同颜色的两双筷子（每双筷子的颜色相同）。至少要取出多少根才能保证达到要求。解：按极端情况考虑，如果黑色、白色、黄色、红色的筷子各取出1 根，然后又连续取出的都是红色的筷子，把红色的筷子取完，这时已经取出10 根筷子，可是只有红色的筷子可以成双。如果再取出1 根筷子， 不论是什么颜色的，都可以保证有不同颜色的两双筷子。所以至少要取出 11 根筷子。7如图是一个3 行 7 列的 21 个小方格的长方形， 每个小方格用红、 黄两种颜色涂色。 证明：不论怎样涂色一定能

16、找到一个由小方格组成的长方形， 它的四个角上的小方格具有相同的颜色。解：用红、 黄两种颜色作 “抽屉”，先给第一行染色，即第一行共有7 个小方块， 7=3 2+1 ，根据抽屉原则，一定有一种颜色的小方格至少有四个。不妨设第一行中有 4 个小方格是红色的。对这四个小方格的下方对应的第二行的四个小方格染色，如果其中有两个方格染成红色，那么问题已经解决。5最新 料推荐如果最多只有一个小方格染成 色，也就是 至少有三个小方格染成黄色， 于三个黄色方格下方在第三行中 的小方格，用两种 色染色，根据抽 原 ，一定有一种 色的小方格至少有2 个，如果是2 个黄色的小方格， 解决。如果是 2 个 色的小方格， 与第一行 ，也能构成一个 方形，使得四个角都是 色的方格。 上所述，不 怎 涂色一定能找到一个由小方格 成的 方形，