离散状态空间设计幻灯片.ppt

1、2020/9/17,1,第七章 计算机控制系统的 离散状态空间设计,本章主要内容：,状态空间描述的基本概念 2 采用状态空间模型的极点配置设计 3 采用状态空间模型的最优化设计,2020/9/17,2,状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等复杂系统，可以了解到系统内部的变化情况。并且这种分析方法便于计算机求解。,2020/9/17,3,71 状态空间描述的基本概念,1 . 离散时间系统的状态空间描述,设连续的被控对象的状态空间表达式,在 作用下，系统的状态响应为,

2、其中 为系统的状态转移矩阵。取 ， ，考虑到零阶保持器的作用，有,则,（511）,（51）,（513）,（51）,2020/9/17,4,作变量置换，令：,由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式,其中：,式中： 为 维状态向量， 为 维控制向量， 为 维输出向量， 为 维状态转移矩阵， 为 维输入矩阵， 为 维输出矩阵。,（51）,（51）,（51）,2020/9/17,5,可用迭代法求得，,即：,以k0，1， 代入式（516）,离散时间系统状态方程的解,2020/9/17,6,离散时间系统的能控性,描述的系统，如果存在有限个控制信号， ，能使系统从任意初始状态转移到终态，则系统是状态完全

3、能控的。,、,写成矩阵形式,能控性定义：对于式,根据状态方程的解，有,2020/9/17,7,则 、 、 有解的充分必要条件，也即系统的能控性判据为,式中:n为系统状态向量的维数。,得到输出的能控性条件为,式中: r 为输出向量的维数。,2020/9/17,8,描述的系统，如果能根据有限个采样信号， ，确定出系统的初始状态 ，则系统是状态完全能观的 。,离散时间系统的能观性,、,能观性定义：对于式,根据状态方程的解，从0到 时刻，各采样瞬时的观测值为：,2020/9/17,9,写成矩阵形式,则 有解的充分必要条件，即系统的能观性判据为,式中n为系统状态向量的维数 。,2020/9/17,10,

4、72 采用状态空间模型的极点配置设计,图52 按极点配置设计的控制器,状态空间模型按极点配置设计的控制器由两部分组成：一部分是状态观测器，它根据所量测到的输出 重构出状态 ；另一部分是控制规律，它直接反馈重构的状态 ，构成状态反馈控制。,根据分离性原理，控制器的设计可以分为两个独立的部分：一是假设全部状态可用于反馈，按极点配置设计控制规律；二是按极点配置设计观测器。,2020/9/17,11,1 按极点配置设计控制规律,设被控对象的离散状态空间表达式为,控制规律为线性状态反馈,假设反馈的是被控对象实际的全部状态x(k),得闭环系统的状态方程为,作Z变换,显然，闭环系统的特征方程为,图5-3 状

5、态反馈系统结构图,2020/9/17,12,如何设计反馈控制规律， 以使闭环系统具有所期望的极点配置 ？,首先根据对系统的性能要求，找出所期望的闭环系统控制极点 ，再根据极点的期望值 ，求得闭环系统的特征方程为,反馈控制规律应满足如下的方程,如果被控对象的状态为 维，控制作用为 维，则反馈控制规律为 维，即 中包含 个元素。,2020/9/17,13,例7-1 对于单输入系统，给定二阶系统的状态方程,设计状态反馈控制规律 ，使闭环极点为,解 根据能控性判据，因,所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为,设状态反馈控制规律,2020/9/17,14,取 ，比较两边同次幂的系数，有,可得：,即状态反

6、馈控制规律为,闭环系统的特征方程为,2020/9/17,15,2 按极点配置设计状态观测器,在实际工程中，采用全状态反馈通常是不现实的。常用的方法是设计状态观测器，由测量的输出值 重构全部状态，实际反馈的只是重构状态 。即,常用的状态观测器有三种。,图5-4 状态观测器结构图,2020/9/17,16,状态重构误差的动态性能取决于特征方程根的分布。若,状态重构误差为：,得状态重构误差方程为：,预报观测器的特征方程：,的特性是快速收敛的，则对于任何初始误差 ， 都将快速收敛到零。因此，只要适当地选择增益矩阵 ，便可获得要求的状态重构性能。,预报观测器,观测器方程,2020/9/17,17,如果给

7、出观测器的极点，可求得观测器的特征方程,为了获得所需要的状态重构性能，应有,通过比较两边z的同次幂的系数，可求得 中的n个未知数。,对于任意的极点配置， 具有唯一解的充分必要条件是对象是完全能观的。,2020/9/17,18,现时观测器,观测器方程,状态重构误差为,状态重构误差方程：,2020/9/17,19,现时观测器特征方程：,为使现时观测器具有期望的极点配置，应有,同理，通过比较两边z的同次幂的系数，可求得K 中的n个未知数。,降阶观测器,将原状态向量分成两部分，一部分是可以直接测量的 ，一部分是需要重构的 。,2020/9/17,20,被控对象的离散状态方程可以分块表示为,即,比较,得

8、：,2020/9/17,21,观测器方程:,状态重构误差方程：,降阶观测器特征方程：,同理，使 ，通过比较两边z的同次幂的系数，可求得K 中的n个未知数。,2020/9/17,22,3 按极点配置设计控制器,1）控制器组成,设被控对象的离散状态空间描述为,控制器由预报观测器和状态反馈控制律组成，即,2）分离性原理,闭环系统的状态方程为,矩阵形式：,2020/9/17,23,闭环系统的特征方程为,可见，闭环系统的2n个极点由两部分组成，一部分是按极点配置设计的控制规律给定的n个极点，称为控制极点，另一部分是按极点配置设计的状态观测器给定的n个极点，称为观测器极点。两部分相互独立，可分别设计 。,

9、2020/9/17,24,3）数字控制器实现,设状态反馈控制规律为,代入预报观测器方程,观测器与控制规律的关系,得控制器的脉冲传递函数为,将脉冲传递函数转换为差分方程，就可以在计算机上实现数字控制器。,2020/9/17,25,，无阻尼自然频率 ； 观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应的衰减速度快约3倍。,例73 设被控对象的传递函数为 ，采样周期 ，采用零阶保持器，试设计状态反馈控制器，要求：, 闭环系统的性能相应于二阶连续系统的阻尼比,解 被控对象的等效微分方程为,定义两个状态变量,2020/9/17,26,则被控对象的连续状态空间表达式,离散状态空间表达式,其中：,2020/9/1

10、7,27,判断被控对象的能控性和能观性,因此，被控对象是能控且能观的。,根据能控性判据和能观性判据, 设计状态反馈控制规律,设状态反馈控制规律为 ，对应的特征方程为,2020/9/17,28,根据对闭环极点的要求，对应的极点和特征方程为,由 ，可得,解得L12，L20.317，即,2020/9/17,29, 设计状态观测器,选用现时观测器，设观测器增益矩阵为,现时观测器的特征方程为,依题意：,对应的特征方程为,2020/9/17,30,解得 ， ，即,由 ，可得, 组成控制器,其中,，,。,2020/9/17,31,2020/9/17,32,2020/9/17,33,2020/9/17,34,

11、2020/9/17,35,2020/9/17,36,2020/9/17,37,2020/9/17,38,2020/9/17,39,2020/9/17,40,2020/9/17,41,该结论说明了：当满足上述结论中所给条件时，最优的反馈控制规律是常数阵；并且使得闭环系统是渐近稳定的。同时该结论也指出了计算最优反馈控制规律的途径，它既可以通过直接黎卡堤代数方程求解，也可以通过迭代法解黎卡堤差分方程求得。同时也可以看出，结论条件“是正定对称阵”可以放宽到“是正定对称阵”。,2020/9/17,42,2020/9/17,43,2020/9/17,44,2020/9/17,45,2020/9/17,46,2020/9/17,47,2020/9/17,48,2020/9/17,49,2020/9/17,50,2020/9/17,51,2020/9/17,52,2020/9/17,53,2020/9/17,54,2020/9/17,55,2020/9/17,56,2020/9/17,57,2020/9/17,58,2020/9/17,59,2020/9/17,60,2020/9/17,61,闭环系统的调节性能取决于最优控制器，而最优控制器的设计又依赖于控制对象的模型（