线性代数 第五章特征值与二次型

1、第五章 特征值与二次型1 向量的内积在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义：，可得且在直角坐标系中将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上，就有如下定义。定义1 设有n维向量，称为与的内积.内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为.例1 计算，其中x,y如下：(1) x（，），y（，）；(2) x（，），y（，）.解 (1) x,y（）（）（）；(2) x,y（）（）.若、为n维实向量，为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得.(i) x,yy,x，(ii)x,yx,y，(iii)x+y,zx,zy,z.同三维向量空间一样，可用内积定义n维向量的长度和夹角.定

2、义2 称为向量x的长度(或范数)，当x1时称x为单位向量.从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：（）非负性： 当x0时，x，当x时x.（）齐次性： xx.（）三角不等式： xyxy.（）柯西-许瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式: x，yxy.由柯西-许瓦茨不等式可得（xy）.于是我们定义，当，0时，称为x与y的夹角.当x，y时，称x与y正交.显然，n维零向量与任意n维向量正交.称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.定理1 若n维非零向量为正交向量组，则它们为线性无关向量组.证 设有使，分别用与上式两端作内积(k，r)，即得因，故，从而，于是线性无关.在研究向量空间的问题时，常采用

3、正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么n维向量空间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?定理 2 若是正交向量组，且n，则必存在n维非零向量x，使，x也为正交向量组.证 x应满足，即记则，故齐次线性方程组Ax必有非零解，此非零解即为所求.推论个（）两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.例2 已知（，），（，）正交，试求一个非零向量，使两两正交.解 解方程组得基础解系为，取，则即为所求.定义3 设n维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称之为V的一个正交规范基(标准正交基).若是V的一个正交规范基，则V中任一向量可由惟一线性表示，设为则由，得

4、惟一确定，i,，r.下面介绍将向量空间的任一基转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法，其具体步骤如下：取容易验证两两正交，非零.然后将它们单位化，即令则就是V的一个正交规范基.例3 已知(1, 1,0)、(1,0,1)，(1, 1,1)是R3的一个基，试用施密特正交化方法，构造R3的一个正交规范基.解 取再将单位化，即得R3的一个正交规范基定义4 如果n阶方阵满足AAE（即AA），就称A为正交矩阵.用A的列向量表示，即是亦即由此得到n个关系式这说明，方阵A为正交矩阵的充分必要条件是：A的列向量组构成Rn的正交规范基，注意到，所以上述结论对A的行向量组也成立.例4 验证矩阵是正交矩阵.解

5、A的每个列向量都是单位向量且两两正交，故A是正交矩阵.由正交矩阵定义，不难得到下列性质.（i）若A是正交矩阵，则.（ii）若A是正交矩阵，则，也是正交矩阵.（iii）若，是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.定义5 若T是正交矩阵，则线性变换yx称为正交变换.设yx是正交变换，则有这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合，例如为正交矩阵，正交变换yx相当于旋转角，再关于纵轴对称反射.2 方阵的特征值和特征向量工程技术中振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题，特征值、特征向量的概念，不仅在理论上很重要，而且可以直接用

6、来解决实际问题.定义6 设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得xx， （5.1）则称为矩阵A的特征值，称x为矩阵A对应于特征值的特征向量.(5.1)式也可写成（）x. （5.2）(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是. （5.）(5.3)式的左端为的n次多项式，因此A的特征值就是该多项式的根.记f()=|-|，称为A的特征多项式，则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程(5.3)称为A的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n阶方阵A有n个特征值.设i为其中的一个特征值，则由方程（i）x0可求得非零解xpi，那么pi便是A的对应

7、于特征值i的特征向量(若i为实数，则pi可取实向量，若i为复数，则pi为复向量.)例5 求的特征值和特征向量.解 A的特征方程为所以A的特征值为当时，由可得x1x2，所以对应的特征向量可取为；当2时，由即解得x1x2，所以对应的特征向量可取为显然，若pi是对应于特征值i的特征向量，则kpi（k）也是对应于i的特征向量，所以特征向量不能由特征值惟一确定，反之，不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等，也即一个特征向量只能属于一个特征值.例6 求矩阵的特征值和特征向量.解 A的特征多项式为所以A的特征值为12，23.当12时，则方程（A2E）x0，由得基础解系所以kp1（k）是对应于12的全部特征向

8、量.当231时，解方程（E）x0，由得基础解系所以kp2（k）是对应于231的全部特征向量.从上述例子可以归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤.第一步：计算特征多项式AE.第二步：求出AE0的全部根，它们就是A的全部特征值.第三步：对于A的每一个特征值i，求相应的齐次线性方程组(iE)x0的一个基础解系，则对于不全为零的任意常数，即为对应于的全部特征向量.例7 求矩阵的特征值和特征向量.解 A的特征多项式为所以A的特征值为121，32.当121时，解方程（AE）x0，由得基础解系于是为对应于121的全部特征向量.当32时，解方程（2E）x0，由得基础解系所以k3p3（k3）为对应于32的全部特

9、征向量.例8 设是方阵A的特征值，证明2是A2的特征值.证因是A的特征值，故有p，使pp，于是A2pA（Ap）Ap2p.所以2是A2的特征值.按此例类推，不难证明：若是A的特征值，则k是k的特征值；是的特征值(其中).例9 设向量=(1,2,0), =(1,0,1)都是方阵A的属于特征值=2的特征向量，又向量=(-1,2,-2)，求.解 由题设条件有又故定理3 设1，2，m是方阵A的m个互不相同的特征值，p1，p2，pm依次是与之对应的特征向量，则p1，p2，pm线性无关.证 设有常数x1，x2，xm，使x1 p1+ x2 p2+ xm pm =0,则A(x1 p1+ x2 p2+ xm pm

10、) =0,即.类推有把上列各式合写成矩阵形式，得(x1 p1，x2 p2，xm pm)=O.上式等号左边第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当各不相同时，该矩阵可逆，于是有(x1 p1，x2 p2，xm pm) =O，即xipi0，但pi0，故xi0，i1，2，m.所以向量组p1，p2，pm线性无关.3 相似矩阵定义7 设A与B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使BP -1AP，则称A与B是相似的.定理 4 若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同.证 因A与B相似，即有可逆矩阵P，使PAPB，故|BE| P -1APP -1(E)P| P -1（AE）P|P -

11、1AEPAE.推论 若n阶方阵A与对角矩阵diag (1，2，n)相似，则1，2，n即是A的特征值.证 因1，2，n是diag（1，2，n）的n个特征值.由定理4知1，2，n也就是A的特征值.关于相似矩阵我们关心的一个问题是，与A相似的矩阵中，最简单的形式是什么?由于对角矩阵最简单，于是考虑是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?下面我们就来研究这个问题.如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵，则称A可对角化.现设已找到可逆矩阵P，使P -1APdiag（1，2，n）.把P用其列向量表示为（1，2，n），由P -1AP，得APP，即A（p1，p2，pn）（p1，p2，pn）diag（1，2，n）（1

12、p1，2 p2，n pn）.于是有A pii pi （i1，2，n）.可见P的列向量pi就是A的对应于特征值i的特征向量.又因P可逆，所以p1，p2，pn线性无关.由于上述推导过程可以反推回去.因此，关于矩阵A的对角化有如下结论：定理5 n阶方阵A可对角化的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量p1，p2，pn，并且以它们为列向量组的矩阵P，能使P -1AP为对角矩阵.而且此对角矩阵的主对角线元素依次是与p1，p2，pn对应的A的特征值1，2，n.现在的问题是：对于任一矩阵A，是否一定存在n个线性无关的特征向量，答案是否定的，在上节例7中A的特征方程有重根.但仍能找到3个线性无关的特征向量

13、，但在例6中A的特征方程亦有重根，却找不到3个线性无关的特征向量.从而例6中矩阵A不能与对角矩阵相似.例10 设A=的一个特征向量为p=.(1) 求参数a,b的值及A的与特征向量p对应的特征值；(2) A与对角阵是否相似？解 （1）设A的与特征向量p相对应的特征值为，可得方程组（AE）p=0，即即解得 (2) 由知A有三重特征值1=2=3=1.由于可知R(A+E)=2,nR（A+E）=32=1,故三阶方阵A与=1对应的线性无关的特征向量仅有一个.所以A不与对角阵相似.在矩阵中有一类特殊矩阵，即实对称矩阵是一定可以对角化的，并且对于实对称矩阵A不仅能找到可逆矩阵P，使得P -1AP为对角阵，而且

14、还能够找到一个正交矩阵T，使T -1AT为对角矩阵.定理6 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设复数为实对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量，即xx，x0.用表示的共轭复数，表示x的共轭复向量，则于是有及两式相减，得.但因x，所以故，即，这表明是实数.显然，当特征值为实数时，齐次线性方程组是实系数线性方程组，从而必有实的基础解系，即对应于的特征向量必可取实向量.定理7 设1，2是实对称矩阵的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若12，则p1与p2正交.证 1p1Ap1，2p2Ap2，12，因A对称，故1p1(1 p1)(Ap1)p1Ap1A，于是1 p1p2p1Ap2= p1(2p2

15、)= 2 p1p2即（12）p1p20，但12，故p1p20，即p1与p2正交.定理8 设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使其中，n是A的特征值.在这里，我们主要介绍如何具体算出上述正交矩阵T，由于T是正交矩阵，所以T的列向量组是正交的单位向量组，且如前所述，T的列向量组是由A的n个线性无关的特征向量组成，因此对T的列向量组有三条要求：1每个列向量是特征向量.2任意两个列向量正交.3每个列向量是单位向量.于是求正交矩阵T使T -1AT为对角矩阵的具体步骤如下：第一步：求出A的所有不同的特征值，s.第二步：求出A对应于每个特征值i的一组线性无关的特征向量，即求出齐次线性方程组（iE）x0的一

16、个基础解系.并且利用Schmidt正交化方法，把此组基础解系正交规范化，再由定理7知对应于不同特征值的特征向量正交，如此可得A的n个正交的单位特征向量.第三步：以上面求出的n个正交的单位特征向量作为列向量所得的n阶方阵即为所求的正交矩阵T，以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵，即为所求的T -1AT.例11 设A，求正交矩阵T，使T -1AT为对角矩阵.解 显然AA.故一定存在正交矩阵T，使T -1AT为对角阵.第一步：先求A的特征值，由求得A的特征值为11（二重），25.第二步：对于11，求解齐次线性方程组(AE)x0.由求得一基础解系为正交化：令再单位化，令对于25，求解齐次线性方程组

17、（A5E）x0，由求得它的一基础解系为这里只有一个向量，只要单位化，得第三步：以正交单位向量组为列向量的矩阵T就是所求的正交矩阵，即有例12 设求正交矩阵T，使T -1AT为对角矩阵.解求得A的不同特征值14（二重），28，312.对于14.求解齐次线性方程组（A4E）x0，由求得一组基础解系为显然与正交，只要单位化，即对于28，相似地可求得齐次线性方程组（A8E）x0的一组单位化的基础解系对于312，相似地可求得对应的单位特征向量于是即为所求的正交矩阵，且4 化二次型为标准型前面我们主要研究线性问题，但在实际问题中还存在大量非线性问题，其中最简单的模型就是二次型，本节用矩阵工具来研究二次型，

18、介绍化二次型为标准型的几种方法.定义8 n元变量的二次齐次多项式 （5.4）称为二次型.当aij为复数时，f称为复二次型，当aij为实数时, f称为实二次型，我们仅限于讨论实二次型.取ajiaij则2aijxixjaijxixjajixjxi.于是(5.4)式可写成对称形式 （5.5）记 （5.6）则(5.5)式可以用矩阵形式简单表示为其中A为实对称矩阵.例如，二次型用矩阵表示就是：显然这种矩阵表示是惟一的，即任给一个二次型就惟一确定一个对称矩阵，反之任给一个对称矩阵也可惟一确定一个二次型.即二者之间存在一一对应关系，我们把对称矩阵A称为二次型f的矩阵，A的秩称为f的秩.也称f为对称矩阵A的二

19、次型.在平面解析几何中讨论二次曲线时，经常采用的是把二次曲线的一般方程通过坐标变换化成标准型再根据标准型作出曲线形状的判断.在这里，我们对二次型也类似地进行讨论.即对于一般的二次型找到一个非退化的线性变换（即C是n阶可逆矩阵）xy，使得即利用非退化线性变换将二次型化为只含平方项的形式.这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型(或法式).定理9 任给可逆矩阵C，令BCAC，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(B)R(A).此时，也称A与B合同.证 因AA，故B（CAC）CACCACB即B为对称矩阵.又因为BCAC，而C与C均为可逆矩阵，故A与B等价，于是R（B）R（A）.这定理说明经可逆

20、变换xCy后，二次型f的矩阵A变为对称矩阵CAC，且二次型的秩不变.矩阵的合同关系与相似关系一样，都满足反身性，对称性，传递性.要使二次型f经可逆变换xCy变成标准型，这就是要使也就是要使CAC成为对角矩阵.因此，问题归结为：对于对称矩阵A，寻求可逆矩阵C，使CAC为对角矩阵.由上节的定理8知，任给实对称矩阵A，总有正交矩阵T，使AT即TAT为对角矩阵.把此结论应用于二次型，即有如下定理.定理10 任给二次型f，总有正交变换xTy，使f化成标准型其中是f的矩阵A（aij）的特征值.用正交变换把二次型化为标准型，这在理论上和实际应用上都是非常重要的，而此方法的具体步骤就是上节所介绍的化实对称矩阵

21、为对角矩阵的三个步骤.例13 求一个正交变换xTy，把二次型化为标准型.解 f的矩阵是于是A的全部特征值为11（三重），23.对于11.解齐次线性方程组(AE)x0，由求得一组基础解系令再令对于23.解齐次线性方程组（A3E）x0，由，求得一组基础解系为取正交矩阵再令xTy，则可得例14 已知二次型，通过正交变换可化为标准型，求参数a及所用的正交变换.分析 由于二次型通过正交变换x=Ty化成的标准型中的平方项系数是A的特征值，而且变换前后两个二次型的矩阵有下面的关系：所以上式两边取行列式即可求得参数a.解 变换前后二次型的矩阵分别为设所求正交矩阵为T，则有TAT=，此时两边取行列式，并注意到|

22、T|=1，得|T|A|T|=|T|2|A|=|A|=|即2(9-a2)=10.由a0,得a=2.因为A的特征值为1=1,2=2,3=5.当1=1时，解齐次方程组（A-E）x=0，得特征向量为同理，可求得与2=2,3=5对应的特征向量分别为又因为对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，所以是正交向量组，将它们单位化得以p1,p2,p3为列即得所求的正交矩阵用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换，那么还可有多种方法把二次型化成标准型.如配方法，初等变换法等等，下面通过实例来介绍配方法和初等变换法.例15 化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵.解 由于f中含变量

23、x1的平方项，故把含x1的项归并起来配方可得.上式右端除第一项外已不再含x1，继续配方，得令 即 就把f化成标准型.所用变换矩阵为例16 化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵.解 在f中不含平方项，由于含有乘积项，故令代入可得再配方，得故令 即 即有，所用变换矩阵为一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换化成标准型，且由定理9可知，标准型中所含有的项数就是二次型的秩.我们知道化二次型为标准型就是寻求可逆矩阵C，使CAC成为对角矩阵.这里A为二次型的矩阵，而任一可逆矩阵又可分解为若干初等矩阵之积.从而我们有定理11 对实对称矩阵A，一定存在一系列初等矩阵E1,E2,Es，使得关于初等矩

24、阵，易见记.则上述定理还表明：对A同时施行一系列同类的初等行、列变换，得到对角矩阵，而相应地将这一系列的初等列变换施加于单位阵，就得到变换矩阵C.其具体做法是将n阶单位阵E放在二次型的矩阵A的下面，形成一个2nn矩阵.对此矩阵作相同的行、列变换，把A化成对角形的同时，把单位阵化成了可逆变换矩阵C，这就是初等变换法.例17 用初等变换法将例15中二次型化为标准型.解 二次型f的矩阵故令则例18 用初等变换法将例16中二次型化为标准型.解 所给二次型f的矩阵故则5 正定二次型上节我们用不同的方法，把一个二次型化为标准型.从例16和例18可知，化二次型为标准型时，可用不同的变换矩阵，且所得标准型也不

25、相同.即二次型的标准型是不惟一的.但正如我们前面所说，二次型的秩是惟一的.在化标准型的过程中是不变的.即一个二次型的两个不同标准型中含有的非零平方项数是相同的，都等于二次型的秩.不仅如此，在实可逆变换下，标准型中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数不变，正、负系数个数之差符号差也不变).即有如下定理.定理12(惯性定理) 设有二次型fxx，它的秩为r，有两个实的非退化线性变换xy，及xz，使及则中正数的个数与中正数的个数相同.定义9 二次型f(x1, x2, xr)的标准型中，系数为正的平方项的个数p称为此二次型的正惯性指数，系数为负的平方项的个数rp称为负惯性指数，spr称为符号差.这里r

26、为二次型f的秩.比较常用的二次型是pn的情形.定义10 设有二次型f（x）xAx，如果对任何x0，都有f（x）（显然f（0）0），则称f为正定二次型，称A为正定矩阵；如果对任何x0，都有f（x）0，则称f为负定二次型，其矩阵A为负定矩阵.定理13 fxA x为正定二次型的充分必要条件是：它的正惯性指数等于n.证 设可逆变换xCy，使f（x）f（Cy）.设ki(i，n)，任给x0，有yCx0，从而f（x）f（Cy）,即f是正定二次型.反之假设有某个s (1sn)，使ks0.则当yes时f（Ces）= ks0.这与f为正定相矛盾.故必有ki(i，n).推论 对称矩阵A正定，当且仅当A的特征值全为正

27、.完全相似地，我们有二次型f为负定二次型当且仅当它的负惯性指数等于n，对称矩阵A为负定矩阵当且仅当它的所有特征值全为负.下面我们不加证明的介绍判定矩阵正(负)定的一个充分必要条件，即定理14 对称矩阵A正定，当且仅当A的各阶(顺序)主子式全为正，即：对称矩阵A负定当且仅当A的奇数阶(顺序)主子式为负，偶数阶(顺序)主子式为正，即：例19 判定的正定性.解 由AE（1）2（5），得A的特征值为1，1，5.根据定理13之推论知，A为正定矩阵，从而f为正定二次型.例20 判别二次型f(x，y，z)5x26y24z24xy4xz的正定性.解 f的矩阵为因 则根据定理14知f为负定二次型.例21 设，问

28、取何值时，f为正定二次型.解 f的矩阵由根据定理12知当即21时所给二次型f正定.例22 证明若A（aij）为正定矩阵.则aij0（i1，2，n）.证 因为A正定，故对任何x0，有xAx0，取xei则有xAxaii0（i1，2，n）.类似地若A负定，则aii0.此例表明主对角线上元素均大于零是A正定的必要条件，但它并非充分条件，例如有a11a2210，但因A30，故A不是正定的.最后，作为选讲内容，我们利用二次型的正定性研究多变量函数的极值问题.设n元函数f（x1，x2，xn）在点的某个邻域内有二阶连续偏导数，由多元函数的 泰勒（Taylor）公式得简写为矩阵表达式其中显然A为实对称矩阵，由高

29、等数学知，函数f（P）在处有极值的必要条件是为零向量，即在此条件下，点P为f的驻点，这时有.当足够小时，上式右端正负号完全由二次型xAx来决定，故若这二次型的秩为n，则(1) 当xAx为正定时，P0为f的一个极小值点.(2) 当xAx为负定时，P0为f的一个极大值点.(3) 当xAx为不定时，P0不是f的极值点.当xAx的秩小于n时，要决定f在点P0的性态，还需研究余项R，这里就不再讨论了.当n2时，就得到熟知的二元函数在P0有极值的充分条件，即若记,得A.于是当R（A）2时，有(1) A正定时，f(P0)为极小值；(2) A负定时，f(P0)为极大值；(3) A不定时，f(P0)不是极值.例23 求函数f（x,y）3xyx3y3的极值.解 解方程组得驻点P1（0，0），P2（1，1）.又因为，所以在P1处有且为不定，故f（P1）非极值,而在P2处，有，且负定，故f（P2）为极大值.习 题 五.计算.把下列向量单位化.(1) （3，0，1，4）；(2)（5，1，2，0）.3. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.(1) 1 =(0，1，1), 2 =(1,1,0), 3 =(1,0,1);(2) 1 =(1,0,-1,1), 2 =(1,-1,0,1), 3 =(-1,1,1,0)4.试证