西南交大《有限元方法》课件—赵华主讲04.ppt

1、第4章 变分原理,有限元法初期阶段采用直接刚度法，一种源于结构分析的矩阵位移法，但只能处理些简单结构分析。 到1963，Besseling、Melosh、Jones等证明了有限元方法是基于变分原理Ritz法的另一种形式：有限元方法是一种对能量泛函分块近似的Ritz法，是一种在单元边界可以放松某种连续性要求的变分原理。 从此被确认为处理连续介质问题的一种普遍方法。,以多个变分原理为基础，可以建立各种形式的有限元，如前面2章基于虚位移原理的协调单元；其它的如基于修正位能原理的杂交单元等等。 理论上，从变分原理建立的各种单元都是可行的，具体应用则有收敛率、精度等原因而限用于不同问题 本章重点介绍几种

2、简单、相关的变分原理。变分原理是建立有限元方法的理论基础，亦为发展有限元方法的理论源泉。,4.1变分法基础 A、泛函定义 如果对于某一类函数 中的每一个函数 ， 都有一个值与之对应；或者， 变量对于函数 的关系成立，变量 称为函数 的泛函，记为： 泛函是变量与函数的关系，为函数的函数（非隐函数），一种广义的函数。其中 称为宗量 （而函数是变量与变量之间的关系）,举例短程线问题 在指定平面内连接两定点的各种容许曲线中，选定一条使两点间沿该曲线的距离最短的曲线。 定点： 连接AB两点的任一曲线的弧长 可以表述为： 这里L只与曲线的函数形式相关。而不直接与X相关！,寻找最短弧长曲线 的形式即为变分学

3、所要研究的问题。 B、变分 泛函的宗量的增量在指定域中都很小时，就称之为变分。 (4.1) 也为x的函数，须在指定x域中是微量， 在接近 的一类函数中任意变化的。 如果 与 很接近，且函数有k阶导，也与很接近，即其差的模都很小，则 与 具有k阶接近度。称为k阶变分。 一般认为，具有相同量级的微量。,C、泛函的连续性 如果对于的微量改变，有相应的微量改变，则称泛函为连续的。 与高等数学中函数连续性定义相似， 对任一正数 ，若可以找到一个 ，并当： 能使得 ，则在 处具有k阶连续性。,D、泛函的变分 定义（几何意义）： 泛函的增量：由的变分 所引起的泛函的增量， 将 分解为线性项和非线性项二部分：

4、 为同阶或更高阶小量， 线性部分 称之为泛函的变分：(4.2),泛函的变分可理解为泛函的增量的主部。而且其主部相对于变分 为线性的。 定义二（Lagrange定义） 泛函变分是 对 的导数在 时的值， (4.3),E、泛函的驻值 函数的驻值 如果函数在 附近的任意点上的值都不大（小）于 ，即（或 ）则函数在上达到极大（或极小）值，且 ， 为驻点， 为驻值。 对于多元函数， 取极值条件： 即： 为驻点，为驻值； 极大或极小？ 极小； 为极大。,泛函的驻值 如果泛函 在任何一条与 接近的曲线上的值不大于（小于）， 即 则泛函在曲线上达到极大（或极小）值。 而且在上有驻值条件： (4.4) 与函数极

5、值判定条件类似： 取极小值 取极大值,注意： 这里谈及的极值指相对的极大或极小，是从在相接近的许多曲线中找出一个最大的泛函值。 由于曲线的接近程度不一，还应具体分为曲线有几阶的接近度。 若接近度为0阶的曲线 ，泛函在 达到极值的变分称为强变分。泛函的极值为强极大或强极小。 若接近度为1阶的曲线 ，泛函在 达到极值的变分称之为弱变分。,F、变分的计算方法： 微分与变分可互调换顺序：(4.5) (4.6) 积分与变分可互调换顺序，设 (4.7) 和： (4.8),积： (4.9) (4.10) 商： (4.11),G、基本预备定理 如果函数在线段上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数，

6、有 则在线段上有， 一般条件包括： 一阶或若干阶可微；在端点处为零，,对于多变量，类推； 上述， 为宗量 的变分。 H、泛函极值问题的求解 (变分法的主要步骤) 最速降线问题： 当一重物沿连接不在同一铅垂线上的两点 的一条曲线，受重力作用自由下滑，不计摩擦力时，求在哪种曲线上下滑所需时间T最少。 ,问题上升： 在满足固定边界（端点）条件，的函数中，求泛函： 为极值的函数。 解： 、设为曲线上 的任意一点，由能量守恒定律， 总势能：,运动学：设为曲线的运动方程，重物沿该曲线从A运动到B点，其运动速度可表示为： 二速度v相等： 从A到B的滑行时间T，应有积分，,泛函的建立：式中时间T是依赖于曲线函

7、数的函数，T称之为泛函，需求其极值。即求T取最短时间的曲线函数。 、设为满足使泛函取极值的解，与之相接近的函数为 ，其导数。 泛函的增量： 作为小量，按Talyor级数展开，,当 很小，（这时与有一阶接近度），泛函变分就为略去 二次以上高阶项后的线性主部。 极值条件： 、对第一项分部积分：,因为为通过 两点的具有与一阶 接近度，即： 于是， 积分第一项：,故， 由于 为任选函数，且 ，由变分法基本定理： 、从中就可求出 。 这类从泛函变分获得的微分方程 欧拉方程,变分法的三个步骤： 从物理问题建立泛函及其条件； 通过泛函变分，利用变分法基本原理求得欧拉方程； 求解欧拉方程，得到所求函数。,注意

8、： 变分法和欧拉方程代表同一个物理问题，从变分法求近似解与从欧拉方程求近似解，效果相同。前者容易，而后者困难； 物理方程可以从泛函变分中求得； 微分方程求解困难时，可转化为相当的泛函变分求极值问题，从而采用近似方法求解； 若微分方程的泛函不存在，可采用伽辽金法，加权余量法求解。,I、欧拉方程建立步骤 定义：满足给定的连续性与边界条件的函数称为容许函数。 变分学的问题是在容许函数中求出使泛函取驻值的特定函数。（满足边界条件、连续性的函数即为容许函数，这里可能有无数个容许函数。） 可以推广为： 求使泛函 在边界条件 下 取驻值的函数。,考虑几何定义“泛函变分为泛函增量的主部” 设正确解为 ，与 邻

9、近的任意容许函数为： 且 泛函增量 按Taylor级数展开,驻值条件为： 引入， 作分部积分，驻值条件第二项：,由于， 驻值条件第二项 于是， 由变分法基本预备定理，极值条件等价于： （欧拉Euler方程）,讨论： 上述内容为变分原理学习中将要涉及到的一些基础。正如在H中的讨论，变分法与Euler方程代表同一个物理问题，当微分方程求解困难时，可转化为等效的泛函变分求极值问题，从而采用近似方法求解； 对弹性力学的基本方程求解困难时，就可建立其相等效的泛函变分问题。通过变分原理可以提供一种近似解，这是一种最有效的近似解； 应注意到：泛函变分的本意是指从一切容许函数中（满足给定的连续性和边界条件）寻

10、找使泛函取驻值的函数，如果能确定这样一个特定函数，就找到了精确解；,事实上，寻找的函数范围有限，难以包括一切容许函数，这就给问题带来了近似性。如：真解可展开为一Taylor级数，而通常只能取有限项，自然就带来了近似性； 解决弹性力学边值问题的基本微分方程有二类：按位移求解或按应力求解。现有资料表明，其解析解很有限，更多问题还需借助于泛函变分求其近似解； 与位移解法对应的泛函为：弹性体总势能，泛函取极小值的解即为位移解； 与应力解法对应的泛函为：弹性体总余能。泛函取极小值的解为应力解。,4.2 虚功原理 A、功 外力 在移动位移 时，作功： (4.12) 功的增量：,上式已假定力为位移之函数 ，

11、 即为泛函，且仅 一个宗量。 如果力和位移独立，则 含 2个宗量， (4.13) 则 此时存在的约束条件，,一般三维结构含体力 、面力 、集中力 ，位移为，外力功可以表示为： (4.14) 为变分方便，取集中力为面力的一种特例。,假定位移分量发生了几何边界所允许的微小改变， 则有功的增量， (4.15) (4.16) 与虚功原理中的外力虚功相似？,B、余功 (4.17) 仅在线弹性体条件下，图中曲线为直线时， (4.18) 给各载荷一微小增量，即一变分,余功增量： (4.19) (4.20),C、应变能 应变抵抗外力（在外力引起的应变上）所作功以变形能形式储存的能量。 应变能密度： 一维： (

12、4.21) 三维： ( 4.22) (4.23) 当外力引起的位移由 增加到 时, 相应有,应变能密度增量： (4.24) (4.25) 应变能的一阶变分： (4.26),D、余应变能 ： 曲线上方面积即定义为余应变能密度。 余应变能密度： (4.27) (4.28) (4.29) 余应变能的一阶变分 (4.30),E、虚位移原理的推导 物体在给定的体力，边界力条件下已处于平衡状态，我们引入几何边界条件所允许的任一组无限小虚位移（即位移的变分），施加在这一平衡态物体上， 在 上， 且 于是,力平衡： 力边界： 建立一包容力平衡方程、力边界条件的等效积分形式： (4.31) 上式相当于构造了一个

13、泛函的驻值问题，其变分即为力的平衡方程、力的边界条件（类似于Euler方程，由预备定理直接转换）。 可对（4.31）式直接作分部积分。,为习惯起见，展为分量形式： 第一项：,由 再采用格林积分定理，边界上 第一项 同理，对其余各项作变换，可得到：,注意到， 而 于是 由 得到，,记为矩阵形式， (4.32) 第1项为应变能的一阶变分；虚应变能； 第2、3项为功的一阶变分；虚功。 即可改写上式为： (4.33) 上述为小位移情况下的虚位移原理，对于满足给定几何边界条件的任意无限小虚位移，上式成立。 力平衡方程、力边界条件的等效积分形式即为虚功原理。,同样反推回去，可以证明虚功原理，即（应变能外力

14、功）构成泛函的一阶变分，取驻值时对应的Euler方程，即为力平衡方程和力边界条件。两者是等效的。 虚位移原理的完整表述：如果虚位移发生前，弹性体处于平衡状态且满足力边界条件，那么在虚位移过程中，外力在虚位移上所作虚功就等于应力在虚应变上做的虚功（虚应变能）。 反之亦然：如果在虚位移发生过程中，虚功等于虚应变能，那么在虚位移产生之前，结构处于平衡状态且满足力边界条件。,F、虚位移原理的Euler方程 应变能的一阶变分： 对其中每一项作分部积分，如第一项，,在边界上有，,由 在 上 而外力功的一阶变分： 如果对于任意满足位移边界条件的虚位移都有虚功原理成立，则,(4.34) 由于的任意性， 上二E

15、uler方程，恰为力平衡方程和应力边界条件！,上述推导证明：虚位移原理与应力平衡方程、力边界条件互为充要条件！ 如果给定的容许虚位移满足应力边界条件，则有， (4.35) 上式为伽辽金变分方程。 其等价的Euler方程为：应力平衡方程！,注意： 上述推导中，仅采用了小位移下的应变位移，即几何关系、平衡方程，而未涉及材料本构（应力应变）关系。 因此，对任意材料，虚功原理均成立适用，且只适于小变形问题。,4.3 最小势能（位能）原理 由（4.23）式， 即应力可由应变能对应变的偏导所表述，这是具有普遍意义的描述。 各向同性的弹性问题： 而应变能密度（4.22）， 代入应力应变关系，可直接积分出；

16、(4.36) 注意到： 为对称矩阵， 为非零列阵时，,应变能密度为应变分量的正定函数（仅当 为0列阵时，）。 将小位移-应变关系、即几何方程代入，应变能密度转化为关于位移分量的函数， (4.37),应变能密度的一阶变分， 由(4.32)式，修改为 (4.38) 功的一阶变分与力的变分无关，且应变能的一阶变分也与应力的变分无关。 这样，求 时，可以合理地假设应力、力边界均保持常数，仅研究位移的变化 。 （注意：表面位移约束为给定，不计入）,外力功： (4.39) (4.40) 系统的总势能定义为： (4.41) (4.42) (4.43),最小势能原理： 在所有容许位移函数中，真实的位移使得系统

17、总势能取驻值，且为最小值。 证明： 设 和 分别为真实位移、一组容许的任意选择的可能位移。 令 ，为任意微小量。 则系统总势能有增量： (在 域内展开),其中， 略去高阶项。 在 上， 为真实解， 可能位移 应满足边界条件 于是在 ， 由总势能取驻值，一阶变分 且应变能为正定函数， 仅当 导出的所有应变分量为零时，,所以， 即， 由于对 未加限制，只有当，即可能位移为真实位移时，等式成立； 而对其余，可能位移导致的系统总势能都必将大于真实位移下的系统总势能。 这就得到结论：真实位移解使总势能取最小值。,应用举例 系统的总势能： 在线性弹性条件下， 应变能密度，,单元节点位移为 单元位移模式：

18、单元应变： 单元内部的应变能： 单元刚度：,结构内的总应变能： 将所有节点位移分量重排为一列阵，按总节点编号排序 其中， 当结构分为m个单元后，总的外力功即为各单元上外力功值简单代数和：,令， 则， 同样，按总节点编号排序 其中， 结构的总势能：,结构总势能已经离散为节点位移的多元函数，但是一个有限自由度的泛函。 由泛函数值条件， 即最小势能原理， 转换为多元函数的极值条件，则， 结构总势能的一阶变分， 最后得到有限元方程：,注意： 上式是由最小势能原理导出的结构有限元方程，对于所有线弹性问题，具有普遍适用性。 与前面讨论的由虚位移原理建立有限元方程相比较，其差异在于，不必引入虚拟节点力概念，

19、不涉及到单元节点力作虚功； 只要存在物理问题的泛函，就可以采用有限元方法求解？,讨论： 当外载荷为集中载 ，在弹性变形过程中， 由 载比例加到 ，变形由 外力功： 应变能： 且， 而在总势能定义中，,于是， 当总势能最小时，对应的应变能就为最大。 由于有限元中，对单元的位移模式作了限定，相当于附加了约束，这就导致单元过于刚硬，刚性较大而变形较弱。所以最后导致应变能总是偏低，对应的总势能实际上达不到其最小，达不到真解。 因此近似解的结构变形能总是小于真解的，基于最小势能原理的有限元位移解都是偏小的 。 当单元尺度缩小时，变形解趋于真解呈单调趋近。数值解则给出真实解的下界。,4.4 Ritz法 虚

20、位移原理：与力平衡方程、力边界条件具有等价的表现形式，是同一物理问题的不同描述， 相互等效。 提供了新思路：可将应变能表示为位移函数的泛函，可以将系统总势能表示为位移函数的泛函，这样就可寻找满足一定已知边界条件的位移函数，只要它们能使得这一泛函取驻值，它们就成为了原始物理问题的真解。 而实际上，并不能总是找到这类位移函数；但是可以容易找到其近似函数，比如有限项的多项式的位移模式（且包含若干待定系数），通过变分原理，确定其待定系数 ，从而建立原问题的近似解，这就是位移变分法。,由Rayleigh和Ritz提出，即为Ritz法 标准过程： 设未知函数由一簇带有待定参数的试探函数表示， (4.44)

21、 为待定系数， 为已知函数 将之代入对应问题的泛函 ，泛函的变分相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分。 (4.45) 泛函取驻值，由于 的任意性，则所有均应等于零，从而得到一组方程：,(4.46) 定则 定，问题求解。 弹性力学问题： 设位移分量 (4.47),为互相独立的任意系数； 在边界 上等于已知位移： 为线性无关函数，在边界 上满足下列条件 ： 这样，不论系数取何值，（4.47）假定的位移总能满足位移边界条件。 位移的变分可由系数的变分实现：,(4.48) 应变能的变分： (4.49) 功的变分(参见4.39式)： (4.50),代入虚功方程： 因为的完全任意性 (4.51),应变

22、能为系数的二次函数，上式即为一线性方程组，可求得所有待定系数，从而确定（4.47）式。 一般地，对于二次泛函 ,通过取一阶变分求其驻值，可建立一组关于待定系数的线性方程组： (4.52) 对的变分， (4.53),子矩阵： 则 为对阵矩阵! 直接对（4.52）作变分： (4.54) 比较(4.53)、(4.54)，则亦为对阵矩阵！,通过变分后，待定系数的矩阵为一对称矩阵，有限元方程中的为对称矩阵的理论依据！ Ritz法的一些基本性质： 当试探函数族的范围、待定系数数目增多时，近似解精度提高； 近似函数为 ，时，近似解趋于真解的条件是： 试探函数应取向完全函数系列； 试探函数应满足阶连续性要求，

23、即 中的函数最高微分阶数为m时，试探函数的m-1阶导数应该连续，以保证泛函的积分存在。 此时，才有，且 单调收敛，泛函才具有极值性。, Ritz法以变分原理为基础；收敛性有严格的理论基础，且得到的系数矩阵为对称的，在场函数事先满足强制边界条件下，解有明确的上下界性质； 问题：求解域比较复杂时，难以选择满足边界条件的试探函数；要提高近似解精度，需增加待定系数，增加试探函数项数，随即增加了求解的繁杂性；,伽辽金法： 在(4.34)，若选择的位移表达式（4.47）除了满足位移边界条件外，也满足力边界条件，虚功原理对于任何容许位移都成立，就可导出一种新的变分方程，伽辽金变分方程： (4.55) 由 的

24、任意性，（4.55）与应力平衡方程等价。 将（4.47）代入（4.55），,由于的任意性， (4.56) 进一步，将其中的应力以应变取代、再以位移取代，即可解出待定系数。,4.5 虚位移原理，最小势能原理，Ritz法与有限单元法之联系 虚位移原理： 采用了小变形的应变位移（几何）关系、平衡方程； 未涉及材料的应力应变（本构）关系（即物理方程）； 为应力平衡方程、力边界条件的等效积分形式； 其Euler方程，即为应力平衡方程和力边界条件。,最小势能原理： 从虚位移原理出发； 引入了线弹性的应力应变关系； 系统总势能，即为位移函数的泛函，最小势能原理即代表了其泛函的驻值； 引入弹性矩阵后，应变能为

25、正定函数， ，才保证了 , 从而得到 时为最小值； 所求位移近似解对应的弹性变形能为真实能的下界，位移场总体偏 小。（简单理解：变形能与位移成比例递增，当位移模式略去高阶量后，近似的变形能将低于真实的变形能）,Ritz法： 以虚位移原理或最小势能原理为基础； 直接假定符合条件的位移函数作为容许函数，应变能转换为位移函数的泛函； 通过泛函变分、位移变分、系数变分，确定位移函数的待定系数； 位移函数须在整个求解域内连续，且满足（位移）几何边界条件。,有限元法： 以虚位移原理、Ritz法、或最小势能原理为基础，在Ritz法基础上发展，本质上类似于Ritz法； 位移函数只是要求在单元域内连续，在全域内并非完全连续，且仅需阶连续性； 通过泛函变分、位移变分、节点位移变分，建立有限元方程，直接求解节点位移。,4.6 加权残数法 一种直接求解控制方程的近似方法。适于力学、及其它工程问题。 当不能建立与控制方程等效的泛函驻值问题，即不能找到一个泛函，使其取驻值时导出的Euler方程为控制方程时，就可采用这种方法来求解，并导出相应的有限元方程。 设 (4.57) F、G为微分算子， 待求函数，f，g不含 的已知函数,选择一试探函数： (4.58) 待定系数，试探函数项（冪函数、三角函数等） 代入控制方程、边界条件后，存在误差 (4.59) 如何消除这些误差？可采用加权平均的方式使得这些误差分别在求