1991考研数二真题及解析

1、.1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 ( 每小题 3 分 , 满分 15分 . 把答案填在题中横线上.)(1)设 yln(13 x ) , 则 dy .(2)曲线 ye x2的上凸区间是 .(3)1ln x dx .x2(4)质点以速度 t sin(t 2 ) 米每秒作直线运动 , 则从时刻 t12秒到 t 2秒内质点所经过的路程等于米 .1(5)lim1ex .1x 0xex二、选择题 ( 每小题 3分 , 满分15 分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若曲线 y x2axb 和 2 y1 xy3 在点

2、(1,1) 处相切 , 其中 a, b 是常数 , 则 ()(A)a0,b2(B)a1,b3(C)a3,b1(D)a1,b1(2)设函数 f ( x)2, 0x1,记 F ( x)f (t )dt,0x2 , 则( )xx2x,1x2,0x3 ,0 x 1x3 ,0 x 1(A)F ( x)3(B)F (x)31x27x2,1x 22x232x36,1 x2x3 ,0 x 1x3 , 0 x 1(C)F ( x)x232 ,1 x 2(D)F (x)3x2 ,1 x 2x2x2x322(3)设函数 f ( x) 在 (, ) 内有定义 , x00 是函数 f ( x) 的极大点 , 则( )(

3、A)x0 必是 f (x)的驻点(B)x0 必是f (x) 的极小点;.(C)x0 必是f ( x) 的极小点(D)对一切 x 都有 f ( x) f ( x0 )1e x2( )(4) 曲线 ye x21(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(5) 如图 , x 轴上有一线密度为常数, 长度为 l 的细杆 , 有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a , 已知引力系数为k , 则质点和细杆之间引力的大小为()laOmx0kmdx(B)lkmx) 2 dx(A)x)20 ( al (a0kmlkm(C) 22 dx(D)2 2dxl(ax)

4、22 ( ax)0三、 ( 每小题 5 分 , 满分 25 分.)(1)设xt cost, 求 d 2 y .yt sin tdx24dx(2)计算.1 x(1x )(3) 求(4) 求xsin xlim(ex.x 0 x21)xsin2 xdx .(5)求微分方程xyyxex 满足 y(1)1 的特解 .四、 ( 本题满分 9 分 )利用导数证明：当x 1 时 , 有不等式 ln(1 x)x成立 .ln x1x五、 ( 本题满分9 分 )求微分方程yyxcos x 的通解 .六、 ( 本题满分9 分 );.曲线 y( x1)( x2) 和 x 轴围成一平面图形, 求此平面图形绕y 轴旋转一周

5、所成的旋转体的体积 .七、 ( 本题满分9 分 )如图 , A 和 D 分别是曲线yex 和 ye 2x 上的点 , AB 和 DC 均垂直 x 轴 , 且AB : DC2:1 , AB1, 求点 B 和 C 的横坐标 , 使梯形 ABCD 的面积最大 .yye 2xyex1ADBOCx八、 ( 本题满分9 分 )设函数 f ( x) 在 (,) 内满足f (x)f (x)sin x , 且 f (x)x, x0,) ,3计算f ( x)dx .;.1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 ( 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上.)(1) 【答案

6、】ln 33xdx1【解析】由复合函数求导法则, 即 y( f ( x) 的微分为 dy( f ( x) f ( x)dx , 有dy13xln 3 ( 1)dxln 3dx .3xx113(2) 【答案】 ( 1 , 1 ) 2 2【解析】求函数yf ( x) 的凹凸区间 , 只需求出 y , 若 y0 , 则函数图形为上凹, 若y 0 , 则函数图形为上凸 , 由题可知ye x2(2x)2xe x2,y2e x2( 2x)e x2( 2 x) 4e x2( x21) .2因为 4e x20 , 所以当 x210 时 y0 ,函数图像上凸 , 即 x21 ,2x2时 ,2222函数图像上凸

7、. 故曲线上凸区间为(1 ,1) .22(3) 【答案】 1【解析】用极限法求广义积分 .ln xlimb ln xlimb112 dx12 dxln xd ()xbxb1x分部ln xb1) 1 dxlimb(bx1x x1ln bln1bln b1lim1lim () 1 1.bb1x 1bbb(4) 【答案】 12【解析】这是定积分的应用.设在 ttdt 时刻的速度为t sin(t 2 ) , 则在 dt 时间内的路程为dst sin(t 2 )dt , 所以从时刻 t1秒到 t2秒内质点所经过的路程为2;.st 2t sin(t2 )dtt1t sin(t 2 )dt1sin(t 2

8、)dt 2/22/21cos(t 2 )1(coscos)1( 1 0)1.2/ 22222(5) 【答案】11【解析】这是一个型未定式 , 分子分母同乘以e x , 得11exelim1limx 0exx 0xxe1x1x1 .11, 则 x1为简化计算 , 令 t, 原式可化为xtlimx0e1x11et101limt1.te01xex11t二、选择题 ( 每小题 3 分 , 满分 15 分 .)(1) 【答案】 (D)【解析】两函数在某点处相切 , 则在该点处的切线的斜率相等 , 即在该点处的导数相等 ,对两函数分别对x 求导 , 得y2xa , 则该曲线在点 (1,1)处的导数为 y

9、x 12a ,2 yy33xy2 y , 即 yy3, 则曲线在点 (1,1) 处的导数为23xy2y(1)31 ,x 12 31 (1)2两导数相等 ,有 2 a1, 即 a1.又因为曲线 yx2axb 过点 (1,1) , 所以有 11ab1 1 b b,b1 .所以选项 (D) 正确 .(2) 【答案】 (B)【解析】这是分段函数求定积分.xx t 2 dt1 t 3x1 x3 .当 0x 1时 , f ( x)x2 , 所以 F (x)f (t )dt00033当 1x 2 时 , f ( x)2 x , 所以;.F ( x)xf (t )dt1t 2 dtx (2t)dt00111

10、t 2x(2x 1 x2 )(2 1 )1 t 32t130213227 2x 1 x2 .6 2x3x1,0所以 F ( x)3, 应选 (B).7x22x,1 x 262(3) 【答案】 (B)【解析】 方法一： 用排除法 .由于不可导点也可取极值, 如 f ( x)x 1 , 在 x01处取极大值 , 但是 x0 1 不是f ( x)x 1的驻点 , 所以 (A) 不正确；注意到极值的局部性, 即极值不是最值 , 所以 (D) 也不正确；对于 f ( x)| x1| ,在 x01处取极大值 , 但x01并非是f ( x) | x1| 的极小值点 , 所以 (C) 也不成立；故选 (B).

11、方法二： 证明 (B) 是正确的 , 因为 x00 , 不妨设 x00 , 则 f ( x0 ) 为极大值 , 则在 x0 的某个领域内有 f ( x0 )f ( x0x) ；函数 yf (x) 与函数 yf ( x) 关于原点对称 ,所以必有f ( x0 )f ( x0x) , 即在 x0 的某个领域内 f ( x0 ) 为极小值 , 故 (B) 是正确的 .(4) 【答案】 (D)【解析】函数的定义域为x0 , 所以函数的间断点为x0 ,lim y1e x2limex210 为铅直渐近线 ,lime x2ex2, 所以 xx 0x 0 1x 01lim ylim 1exx1ex2ex212

12、lim21, 所以 y1为水平渐近线 .xxex1所以选 (D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数y f (x) 在其间断点 xx0处有 lim f (x), 则x x0xx0 是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim f ( x)a,( a为常数）, 则 ya 为函数的水平渐近线.x;.(5) 【答案】 (A)【解析】如图建立坐标系 , 则 xxdx 中 , dx 长度的细杆的质量为dx , 与质点的距离为 a x , 故两点间的引力为 dFkmdx0kmdx , 故选 (A)., 积分得 F( ax)2l(ax)2同理应用微元法可知 , 若以 l 的中点为原点 , 则质点的坐标为(al

13、,0) , 故2lkmF2dx ；ll2 (ax)22若以 l 的左端点为原点 , 则质点的坐标为( al ,0) , 故 Flkm2 dx .l0 (ax)故 (B) 、 (C) 、 (D) 均不正确 , 应选 (A).三、 ( 每小题 5 分 , 满分 25 分.)(1) 【解析】这是个函数的参数方程,dydy / dtsin tt cost ,dxdx / dtcostt sin td 2 yd dy1dsin tt cost1dx2dt ( dx )dxdt ( costt sin t )costt sin tdt(2cos tt sin t )(cos tt sin t )(2sin

14、 tt cost )(sin tt cost )1(cos tt sin t )2costt sin t2(cos2 tsin 2 t)t 2 (sin 2 t cos2 t ) 3t sin t cost3t sin t cost(cos tt sin t)32t 2(cost t sin t )3 .【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果x(t)dy(t)y, 则dx.(t)(t)(2) 【解析】用换元法求定积分 .令 tx , 则 xt 2 , dx2tdt , 则4dx212tdt211)dt1 x(1x)t 2 (1t )2(111tt;.22lntt1 1(3) 【解析】利

15、用等价无穷小和洛必达法则.当 x0 时 , 有 sin x : x,ex : 1x , 所以2(ln 2ln 1 )2ln 4 .323xx2xsin xxsin x1cos x2sin 221limlim洛 limlim2lim22xx33x23x23x2.x 0x(e 1)x 0x 0x 0x 06(4)【解析】用分部积分法求不定积分.x sin2 xdxx 1cos2x dx1(xx cos2x)dx221xdx1x cos2xdx1 x21 xd(sin 2x)22441x21x sin2x1sin2 xdx4441x21x sin2x1cos2xC .4481 y(5)【解析】所给方

16、程是一阶线性方程, 其标准形式为 yex . 通解为x1dx1 dx1 ( xexdx C )y e x ( ex e x dx C )x1 (xdexC)1 (xexexdxC)1 ( xexexC) .xx1x 1 ex .x代入初始条件y(1) 1得 C1, 所以特解为 yxx【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程yp( x) yq(x) 的通解为yep ( x) dxq( x)ep (x) dxC ) , 其中 C 为常数 .(dx四、 ( 本题满分9 分 )【解析】首先应简化不等式,从中发现规律 .当 x1 时 , 原不等式即 (1x)ln(1 x)x ln x ,即 (1x)ln(1

17、 x)x ln x0.证法一： 令 f ( x) (1x)ln(1x)xln x , 则只需证明在x 1时 f ( x)0 即可 ,可利用函数的单调性证明, 对于 f (x) 有x1f ( x)ln(1x)1ln x1ln() .;.因 x1 ,故 x11 , 即 f(x)0,所以在 (1,) 上 f (x) 是严格递增函数 , 所以xf (x)f (1)2ln 20 ,故 (1x)ln(1x)x ln x0 ,所以当 x1时 ,有不等式 ln(1x)x成立 .ln x1 x证法二： 当 x1 时,原不等式即 (1x)ln(1x)x ln x , 不等式左右两端形式一致, 故令f ( x)x

18、ln x , 则 f(x)ln x10( x1) , 所以 f (x)x ln x 在 x 1 时严格单调递增 ,故 f (x1)f ( x) ，即 (1x)ln(1x)x ln x .所以当 x1 时 ,有不等式 ln(1x)1x成立 .ln xx五、 ( 本题满分 9分 )【解析】微分方程yyxcos x 对应的齐次方程yy0 的特征方程为 r 210 ,特征根为 r1,2i ,故对应齐次通解为C1 cos xC2 sin x .方程 yyx 必有特解为 Y1axb , 代入方程可得 a1, b0 .方程 yycos x的右端 e x cosxcos x ,ii 为特征根 , 必有特解Y2

19、 x Acos xx B sin x , 代入方程可得 A10, B.2由叠加原理 ,原方程必有特解 YY1Y2xx sin x .2所以原方程的通解为yC1 cosxC2 sin xx1 x sin x .:2【相关知识点】关于微分方程特解的求法如果 f ( x)Pm (x)e x , 则二阶常系数非齐次线性微分方程yp( x) yq( x) yf ( x)具有形如 y*xk Qm ( x)e x 的特解 , 其中 Qm ( x) 与 Pm ( x) 同次 (m 次 ) 的多项式 , 而 k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0 、 1或 2 .如果f(x)exP

20、l(x) cosx(x)sin, 则二阶常系数非齐次线性微分方程Pnxyp(x) yq( x) yf (x) 的特解可设为y*xk e x Rm(1) ( x) cosx Rm(2) ( x)sin x ,其中 Rm(1) ( x) 与 Rm(2)(x) 是 m 次多项式 , mmaxl , n, 而 k 按i ( 或i ) 不是特征;.方程的根、或是特征方程的单根依次取为01或 .六、 ( 本题满分 9分 )【解析】利用定积分求旋转体的体积, 用微元法 , 曲线为一抛物线 ,与 x 轴的交点是 x1 1,x22 , 顶点坐标为 (31,) .24y 轴旋转一周 ,方法一： 考虑对 x 积分

21、, 如图中阴影部分绕环柱体的体积为dV( xdx)2yx2y2x y dxy dx2其中 dx2 为 dx0 的高阶无穷小 , 故可省略 , 且 y 为负的 ,故 yy , 即 dV2xydx2 x(x1)(x2) dx .把 x 从 12积分得V2x(1x)( x2) dx222x32x)dx2(3 x111 x421 )2 x3x22 (0.4142方法二： 考虑对 y 的积分 ,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即dVx22dyx12dy其中 , x1, x2 为 Yy 与抛物线的交点 , 且 x2x1 ,把 Yy 代入抛物线方程y( x1)( x2) , 解得x1314y, x2314 y22,故旋转体体积为 V0( x22x12 )dy . 把 x1, x2的值代入化简 , 得14032 (13032V14 ydy4 y) 21 3.44314324七、 ( 本题满分 9分 )【解析】可以利用函数的极值求解.设 B 、 C 的横坐标分别为x1 , x , 因为 | AB |1, 所以 x10, x0 . 依题设AB : DC2:1 , 所以有 ex12e 2 x , 两边同时取自然对数, 得 x1ln 22x,