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1、1,6.1半群与群,例如: ,都是半群,2,注意，存在着非结合的代数系统，不为半群,3,独异点 含有幺元的半群称为独异点。(也称单元半群),可换半群,运算满足交换律的半群称为可换半群,4,例 偶数加法半群E，+是整数加法半群I，+的 子半群吗？是独异点吗？,5,(1)半群,（1）(2)独异点,7,例如 整数集I的加法群 ， 非零实数R0的乘法群， 就是我们最熟悉的交换群。,不是所有的群都是交换群,8,9,10,11,12,由此定理知：群的运算表中没有两行（或两列）是相同的。 为了进一步考察群的运算表所具有的性质，现在引进置换的概念。,13,集合S上的每一次置换产生一个S中元素的全排列，每一个全

2、排列对应着一个置换,14,从上表可见，它上面的任何不同的两行或两列不仅均不相同，而且每一行或每一列中均不出现重复的元素。或者说它的复合表的每一行或每一列都是属于群的全部元素的一个全排列。,15,9/18/2020 2:21 PM,16,17,注意生成元生成的是集合G,18,19,结论：从同构的意义上说，循环群只有两类： 有限循环群和无限循环群。,20,从此例中可以看到：一个循环群的生成元可以不是唯一的。,21,6.2环与域,通常称为加法运算 *为乘法运算 即对加法是可交换的群,对乘法是半群,乘法对加法是可分配的.,22,例 实多项式的集合Rx关于多项式的加法和乘法 例 n阶矩阵的集合R关于矩阵

3、的加法和乘法,环,环,23,加法的幺元是乘法的零元,跟普通的加法和乘法的运算完全一样，只是乘法运算不交换,24,例如 实数环和多项式环是交换环，矩阵环为 非交换环，且都为含幺环,无零因子环,25,整环即为可换的、含幺的、无零因子环。,26,27,例 有理数代数系统 实数代数系统 复数代数系统 整数代数系统,整环但不是域,整环、域,整环、域,整环、域,28,定理3 有限整环必定是域。,定理2 域一定是整环。,思考 域和整环的关系？,29,6.3格与布尔代数,这些图都为格 其中一图为善意推断,此图非格 因为a,b没有下确界,例 幂集的包含关系构成的偏序集 整数的大小关系构成的偏序集,格,格,30,31,32,思考：有限格和有界格的关系？,33,

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