函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系

1、.函数的对称性一个函数的自对称1R的函数f ( x) ，若满足 f (ax)f ( ax) 或是 f (2 ax)f ( x) ，图像特征函数自身关于x a定义 、定义域为对称。就是该函数的对称轴是xa 。定义 2、定义域为 R 的函数 f (x) ，若满足 f ( ax)f (ax) 或是 f (2 ax)f (x) ，图像特征函数自身关于点(a,0) 对称。就是该函数的对称点是(a,0) 。定义 3、定义域为 R 的函数 f (x) ，若满足 f (ax)f (bx) ，图像特征函数自身关于 xab2对称。就是该函数ab的对称轴是x2。( a b ,0) 对称。就是该函定义 2、定义域为

2、R 的函数 f ( x) ，若满足 f (ax)f (bx) ，图像特征函数自身关于点数的对称点是 ( ab ,0) 。22含义：函数 f ( x) 关于 ( a b , m ) 这个点对称。还可以推广为f (ax)mf (bx)22周期性 :若 f (x) 对于定义域中的任意 x 均有 f ( xT )f ( x) ,则 f ( x) 是周期函数 .它的变形有 : (1)f(x-1)=f(x+1)(2)f(x+2)= f(x) ； (3)f(x+2)=1f ( x)(4)f(x+3)f(x)=1f ( x) 1(5)f(x+1)=f ( x)特征是 x 的符号相同。1习 题1、已知 f (x

3、) 是 R 上的偶函数，且 f(-x-1)=f(-x+1)当 x0,1 时， f ( x)x1，求当 x5,7时 ,f ( x) 的解析式。2、定义域为 R 的 f ( x) 既是奇函数又是周期函数,T是它的一个周期 .问 :区间 T ,T 上它有几个根 ?（财富：奇函数的半周期也是0 点）3、定义在R 上的偶函数f (x) 以 3 为周期 ,且 f (2)0 ,则方程 f ( x) 0 在区间 (0,6)上有几个根 ?4 、 f ( x)是 R 上 的 偶 函 数 ,若 将 f (x)的 图 象 向 右 平 移 一 个 单 位 又 得 到 一 个 奇 函 数 , 且 f (2)1 , 求f

4、(1) f (2) f (3)Lf (2008) 的值 .5、定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x5f ( x)0 且 f (x5) 为奇函数 ,下列结论谁正确 ?24函数 f ( x) 的最小正周期是5 ; 函数 f ( x) 的图象关于点（5,0 ）对称 ;函数 f ( x) 的图象关于 x5对称 ; 函数2425f (x) 的最大值为f () .6、函数 f(x) 的定义域为R，若f (x1) 与 f ( x 1) 都是奇函数，则（） (A)f (x) 是偶函数； (B)f ( x) 是奇函数(C) f (x)f (x 2) ；(D)f (x3) 是奇函数.例 4 举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。（ 1） f(x) 是奇函数，则有 f(-x+a)=f(x+a) 是奇函数，则 f(-x+a)=（ 2）函数 f(x-1) 是偶函数，求 y=f(x) 的对称轴。（ 3）函数 y