计算机算法分析—第五章作业.ppt

1、计算机算法分析习题课,第五章：3 、6、7、8 、 9 、11 、 12,P122-3,3（0/1背包问题）如果将5.3节讨论的背包问题修改成 极大化 约束条件 xi=0或1 1in 这种背包问题称为0/1背包问题。它要求物品或者整件装入背包或者整件不装入。求解此问题的一种贪心策略是：按pi/wi的非增次序考虑这些物品，只要正被考虑的物品能装的进就将其装入背包。证明这种策略不一定能得到最优解。,P122-3,证明（反证法）： 设n = 3，M = 6， (p1, p2, p3) = (3, 4, 8)，(w1, w2, w3) = (1, 2, 5) 按照pi/wi 的非增序得到 ( p1/w

2、1, p2/w2, p3/w3) = (3, 2,1.6)， 则其解为(1, 1, 0)，而事实上最优解是(1, 0, 1) 。 问题得证。,若所装入的物品能装满背包时，为最优解,P122-3,0/1背包问题可行解集合,结论：当按照pi /wi的非增次序考虑物品存放背包时，如果所装入的物品能装满背包时，显然为最优解，否则未必是最优解.,背包问题可行解集合,装满时对应的可行解,P122-3,附：0/1背包问题是一个NP完全问题，NP完全问题是否存在多项式时间的求解算法目前仍未可知，这也是计算机科学领域最著名的开放问题“NP = P是否成立”（绝大多数人相信NP = P不成立），因此，谁如果对0/

3、1背包问题给出一种正确的贪心算法，必然获得图灵奖,P122- 6,假定要将长为l1,l2,ln的n个程序存入一盘磁带，程序Ii被检索的频率是fi。如果程序按i1,i2,in的次序存放，则期望检索时间（ERT）是:, 证明按li的非降次序存放程序不一定得到最小的ERT。 证明按fi的非增次序存放程序不一定得到最小的ERT。 证明按fi/li的非增次序来存放程序时ERT取最小值。,P122- 6,问题实例:(l1, l2, l3) = (5, 6, 12)，(f1, f2, f3) = (0.2, 0.3, 0.5) li的非降次序： 1 = (1, 2, 3) fi的非增次序： 2 = (3,

4、2, 1) fi /li的非增次序： 3 = (2, 3, 1) ERT(1) = 50.2 + (5+6)0.3 + (5+6+12) 0.5 = 15.8 ERT(2)=120.5+(12+6) 0.3+(12+6+5) 0.2=16 ERT(3)=60.3 + (6+12)0.5 + (6+12+5) 0.2=15.4,P122 - 6 证明按fi/li的非增次序来存放程序时ERT取最小值。,假设i1,i2,in按照fi/li的非增次序存放，即fi1/li1fi2/li2fin/lin，则得到 ERT=fi1li1+fi2(li1+li2)+fik(li1+li2+lik)+fin(li

5、1+li2+lin)/(fi1+.+fin) 假设该问题的一个最优解是按照j1,j2,jn的顺序存放，并且其期望检索时间是ERT，我们只需证明ERTERT，即可证明按照fi/li的非增次序存放得到的是最优解。,从前向后考察最优解序列：j1,j2,jn，若与i1,i2,in相同，命题得证。 否则，不妨设程序jk是第一个与其相邻的程序jk+1存在关系fjk/ljk0，既有ERT ERT，显然ERT也是最优解。 最优解中所有这样类似于反序对的程序互换位置，每次得到的解不比原来的最优解差，所以最终变换后得到的解也是最优解，而最终的解恰是程序按fi/li的非增次序来存放得到的顺序。 命题得证。,P123

6、-8, 当n=7，（p1 , p7）=(3,5,20,18,1,6,30) 和(d1,d7)=(1,3,4,3,2,1,2)时，算法5.4所生成的解是什么？ 证明即使作业有不同的处理时间定理5.5亦真。这里，假定作业i的效益pi0，要用的处理时间ti0，限期diti.,P123-8,解：根据pi的非增排序得到（p7, p3, p4, p6, p2, p1, p5）=(30,20,18,6,5,3,1)，对应的期限为(2,4,3,1,3,1,2)，按照算法5.4生成的解为： J(1)=7(2), J(1)=7(2), J(2)=3(4)； J(1)=7(2), J(2)=4(3),J(3)=3(

7、4)； J(1)=6(1), J(2)=7(2),J(3)=4(3),J(4)=3(4)；,P123-8, 证明即使作业有不同的处理时间定理5.3亦真。这里，规定作业i的效益pi0，要用的处理时间ti0，限期diti.(P106) 定理5.3:设J是K个作业的集合, =i1i2ik是J中作业的一种排序,它使得di1di2dik .J是一个可行解,当且仅当J中的作业可以按照的次序又不违反任何一个期限的情况下来处理. 证明思想： 位置a,b的作业交换顺序 作业ra和rb仍然可以完成任务 作业ra和rb之间的作业也能够完成任务,P123-8,P123-9, 对于5.3节的作业排序问题证明：当且仅当子

8、集合J中的作业可以按下述规则处理时它表示一个可行解；如果J中的作业I还没分配处理时间，则将它分配在时间片a-1，a处理，其中a是使得1rdi的最大整数r，且时间片a-1，a是空的。 仿照例5.4的格式，在习题8所提供的数据集上执行算法5.5。,P123-9,易证如果J中的作业能按上述规则处理，显然J是可行解； 如果J是可行解，根据定理5.3可知，J中的作业根据时间期限的非降次序排列，得到i1i2ik in ，并且按照这个顺序，可以处理J中所有作业，而对这一序列中的任意作业ik，如果它的时间期限是dk，且时间片dk-1,dk是空的，则分配之；若时间片dk-1，dk非空，则向前找最大的非空r-1,

9、r时间片，1rdk。因为J是可行解，所以一定可以找到如此时间片。故命题得证。,n=7 (p1, p7)=(3,5,20,18,1,6,30) (d1,d7)=(1,3,4,3,2,1,2) (p7, p3, p4, p6, p2, p1, p5) =(30,20,18,6,5,3,1)， 对应的期限为(2,4,3,1,3,1,2) b=min n,maxd(i) =min7,4 =4,空,7,7,3,(p7, p3, p4, p6, p2, p1, p5)=(30,20,18,6,5,3,1)，对应的期限为(2,4,3,1,3,1,2),(p7, p3, p4, p6, p2, p1, p5)

10、=(30,20,18,6,5,3,1)，对应的期限为(2,4,3,1,3,1,2),7,3,4,7,3,4,6,7,3,4,6,P123-11, 证明如果一棵树的所有内部节点的度都为k，则外部节点数n满足n mod (k-1)=1. 证明对于满足 n mod (k-1)=1的正整数n，存在一棵具有n个外部节点的k元树T(在一棵k元树中，每个节点的度至多为k)。进而证明T中所有内部节点的度为k.,P123-11 证明如果一棵树的所有内部节点的度都为k，则外部节点数n满足n mod (k-1)=1.,证明： 设这棵树内部节点的个数是i，外部结点的个数是n，边的条数是e，则有 e=i+n-1 ik=

11、e ik=i+n-1 (k-1)i=n-1 n mod (k-1)=1,P123-11 证明对于满足 n mod (k-1)=1的正整数n，存在一棵具有n个外部节点的k元树T(在一棵k元树中，每个节点的度至多为k)。进而证明T中所有内部节点的度为k., 利用数学归纳法(m表示外部结点数目)。 当m =k时，存在外部结点数目为k的k元树T，并且T中内部结点的度为k；,例如： m=3 3mod(3-1)=1,假设当 m n，且满足m mod (k-1)=1时，存在一棵具有m个外部结点的k元树T，且所有内部结点的度为k； 我们将外部结点数为m的符合上述性质的树T中某个外部结点用内部结点a替代，且结点

12、a生出k个外部结点.,易知新生成的树T中外部结点的数目为n= m -1+k= m +(k-1)，因为 m mod (k-1)=1，所以n为满足n mod (k-1)=1，且比m大的最小整数，而树T每个内结点的度为k，所以n= m +(k-1)时，存在符合上述性质的树。故命题得证。,P123-12, 证明如果n mod (k-1)=1，则在定理5.4后面所描述的贪心规则对于所有的（q1,q2,qn）生成一棵最优的k元归并树。 当（q1,q2,q11）=（3,7,8,9,15,16,18,20,23,25,28）时，画出使用这一规则所得到的最优3元归并树。,P123-12 证明如果n mod (k

13、-1)=1，则在定理3.6后面所描述的贪心规则对于所有的（q1,q2,qn）生成一棵最优的k元归并树。,通过数学归纳法证明： 对于n=1，返回一棵没有内部结点的树且这棵树显然是最优的。 假定该算法对于（q1,q2,qm），其中m=(k-1)s+1 (s0)，都生成一棵最优树， 则只需证明对于(q1,q2,qn)，其中n=(k-1)(s+1)+1，也能生成最优树即可。,不失一般性，假定q1q2qn，且q1,q2,qk是算法所找到的k棵树的WEIGHT信息段的值。于是q1,q2,qk可生成子树T，设T是一棵对于（q1,q2,qn）的最优k元归并树。设P是距离根最远的一个内部结点。如果P的k个儿子不是q1,q2,qk，则可以用q1,q2,qk和P现在的儿子进行交换，这样不增加T的加权外部路径长度。,因此T也是一棵最优归并树中的子树。于是在T中如果用其权为q1+q2+qk的一个外部结点来代换T，则所生成的树T是关于(T,qk+1,qn)的一棵最优归并树。由归纳假设，在使用其权为q1+q2+qk的那个外部结点代换了T以后，过程TREE转化成去求取一棵关于(T,qk+1