A版必修1-函数及其表示、定义域、解析式、值域的求法.ppt

1、函数的概念与表示法,疑难点、易错点剖析,1、映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应，故判断一个对应是否是映射的方法是：首先检验集合A中的每一个元素是否在集合B中都有像；然后看集合A中每个元素的象是否唯一。另外映射是有方向性的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的。,问题二：判断下列对应是否为从集合A到集合B的映射。,要弄清映射定义中如下几点： 1、“对应法则”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中”；对应法则未必都有能用解析式表达。 2、A中的第一个元素都有象，且唯一；B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一。 3、若对应法则为f，则a

2、的象记为f（a）。 4、映射是特殊的对应：“多对一”，“一对一”的对应是映射；“一对多”的对应不是映射。,2、函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能 是非空数集。即函数是非空数集A到非空数集B的映射。,对函数要注意： 1、函数是映射，映射不一定是函数，只有两非空数集之间的映射才是函数； 2、要克服“函数就是解析式”的片面认识，有此对应法则很难甚至于无法用解析式表达（可用列表法图象法表示出来） 3、定义域=原象集合A，值域C 象集合B。,4、函数有三要素：定义域、值域、对应法则。只有当两个函数的三要素相同时，它们才是同一函数。,5、定义域优先原则：函数定义域是函数的灵魂，它是研究函数

3、的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时，优先考虑定义域还会解题带来很大的方便。,一、判断两个函数是否是同一函数,例1、下列各组函数中，表示同一函数的是： （ ）,变式：下列四组函数中，其函数图像相同的是（ ）,C,D,二、对函数概念的理解,变式：已知函数f（x）的定义域为-2，4，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=2的交点个数是（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、0个或1个,B,三、对映射概念的理解,例3、设f：MN是集合M到集合N的映射，下列说法正确的是（ ） A、M中每一个元素在N中必有象

4、； B、N中第一个元素在M中必有原象； C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的； D、N是M中所有元素的象的集合。,A,变式：映射f：AB，其中A=-3，-2，-1，1，2，3，4，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且对于任意的aA，在集合B中和它对应的元素是|a|，则B中元素有（ ） A、4个 B、5个 C、6个 D、7个,A,四、如何确定映射的个数,例4、设集合M=-1，0，1，N=-2，-1，0，1，2，如果从M到N中的映射f满足条件：对M中的每一个元素x与它在N中的象f（x）的和都是奇数，则这样的映射f共有多少个？,18个,变式：若A=1，2，3，4，B=a，b，c，a，b，c

5、R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，A到B的函数有 个。,81,81,64,五、对函数符号f（x）的理解,C,B,D,求函数的定义域,1. 方 法:,常规方法,分母,根式(开偶次方),真数,底数,指数为零 时，底数不为零,例 题:,解: 依题有:,解得:,练 习:,解: 依题有,2.复合函数求定义域的几种题型,解:,由题意知:,解：,由题意知:,解： 由题意知:,解： 由题意知:,练习3:,题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围,(1)当K=0时, 30成立,解:,（1）m = 0 时5 0 成 立,解：,归纳小结：求定义域的方法：,（1）常规求定义域的方法,（1）分母 （2）

6、根式（开偶次方） （3）真数 （4）底数 （5）指数为零时，底数不为0,（4）已知函数的定义域,求 含参数的取值范围,布置作业：,求函数的解析式,求函数的解析式,把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。,函数解析式的常用方法有： 待定系数法 换元法 解函数方程组法 代入法,凑配法,在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.,解法一、,又,解得,设,由,得,解法二、,得 的对称轴

7、为,由,设,解法三、,有对称轴,又,与 轴交点为,故设,变式: 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x).,解: 由原式可知 fg(x) 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式.,而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式, 则可设:,f(x)=ax2+bx+c, 从而有:,f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).,比较系数得: a=1, b=0, c=-1.,从而有: f(x)=x2-1.,评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各系数.,又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13

8、x2+6x-1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子,即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x-1 .,（二）、换元法,例2、根据条件，分别求出函数 的解析式,（1）解：令,即,换元法,凑配法,用 替代式中的,又考虑到,（2）解：,所以 f(x)=2lnx-3 (x0).,评注: 通过换元, 用“新元”代替原表达式中的“旧元”, 从而求得 f(x). 又如: 已知 f(cosx-1)=cos2x. 求 f(x).,变式: 已知 f(ex)=2x-3, 求 f(x).,解: 设 t=ex, 则 x=lnt 且 t0, 有

9、:,f(t)=2lnt-3 (t0).,f(x)=2x2+4x+1(-2x0),（三）、解函数方程组法,例3、已知 ， 求,解：由,解得,解由 , , 组成的方程组, 得:,（四）、代入法,例4、设函数 的图象为 ， 关于点 对称的图象为 ， 求 对应的函数 的表达式。,即,即,故,例5 已知 fff(x)=27x+13, 且 f(x) 是一次式, 求 f(x).,解: 由已知可设 f(x)=ax+b, 则:,五、迭代法,ff(x)=a2x+ab+b.,fff(x)=a3x+a2b+ab+b.,由题意知: a3x+a2b+ab+b27x+13.,比较系数得: a=3, b=1.,故 f(x)=

10、3x+1.,评注: 本题的解法除了用迭代法, 还用了待定系数法.,课堂练习,1.已知 f(x) 是一次函数, 且 ff(x)=4x-1, 求 f(x) 的解析式.,5.若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x, 求 f(x).,4.已知 2f(x)+f(-x)=10 x , 求 f(x).,6.已知 f(0)=1, f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1), 求 f(x).,7.已知 f(x) 是 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(-x), 当 x(-2, 2)时, f(x)=-x2+1, 求当 x(-6, -2) 时 f(x) 的解析式.,f(x)=x2-1(x1),f(x)=x2+

11、x+1,f(x)=-x2-8x-15,9.已知 F(x)=f(x)-g(x), 其中 f(x)=loga(x-b), 当且仅当点 (x0, y0)在 f(x) 的图象上时, 点 (2x0, 2y0) 在 y=g(x) 的图象上(b1, a0 且a1), (1)求 y=g(x) 的解析式; (2)当 F(x)0 时, 求 x 的范围.,函数值域的常见解法,1函数的值域的定义 在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。,知识点,2确定函数的值域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数y=f(x)用图象给出时，函数的

12、值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。,3求函数值域的方法 直接法:从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围 二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域 反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围； 单调性法：利用函数的单调性求值域； 不等式法：利用平均不等式求值域； 图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域 求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其

13、导数求最值，再得值域； 几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。,例1求下列函数的值域 ,应用举例,形如： 的函数可令 ，则 转化为关于t的二次函数求值。 形如含有 的结构的函数，可用三角换元令x=acos求解。,配方法2，4,换元法：,三角换元法：,例2求下列函数的值域 ,形如： 可用反函数法或分离常数法求； 形如： 可用判别式法求。,反函数法或分离常数法：,判别式法：,例3求下列函数的值域 ,可转化为各项为正，并和或积为定值时，可考虑用不等式法求值域，但要注意“=”问题； 形可化为 用它在 上递减，在上 递增，求值域。,练习：求值域 ,不等式法：,用 的单调性：,例4求下列函数的值域 ,形如 ：可转化为斜率或用三角函数