第10章 数学问题的非传统解法幻灯片.ppt

1、星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,第10章 数学问题的非传统解法,集合论、模糊集与模糊推理 粗糙集理论与应用 人工神经网络及其在数据拟合中的应用 进化算法及其在最优化问题中的应用 小波变换及其在数据处理中的应用 分数阶微积分学问题求解及应用,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.1 集合论、模糊集与模糊推理,经典可枚举集合论问题及MATLAB求解 模糊集合与隶属度函数 模糊推理系统及其MATLAB求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.1.1 经典可枚举集合论问题及MATLAB求解,集合论是现代数学的基础 集合：一些事物的全体，而其

2、中每一个事物均称为集合中的一个元素。 可枚举集合：该集合中的所有元素均可以一一列出的集合 在MATLAB中，可枚举集合用向量或单元数组的形式就可以表示这样的集合,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,集合表示举例,数字构成的集合，可以有重复元素 上述集合的单元数组表示方法，二者等价 字符串集合，可以为人名等,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,MATLAB下集合运算的函数,常用的集合运算函数 适用于几何变量,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.1,给定 ，对这些集合进行各种运算，并验证： 进行各种集合运算：,星期二, 2013-5- 21

3、, 05:50:51,验证交换律： 使用ismember()函数求集合的交,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.2,给定 试求集合 A 与 B 的并集与交集，并验证结合律,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,进行集合运算： 验证结合律：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,求解 的函数调用格式 求解 的函数调用格式,集合“属于”关系判定,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.3,给定 验证是否 验证集合 A 的自反律亦即,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.4,考虑哥德巴赫猜想，即，任何

4、大于2的偶数均能分解两个质数的和 该猜想是Euler时代以来，尚未严格证明的最古老的数论问题 计算机现在证明从4到1019，猜想都是正确的 本例不是试图证明该猜想，而是由MATLAB对小偶数验证该猜想,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,用集合运算的方法验证小于2000的偶数均满足该猜想 由某范围内的两质数所有的可能的和构造出一个集合，然后判定是否有限偶数均属于该集合,哥德巴赫猜想的验证,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.1.2 模糊集合与隶属度函数,经典集合：一个事物 a，要么就属于集合A，要么就不属于集合A 美国控制论专家 Lotfi A Zadeh

5、 教授，1965拓展了此集合，提出了模糊集合 fuzzy set的概念，说明 a 在一定程度下属于 A Zadeh 教授指出，当问题的复杂性增加时，精确的描述将失去意义，而有意义的描述将失去精度。,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.5,年老与年轻的模糊表示及隶属度函数，假设论域 U = 0,120，则,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,模糊集合 论域 隶属度 a 在一定程度下属于 A 绘制出隶属度函数：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,钟形隶属度函数,数学描述： 函数调用格式：

6、 其中，x 是独立变量的值， a, b 为参数 y 是隶属度函数的值,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.6,绘制出不同参数a, b, c组合下的钟形隶属度函数曲线 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,Gauss隶属度函数,数学描述： 函数调用格式： 其中，x 是独立变量的值 y 是隶属度函数的值,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.7,绘制不同参数 c, s 组合下Gauss隶属度函数 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,Sigmoid型隶属度函数,数学描述：

7、函数调用格式： 其中，x 是独立变量的值 y 包含隶属度函数的值,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.8,绘制不同参数 a, c 组合下Gauss隶属度函数 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,隶属度函数的图形编辑界面,使用 GUI 编辑隶属度函数 打开编辑界面的函数调用格式 修改隶属度函数的参数 添加隶属度函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.1.3 模糊推理系统及其MATLAB求解,模糊化 模糊规则 解模糊化,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,模糊逻辑工具箱中提供的函数可以构建出模

8、糊推理系统的数据结构，函数的调用格式 其中，name为字符串，表示模糊推理系统的名称，通过该函数可以建立起结构体fis，其内容包括模糊的与、或运算，解模糊算法等,建立模糊推理系统,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,添加系统的输入和输出变量的调用格式 定义一个输入变量iname 定义一个输出变量oname 其中， 及 为输入或输出变量的取值范围 每个变量的隶属函数可以用addmf()函数定义，也可以用mfedit()定义,定义输入、输出变量,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,某模糊推理系统有两个输入变量 ，并有一个输出变量 ，又有 ，分为3个区间，隶属函数选择

9、为钟形函数，和 ，分为3个区间，隶属函数选择为Gauss型函数； ，隶属函数为Sigmoid型函数，则可以用下面的语句构造模糊推理系统,例 10.9,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,MATLAB求解语句： 建立模糊推理系统 定义模糊变量 在 GUI 中用交互方式定义隶属函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.1.3.1 模糊化,若将某信号用三个隶属函数表示，则一般对应的物理意义是“很小”、“中等”与“较大”，若分为5段，则可以表示为“很小”、“较小”、“中等”、“较大”和“很大”，一个精确的信号可以通过这样一组隶属函数模糊化，变成模糊信号,星期二,

10、2013-5- 21, 05:50:51,10.1.3.2 模糊规则,模糊推理关系可以表示成 规则矩阵不加到模糊推理系统fis,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.1.3.3 解模糊化,通过模糊推理可以得出模糊输出量op，再通过指定的算法精确化，亦称解模糊化 模糊逻辑工具箱提供了多种解模糊化的算法 求解模糊推理问题的函数调用格式 其中，X 为矩阵，其各列为各个输入信号的精确值，变量 y 是输出信号的精确值,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.10,某模糊推理系统有两个输入变量 ，并有一个输出变量 。又有 ，分为3个区间，隶属函数选择为钟形函数，和

11、 ，分为3个区间，隶属函数选择为Gauss型函数； ，隶属函数为Sigmoid型函数，用此模糊推理系统绘制出输出的三维曲面,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.2 粗糙集理论与应用,粗糙集理论简介 粗糙集的基本概念 信息决策系统 粗糙集数据处理问题的MATLAB求解 粗糙集约简的MATLAB程序界面,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.2.1 粗糙集理论简介,粗糙集 (rough set) 是波兰数学家 Z Pawlak 为开发自动规则生成系统及研究软计算问题于 1982 年

12、提出的 粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学方法 能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.2.2 粗糙集的基本概念,下近似集：根据现有知识判断肯定属于 X 的对象组成的最大的集合，称为正区，记为 POS(X) 上近似集：那些可能属于 X 的对象组成的最小集合,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,边界集c：上近似集与下近似集的差集 如果 BND(X) 是空集，则称 X 是清晰的 若 BND(X) 非空，则称 X 为粗糙集,星期二, 2013-5-

13、21, 05:50:51,例 10.11,玩具积木集合 具有“颜色 R1”、“形状 R2”、“体积 R3” 属性 分别对应红、黄和绿色 分别对应方、圆、三角形 分别对应于“大”和“小”的物体 集合举例 红色的积木 、绿色的积木 蓝色的积木 粗糙集表示,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.2.3 信息决策系统,信息决策系统可以表示为 U 是对象的集合，即论域 A 是属性集合， C 条件属性集 D 决策属性集 其中，CD = A 并且 CD = ,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,粗糙集理论中使用决策表来描述论域中对象,星期二, 2013-5- 21, 05

14、:50:51,例 10.12,积木集合的4个相关属性：（颜色,形状,大小,价位） 黄色， 红色， 绿色； 方形， 圆形， 三角形； 大，其余小； 价低， 价中， 价高 销售情况： 好， 一般， 较差,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,信息决策系统表,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,函数调用格式 Sl 求出下近似集 求出上近似集 Su 利用MATLAB的差集函数可以求出边界集 Sd,近似集的MATLAB计算,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,编辑函数rslower(),下近似集函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,编辑函

15、数rsupper(),上近似集函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,不可分辨关系的定义： 构造MATLAB函数,不可分辨关系,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.13,论域 关系为 且 若 ，试求出集合 X 的上近似集和下近似集,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,旋转的信息系统决策表 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,接上页,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.2.4 粗糙集数据处理问题的MATLAB求解,利用粗糙集理论的约简 粗糙集理论在信息约简中的应用举例,星期二

16、, 2013-5- 21, 05:50:51,10.2.4.1 利用粗糙集理论的约简,条件约简：不含多余属性并保证分类正确的最小条件属性集 找出从 C 属性中选定条件推出 D 的最小集合 核集：所有不可约去的关系 求取从 C 属性中选定条件推出 D 的核集,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.14,试用粗糙集的方法对进行约简，找出不必要的数码管,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,数码管显示真值表,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.15,SARS是2

17、003年给全球带来恐慌的疾病，其准确诊断是很困难的。这里给出从报刊提取出的一些数据，如下表所示，试利用粗糙集理论对给出的12个条件进行约简，找出辅助诊断的最主要的条件 这里的例子只用于演示粗糙集的约简，数据也说不全面的，不能用于临床诊断,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,SARS患者和正常人若干检测指标表,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,MATLAB求解语句： 最后得出的条件为 Y = 3,4，表示第3和4列是诊断SARS的重要因素，亦即“血液检测呈阳性”和“高烧 28o”,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.2.5 粗糙集约简的MA

18、TLAB 程序界面,启动粗糙集约简界面的函数调用格式 用户可以由其中的 Browse 按钮读入信息系统决策表，给出 C 属性和 D 属性所需的列号，则可以进一步进行分析,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.3 人工神经网络及其在数据拟合中的应用,神经网络基础知识 径向基网络结构与应用 神经网络界面 人工神经网络是在对复杂的生物神经网络研究和理解的基础上发展起来的。 人工神经元互联构成的网络,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.3.1 神经网络基础知识,前馈神经网络结构与应用 神经网络的训练与泛化,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,1

19、0.3.1.1 前馈神经网络结构与应用,单个人工神经元的数学表示形式,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,Sigmoid函数 对数Sigmoid函数 也可以使用简单的饱和函数和阶跃函数等作为传输函数,常用的传输函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.16,试绘制出各种常用的传输函数曲线。 MATLAB求解语句： 结果：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,接上页：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,BP 神经网络结构示意图,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,两层网络示意图,两层网络,星期二, 201

20、3-5- 21, 05:50:51,两层网络的数学表示,隐层节点在传输函数前后的值分别为 输出层传输函数前后的信号分别为 训练的目标函数残差最小,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,训练的样本,随机选择训练用样本 通过训练更新权值,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,早期版本 新版本 隐层节点个数向量 传输函数 f 按需求使用 fitnet()、patternfit(),构造BP网络的函数调用格式,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,神经网络对象的常用属性,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.17,假设输入信号为2路，其

21、信号范围分别为0,1和(-1,5)，且输出信号为单路信号，试建立所需的前馈神经网络对象 MATLAB求解语句： 设置网络结构 设置其他参数可以直接设置,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.3.1.2 神经网络的训练与泛化,神经网络训练函数调用格式 其中，变量 X 为 nM 矩阵， n 为输入变量的路数，M 为样本的组数， Y 为 mM 矩阵，m 为输出变量的路数 目标值曲线绘制 神经网络的仿真或泛化的函数调用格式,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.18,用下面语句生成一组数据，试用神经网络对其进行拟合，样本点生成 选择2个隐层，隐层节点选择为5

22、：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,显示出神经网络的权值 选择不同的训练算法,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,增加节点个数能否改善拟合效果？,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10.19,二元函数拟合：样本数据生成 选择两个隐层，每层10个节点,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,单个隐层 三个隐层,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.3.2 径向基网络结构与应用,径向基函数(RBF)的数学描述 其中，c 为聚类中心点，而 b 0 为调节聚类效果的参数 神经网络工具箱中，radbas()函数可以计

23、算出标准径向基函数 的曲线参数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,若隐层的传输函数 F1(x) 为径向基函数，输出层的传输函数 F2(x) 为线性函数，则此结构的网络称为径向基网络,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.20,试绘制不同参数(c , b)下的径向基函数曲线 取中心点 c=-2,0,2，并假设 b=1,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,选择中心点c=0，并假设b=0.1,1,5 径向基网络的训练方式不是采用反向误差传播实现的，故不是BP网络 用函数newrbe()和sim()可以实现神经网络的建立、训练和泛化全过程,星期

24、二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.21,用径向基神经网络重新拟合一元函数 径向基网络的拟合,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.22,用径向基神经网络重新拟合二维曲面 生成样本数据 曲面拟合,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.3.3 神经网络界面,启动神经网络工具箱的图形用户界面的函数调用格式 该界面可以建立所需的神经网络模型，并可以由已知数据对该网络进行训练、仿真,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.23,用神经网络工具箱的界面对例10.21中的数据进行拟合 MATLAB求解语句：,星期二,

25、2013-5- 21, 05:50:51,单击按钮Import来导入数据 单击主界面中的New Network按钮来选择神经网络的结构 单击按钮Train来训练神经网络 单击按钮Export将训练得出的网络模型输出到MATLAB环境中 绘制出曲线拟合与泛化结果,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.4 进化算法及其在最优化问题中的应用,遗传算法的基本概念介绍及MATLAB实现 遗传算法在求解最优化问题中的应用举例 遗传算法在有约束最优化问题中的应用 粒子群优化算法与求解 其他全局优化算法 求取精确的全局最优解 基于遗传算法的混合整数规划求解,星期二, 2013-5- 21,

26、 05:50:51,10.4.1 遗传算法的基本概念介绍及MATLAB实现,遗传算法是基于进化论，在计算机上模拟生命进化机制而发展起来的一门新学科，它根据适者生存、优胜劣汰等自然进化规则搜索和计算问题的解 美国 Michigen 大学的 John Holland 于 1975 年提出的 更可能获得全局最优解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,遗传算法工具箱,MATLAB 7.0的遗传算法与直接搜索工具箱 现改名全局优化工具箱 用过Sheffield大学的遗传算法工具箱 MATLAB Central 下有大量工具箱 GAOT：最早的遗传算法最优化工具箱,星期二, 2013-5-

27、 21, 05:50:51,遗传算法的基本思想,从一个代表最优化问题解的一组初值开始进行搜索，这组解称为一个种群，这里种群由一定数量的、通过基因编码的个体组成，其中每一个个体称为染色体，不同个体通过染色体的复制、交叉或变异又生成新的个体，依照适者生存的规则，个体也在一代一代进化，通过若干代的进化最终得出条件最优的个体。,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,选择 n 个个体构成初始种群 P0，求出各个个体的函数值， P0 可以随机生成 设置代数为 i = 1，即设置其为第一代。 计算选择函数的值，所谓选择即通过概率的形式从种群中选择若干个个体的方式 通过染色体个体基因的复制、交叉

28、、变异等创造新的个体，构成新的种群 Pi+1 i =i+1，若终止条件不满足，则继续进化,简单遗传算法的一般步骤,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,不同于从一个点开始搜索最优解的传统的最优化算法，遗传算法从一个种群开始对问题的最优解进行并行搜索，所以更利于全局最优化解的搜索。 遗传算法并不依赖于导数信息或其他辅助信息来进行最优解搜索。 遗传算法采用的是概率型规则而不是确定性规则，所以每次得出的结果不一定完全相同，有时甚至会有较大的差异。,遗传算法和传统优化算法比较,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.4.2 遗传算法在求解最优化问题中的应用举例,GAOT

29、 工具箱中的函数调用格式 MATLAB 全局优化工具箱 打开遗传算法程序界面：gatool(),星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.24,给定 试求出 f(x) 取最大值时 x 的值 绘制目标函数曲线： 试测不同初值：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,不同初值下搜索到的“最优解”及目标函数值,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,编写目标函数： 调用gaopt()函数： 与用最优化工具箱得出的结果进行比较：,遗传算法求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,更大的求解空间，假设 改变遗传算法的求解区间,星期二, 201

30、3-5- 21, 05:50:51,例 10.25,给定 试求其的最小值 描述最优化问题的目标函数：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,假设 为自变量的求解范围,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,gaopt()函数稍复杂一点的调用格式 其中，p 为附加参数，v 为精度及显示控制向量，P0 为初始种群，fun1为终止函数的名称，默认值为maxGenTerm，n 为最大的允许代数 该函数还有更复杂的调用格式,函数其他调用格式,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.26,给定 试设置更多的允许代数，观察寻优的结果，并和最优化搜索算法得出结果

31、在时间、精度上的差异进行比较,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,利用ga()函数，编写目标函数 指定一些搜索参数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,用传统的无约束最优化方法求解 得出更高的求解精度，求解时间大大减少,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.4.3 遗传算法在有约束最优化问题中的应用,GAOT工具箱不能直接用于有约束最优化问题的求解对于有约束最优化问题，应该将其转变为无约束最优化问题； GAOT 工具箱求解的是最大值 不等式约束则可以通过惩罚函数方法转换到目标函数中 等式约束，则可以通过等式求解的方式将其中若干个自变量用其他自

32、变量表示,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.27,试用遗传算法求解线性规划问题 对于等式，用 x1 和 x2 表示 x3,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,描述目标函数： 运用遗传算法求解问题：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,用线性规划方法求解： linprog()得出的结果更精确 线性规划是凸问题，没有必要用遗传算法 建议求解方法：用 GA 找出全局最优解的大致位置以其为初值调用最优化函数求精确解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,全局优化工具箱函数求解,有约束优化问题的直接求解 等式约束效果似乎不佳 求解

33、的是最小值，而不像 gaopt 的最大值 得出的是可行解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-28,用 ga 函数直接求解线性规划问题 可以用 ga 函数得到可行解，但不一定是真正的最优解 也可以使用结构体型调用格式,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,求解语句 结构体求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.4.4 粒子群优化算法与求解,粒子群优化算法是一种进化算法，该算法是受生物界鸟群觅食的启发而提出的搜索食物 假设某个区域内有一个全局最优点，和位于随机初始位置的粒子，每一个粒子有到目前为止自己的个体最优值 pi,b，整个粒子群

34、有到目前为止群体的最优值 gb,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,粒子按下式更新自己的速度和位置 其中， g1a ， g2a为 0,1 区间内均匀分布的随机数 f(k) 为惯量函数 a1， a2为加速常数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,求解粒子群优化的函数调用格式 其中，fun为目标函数（不支持匿名函数），n 是 x 向量的维数，这两个量是必须提供的 该函数在随书的程序包中提供 支持向量化运算，目标函数的描述有所不同,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.29,给定 用粒子群算法求其最小值 编辑向量化的目标函数： 求解该最优化问题

35、,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.30,试用粒子群优化算法，求解线性规划问题 需要用惩罚方式表示等式约束 目标函数的向量描述,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,编写向量化的模式的目标函数 得出精确的最优解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.4.5 其他全局搜索方法,MATLAB 全局优化工具箱其他方法 模拟退火方法 无约束最优化问题求解 模式搜索方法 和 fmincon 调用格式一致 patternsearch 函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10.31,线性规划问题 模式搜索方法求解,星期二,

36、 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.32,试求出下面最优化问题的精确全局最优解 绘制目标函数的三维曲面,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,引入决策变量向量 x1 = x, x2 = y 直接求解 模式搜索算法求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.4.6 求取精确的全局最优解,传统的最优化方法可能得出精确的最优解，然而，经常可能得到的是局部最优解而不是全局最优解，而进化方法通常能得出全局最优解，但解的精度可能很低 在实际最优化问题求解中可以考虑将二者的优势结合起来，得到精确的全局最优解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:5

37、1,重新求解 模式搜索方法求初值，传统方法求精确解,例10-33,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,用遗传算法求解问题： 将遗传算法得出的求解最优解作为搜索起点，采用传统最优化方法,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.3.7 基于遗传算法的混合整数规划求解,求解函数 如果采用结构体求解，则使用 IntCon 局限性： 目前只能求解不含有等式约束的问题 非线性约束 f1 函数也不能含有等式约束,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-35,用遗传算法重新求解 x1 是 0.25 的整数倍， x2 是 0.1 的整数倍 引入 ，整数规划,

38、星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,非线性约束 基于遗传算法的求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.5 小波变换及其在数据处理中的应用,小波变换及基小波波形 小波变换技术在信号处理中的应用 小波问题的程序界面,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.5.1 小波变换及基小波波形,连续小波变换 离散小波变换 小波工具箱中提供的基小波函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.5.1.1 连续小波变换,连续小波变换的变换公式为 其中， 且(t) 称为基小波， 为基小波通过平移、比例缩放构成的小波信号,星期二, 2013

39、-5- 21, 05:50:51,例 10.35,假设“墨西哥帽”基小波函数由下式给出 试绘制出不同 a,b 值变换下的小波函数。,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,小波反变换的数学描述为： 其中， 计算连续小波变换的系数的函数调用格式 计算小波系数矩阵 小波系数绝对值图 其中，fun为基小波名称,小波反变换求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.36,试对信号 f (t) = sin t2 进行连续小波分解，并绘制出其系数图 绘制出时域信号曲线： 选择mexh基小波作为模板 绘制出小波系数的三维表面图,星期二, 2013-5- 21, 05:50

40、:51,10.5.1.2 离散小波变换,离散信号的小波变换的数学描述： 函数调用格式 离散小波反演公式的数学描述 函数调用格式,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.37,给定信号 f (t) = sin t2 叠加均值0，标准差0.1的Gaussian白噪声 MATLAB求解语句： 小波反变换，误差,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.5.1.3 小波工具箱中提供的基小波函数,生成和测试显示基小波类型的函数调用格式 计算基小波函数的函数调用格式 Gauss、墨西哥帽 Daubechies/Symlets Bior等,星期二, 2013-5- 21

41、, 05:50:51,例 10.38,绘制出不同阶次下的Daubechies 6基小波波形 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.39,试绘制出常用基小波波形 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.5.2 小波变换技术在信号处理中的应用,小波分解的过程,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,一维信号的小波分解的函数调用格式 分解结果及存储方式：,一维小波处理,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,提取系数的函数调用格式 提取近似系数 提取第 i 段细节系数 信号重建的函数调用

42、格式,小波系数的提取与小波重建,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.40,给定信号 f (t) = sin t2 叠加均值0，标准差0.1的Gaussian白噪声 对数据进行3次小波分解，各种基小波函数对其进行降噪处理，比较降噪效果 绘制原信号波形曲线：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,对给定的数据进行3次小波分解：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,采用 db6 基小波 采用基小波 bior2.6 和 coil4,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.41,如下数字滤波问题 试用小波对其进行滤波，并比较滤

43、波效果,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.5.3 小波问题的程序界面,启动小波变换问题的图形用户界面 他可以用于求解一维、二维小波变换问题,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6 分数阶微积分学问题求解及应用,分数阶微积分的定义 不同分数阶微积分定义的关系与性质 分数阶微积分的计算方法 分数阶线性微分方程的求解方法 基于框图的非线性分数阶微分方程近似解法 分数阶传递函数模型与分析,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,分数阶微积分学概述,第3章的整数阶微积分问

44、题 1695年法国数学家Guillaume Franois Antoine LHpital 问过微积分学创造者之一Gottfried Wilhelm Leibniz 的问题，n =1/2? 分数阶微积分理论已经有300年的历史了 早期主要侧重于理论研究 近年来在很多领域都已经开始应用 自动控制领域出现了分数阶控制理论等新的分支,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.1 分数阶微积分的定义,四种常用的定义、相互关联 分数阶Cauchy积分公式 Grnwald-Letnikov分数阶微积分定义 Riemann-Liouville分数阶微积分公式 Caputo分数阶微分定义,

45、星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,分数阶Cauchy积分公式,数学描述： 其中，C为包围 f (t) 单值与解析开区域的光滑曲线,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,Grnwald-Letnikov分数阶微积分定义,数学描述： 其中， 为二项式系数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,Riemann-Liouville分数阶微积分公式,积分的数学描述： 其中，0 a 1，且 a 为初始时间 分数阶微分定义的数学描述：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,Caputo分数阶微分定义,微分的数学描述： 其中，a = m + g，m

46、为整数，0 g 1 当 g 0 时， Caputo分数阶积分的数学描述,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.2 不同分数阶微积分定义的关系与性质,Caputo 定义和 Riemann-Liouville 定义 0 a 1 更一般地,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,分数阶微积分的性质,解析函数 f (t) 的分数阶导数 对 t 和 a 都是解析的。 a 为整数时，分数阶微分与整数阶微分的值完全一致，且 分数阶微积分算子为线性的，对常数 a、b 分数阶微积分算子满足交换律,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,函数分数阶导数的 Lapla

47、ce 变换,函数的分数阶积分表达式的 Laplace 变换 Riemann-Liouville 微分的 Laplace 变换为 Caputo/Riemann-Louiville 定义函数积分的 Laplace 完全一致，微分的Laplace 变换满足,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.3 分数阶微积分的计算方法,用Grnwald-Letnikov定义求解分数阶微分 Caputo 微积分定义的数值计算 Oustaloup 滤波算法 改进的Oustaloup滤波器方法 分数阶线性微分方程的求解方法 零初值分数阶线性微分方程的解法 非零初值 Caputo 微分方程的数值求

48、解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.3.1 用Grnwald-Letnikov定义求解分数阶微分,数学描述 其中，,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,构造一个MATLAB函数 函数调用格式,分数阶微分数值计算,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-42,阶跃函数的导数和积分是什么？ 整数阶的积分与微分 对不同的阶次,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.43,考虑一个初值非零的函数 试求出其分数阶导数。 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,对不同的 g 选值，可

49、以调用下面的语句绘制出分数阶导函数的三维图,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.44,试用不同定义求取函数为 f (t) = sin(3t + 1) 的0.75阶微分，并比较得出的结果。 Cauchy公式结果 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,8.6.3.2 Caputo 微积分定义的数值计算,Caputo 分数阶积分与 Grnwald-Letnikov 定义完全一致 Caputo / Grnwald-Letnikov 微分关系 MATLAB 函数实现,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,MATLAB 代码,星

50、期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-45,函数为 f (t) = sin(3t + 1) ，求 0.3、1.3、2.3 阶的Caputo导数 0.3阶两个定义之差为 绘制 0.3 阶导数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,其余两个导数曲线绘制,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.3.3 Oustaloup滤波算法,如果函数 f (t) 的表达式不是事先已知 连续滤波器传递函数模型：Oustaloup算法 感兴趣区间,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,构造MATLAB函数，设计连续滤波器 函数调用格式,Ousta

51、loup 滤波器求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10.46,函数 感兴趣频率区间 分数阶阶次 0.5，5阶滤波器 MATLAB求解语句： 绘制分数阶微分曲线：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,更大的频率范围 不同的滤波器阶次,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.3.4 改进的Oustaloup滤波器方法,数学描述： 其中， 通常可以选择加权参数 b=10，d=9,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,编写出下面的MATLAB函数 函数调用格式：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例 10

52、.47,给定函数 相同频率范围 0.5 阶导数 MATLAB求解语句：,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.4 分数阶微分方程求解,一类分数阶线性系统时域响应解析解方法 零初值分数阶线性微分方程的解法 非零初值Caputo微分方程的数值求解 非线性微分方程求解 非线性非零初值Caputo微分方程求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,分数阶线性微分方程,一般形式 初值为零，Riemann-Liouville 微分方程 初值不为零，Caputo 微分方程 传递函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.4.1 一类分数阶线性系统

53、时域响应解析解方法,如果方程右侧只有 u(t)，微分方程的解析解,Mittag-Leffler函数，第8章,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,左侧只含有三项的方程解析解,传递函数 其中,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-48,零初值微分方程 输入 u(t) = 1 得出 直接求解 此方法适用面窄，计算量大,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.4.2 零初值分数阶线性微分方程的解法,分数阶线性微分方程 如果右侧不是 u(t)，可以通过下式计算 假设 如果有负阶次，应该事先变换,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51

54、,由 Grnwald-Letnikov 定义 方程左侧每项均含 y(t)，其余项移到等号右侧，则微分方程的闭式数值解为,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,分数阶微分方程求解函数,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-49,求解零初值分数阶线性微分方程 选择计算步长 h = 0.002 求解，选择不同的 h 检验,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.4.3 非零初值Caputo微分方程的数值求解,微分方程中是Caputo分数阶导数 如果 ，应该已知 m 个初始值 引入辅助信号，将原方程变换为零初值,星期二, 2013-5- 21,

55、 05:50:51,辅助信号变换函数 新微分方程,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-50,微分方程 初始条件 MATLAB 求解,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.5基于框图的非线性分数阶微分方程近似解法,基于框图解法的必要性 复杂非线性方程没有通用的数值解法 如果微分方程是整个系统的一部分 求解方法 设计一个分数阶微分算子，可以采用Oustaloup滤波器或改进形式 可以考虑初值，处理Caputo微分方程 由分数阶微分算子搭建系统仿真模型,星期二, 2013-5- 21, 05:50:5

56、1,10.6.5.1 零初值非线性分数阶微分方程的求解,微分算子的封装 初始化栏目语句,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-51,框图求解零初值线性分数阶微分方程 引入 变换后,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10-52,非线性分数阶微分方程（零初值） 变换形式,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.5.2 非零初值的 Caputo 微分方程数值解法,需要对初值补偿 构造封装模块,星期二, 2013-5- 21, 05:5

57、0:51,取 定义辅助信号 由poly2caputo() 填写Fcn模块的补偿函数 可以封装 Caputo 微分算子模块 仿照前面例子建模,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,例10.53,非线性分数阶微分方程 已知初值 解析解 辅助信号 等效于,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,微分方程变换,直接得出 化简 新微分方程,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.6 对象编程实例分数阶传递函数模型,分数阶传递函数（FOTF）对象 FOTF对象的创建 FOTF短信的重载函数编写 面向对象的分析与设计方法,星期二, 2013-5- 21, 05:50:51,10.6.6