第63讲 空间向量的概念及运算(1).ppt

1、新课标高中一轮总复习,第九单元 直线、平面、简单几何体和空间向量,第62讲,两个平面的平行与垂直,1.能识别平面与平面的位置关系，理解面面平行和垂直的定义. 2.掌握面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，并能灵活应用. 3.进一步培养推理论证能力和空间想象能力.,1.若不共线的三点到平面的距离相等，则由这三点确定的平面与的位置关系是( ),D,A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或相交都有可能,当三点在平面同侧时，两平面平行，当三点分别在平面异侧时，两平面垂直.,2.平行平面的一个充分条件是( ),B,A.存在一条直线a，a，a B.存在一条直线a，a，a C.存在两条直线a、b，a，b，

2、a，b D.存在一个平面，,3.若平面平面,直线a，点B,则在内过点B的所有直线中( ),D,A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数多条与a平行的直线 D.存在惟一一条与a平行的直线,由于Ba，则a和B确定一个平面，平面平面=l，可知l惟一存在，且la.,4.若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( ),A,A.若l，l，则 B.若，l，则l C.若ln，mn，则lm D.若，l，n，则ln,对于选项A，过l作平面=l,由于l，则ll.又l，可知l，而l，故； 对于选项B,l若是与的交线，则l； 对于选项C，l与m可平行,可

3、相交,可异面; 对于选项D,l与n可平行，可异面.故选A.,1.平面与平面平行 定义：若平面与平面没有公共点，则称平面与平面平行，记作. 判定定理:如果一个平面内有 直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 .,两条相交,平行,2.平面与平面垂直 定义：平面与平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称与互相垂直，记作. 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直. 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 另一个平面.,垂线,垂直于,题型一 两个平面平行的判定与应用,例1,

4、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P、Q分别是DD1、CC1的中点，M是BD1上一点. (1)证明：平面D1BQ平 面PAO； (2)点M位于BD1的什么位 置时,QMBD?,(1)连接PQ、AP.因为P、Q为DD1、CC1的中点， 所以PQ CD AB， 所以APBQ， 所以AP平面D1BQ. 又O为底面ABCD的中点，即O为BD的中点. 又P为DD1的中点，所以POBD1， 所以PO平面D1BQ. 又POAP=P，所以平面D1BQ平面PAO.,(2)当M位于BD1的中点时，QMBD. 连接A1C1、A1C， 则平面A1C1CA平面BD1Q=QM， 平面A1

5、C1CA平面ADO=AO. 由(1)知，平面D1BQ平面PAO， 所以QMAO. 又AOBD，所以QMBD.,(1)证明两个平面平行的方法有：用定义，此类题目常用反证法来完成证明；用判定定理或推论，通过线面平行来完成证明；根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；借助于“传递性”来完成；可以用向量法来证明直线和平面平行. (2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用.,题型二 面面垂直的判定与应用,例2,如图，四边形PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM=1，BC=2,又AC=1，ACB=120，ABPC,直线AM与直线PC

6、所成的角为60. （1）求证：平面 PMBC平面ABC; （2）求二面角M-AC-B 的余弦值; （3）求三棱锥P-MAC的体积.,(1)因为PCAB，PCBC，且ABBC=B,所以PC平面ABC,又因为PC平面PMBC,所以平面PMBC平面ABC. (2)取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，则PM CN，MN PC,由(1)知，MN平面ABC. 作NHAC,交AC的延长 线于H,连接MH,则可 证得ACMH,从而MHN 为二面角M-AC-B的平面角，因为直线A与直线PC所成的角为60,所以AMN=60,在ACN中，由余弦定理得 AN= = , 在RtAMN中, =tanAMN, 则M

7、N= =1, 在RtCNH中,NH=CNsinNCH=1 = , 在RtMNH中,tanMHN= = = . 所以，cosMHN= . 故二面角M-AC-B的余弦值为 .,(3)由（2）知,PCMN为正方形. 所以VP-MAC=VA-PCM=VA-MNC=VM-ACN = ACCNsin120MN = .,(1)本例属面面垂直的判定及应用，论证面面垂直的策略是线线垂直线面垂直面面垂直，而应用面面垂直则联想性质定理线面垂直线线垂直. (2)二面角是研究面面相交位置关系的，其大小是由在二面角的棱上取一点，在二面角的二个面内垂直于棱的两直线所成的角（二面角的平面角）的大小反映的.,题型三 平行与垂直

8、位置关系的探究,例3,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分别为AB、CD的中点，SP平面ABCD. (1)在边SD上找一点R, 使得AR平面SPC; (2)问在SP上是否存在点F， 使得平面ADF平面BFC ？ 若存在，求出 的值； 若不存在，说明理由.,(1)当R点为SD的中点时,能使AR平面SPC. 理由是：由P、Q分别为AB、CD的中点， 所以AQCP，则AQ平面SPC. 又R、Q分别为SD、DC的中点, 所以QRSC，SC平面SPC， 所以QR平面SPC， 而AQQR=Q， 所以平面ARQ平面SPC, 又AR平面ARQ，所以AR平面SPC.,(2)存在点F

9、,当 =1时,使得平面AFD平面BFC. 证明：SP平面ABCD FPAB AP=PF=PB AFP=PFB=45AFFB. 又四边形ABCD为矩形 ADAB SP平面ABCD SPAD ABSP=P AD平面SAB BF平面SAB,ADBF AFFB BF平面ADF ADAF=A BF平面BFC 平面ADF平面BFC.,探究性问题的分析思路是综合运用分析法和综合法，由“使得”探寻需要的关系，然后由已知推导获知关系，通过综合分析探求结论.,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. (1)求证：平面AB1D1平面C1BD; (2)求平面AB1D1和平面C1BD间的距离.,(1)证明:因为AB

10、CD-A1B1C1D1是正方体, 所以B1D1BD. 又BD平面C1BD,所以B1D1平面C1BD. 同理可得D1A平面C1BD. 因为B1D1和D1A是平面AB1D1内的两条相交直线, 因此平面AB1D1平面C1BD.,(2)如图，连结A1C,设M、N分别是A1C和平面AB1D1、平面C1BD的交点. 因为A1C在平面ABCD内的射影为AC，且ACBD, 所以A1CBD. 同理，A1CBC1. 所以A1C平面C1BD. 于是A1C平面AB1D1. 因此MN的长是两平行平面AB1D1和C1BD间的距离.,在平面A1ACC1中， 因为AA1=CC1=a,AC=A1C1= a,所以A1C= a.

11、设平面AB1D1和平面A1ACC1交于AP(P为B1D1的中点)，则MAP. 又平面BDC1和平面A1ACC1交于C1Q(Q为BD的中点)， 则NC1Q,且APC1Q. 由平面几何知识知,M、N为A1C的两个三等分点, 所以MN= a.,1.证明平面和平面平行的方法： (1)利用定义，即采用反证法； (2)利用判定定理，可由线面平行(线线平行) 面面平行. 2.面面垂直的判定最常用的方法是判定定理法，即要证一个平面内有一条直线垂直于另外一个平面，而这一点一般由线线垂直得到或利用向量的数量积为零的方法.另外，用定义法证明两平面垂直的方法也不能忽视.,3.求解开放性、探索性空间图形位置问题的常用方

12、法是分析综合法，也可应用向量工具进行探究. 4.面面平行和垂直的性质定理是线面、线线关系判定的工具性定理.,如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC,PAD是等边三角形.已知BD=2AD=8,AB=2DC=4 . (1)设M是PC上一点， 证明:平面MBD平面PAD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积.,(1)证明：在ABD中， 因为AD=4,BD=8,AB=4 , 所以AD2+BD2=AB2,故ADBD. 又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD平面PAD. 又BD平面MBD,故平面MBD平面PAD.,(2)过点P作POAD交A

13、D于O, 由于平面PAD平面ABCD, 所以PO平面ABCD. 因此PO为四棱锥P-ABCD的高. 又PAD是边长为4的等边三角形， 因此PO= 4=2 . 在底面四边形ABCD中，ABDC,AB=2DC, 所以四边形ABCD是梯形.,在RtADB中,斜边AB边上的高为 4 = , 此即为梯形ABCD的高， 所以四边形ABCD的面积为 S= =24. 故VP-ABCD= 242 =16 .,如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10. (1)设G是OC的中点,证明:FG平面BOE； (2)证明：在ABO

14、内 存在一点M，使FM 平面BOE，并求点M 到OA，OB的距离.,(方法一)（1）证明：如图，连接OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz . 则O(0，0，0)，A(0，-8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，-4，3) F(4，0，3).由题意，得G(0，4，0).,因为 =(8，0，0)， =(0，-4，3)， 所以平面BOE的法向量n=(0，3，4). 由 =(-4，4，-3)，得n =0. 又直线FG不在平面BOE内， 所以FG平面BOE. (2)设点M的坐标为(x0，y0，0)， 则 =

15、(x0-4,y0,-3). 因为FM平面BOE，所以 n， 因此x0=4,y0=- ,即点M的坐标是(4，- ，0).,在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域可表示为 x0 y0 x-y8. 经检验，点M的坐标满足上述不等式组. 所以,在AOB内存在一点M,使FM平面BOE. 由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4, .,不等式组,(方法二)(1)证明：如图，取PE的中点H，连接HG，HF. 因为点E，O，G，H，F分别是PA，AC，OC，PE，PB的中点， 所以HGOE，HFEB， 因此，平面FGH平面BOE. 因为FG在平面FGH内， 所以FG平面BOE.,(2)在平面OAP内，过点P作PNOE，交OA于点N