第二章几何元素间的相对位置及综合问题解题方法.ppt

1、第2章续 几何元素间的相对位置 及综合问题解题方法,1 平行问题 2 相交问题 3 垂直问题 4 综合问题分析及解法,直线与平面平行,两平面平行,1 平行问题, 直线与平面平行,D,B,C,A,P,若：ABCD 则：ABP,若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。,几何条件：,有关线、面平行的作图问题有： 判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。,结论：直线AB不平行于定平面,例1 试判断直线AB是否平行于定平面,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例2 过M点作直线MN平行于平面ABC

2、。,有无数解,d,d,X,正平线,例3 过M点作直线MN平行于V面和 平面 ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,X,例4 试过点K作水平线AB平行于CDE平面,直线与特殊位置平面平行,当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。, 两平面平行,若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。 判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。,几何条件：,两平面平行的作图问题有：,两平面平

3、行, 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,AB；AC； 则：PQ, 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,两特殊位置平面平行,两特殊位置平面平行,两一般位置平面平行,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例1 判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMH,例2 试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例3 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过 点K作一平面平行于已知平面 。,例4 试判断两平面是否平行。,结论：因为PH平

4、行SH，所以两平面平行,直线与平面相交,两平面相交,2 相交问题,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,1. 直线与平面相交,要讨论的问题：,(1) 求直线与平面的交点。,(2) 判别两者之间的相互遮 挡关系，即判别可见性。,我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况。,2. 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。,2.1 特殊位置线面相交,直线与特殊位置平面

5、相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交,1. 直线与特殊位置平面相交,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。,2. 判断直线的可见性,特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。,例1 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析:,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),X,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析:,直线M

6、N为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前，点位于MN上，在后，故k1为不可见。,X,( ),k,例2 求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点并判别 其可见性。,2.2 一般位置平面与特殊位置 平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。 1.求交线 2.判断平面的可见性,1. 求交线,2. 判断平面的可见性,2. 判断平面的可见性,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例3 求两平面的交线 MN并判别可见性。,空间及投影分析：, 求交线

7、, 判别可见性,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,平面ABC与DEF都为 正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,还可通过重影点 判别可见性,a ,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空间及投影分析：,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。, 求交线, 判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作图,X,2,1,1(2),b,投影分析,N点的水平投影n位于def

8、的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。 所以ABC和DEF的交线应为MK。,n, 求交线, 判别可见性,作图,DEF的正面投影积聚,2.3 直线与一般位置平面相交,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图 以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图 判别可见性 示意图,1,2,QV,步骤： 1过EF作正垂平面Q。,2求Q平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。,示意图,以正垂面为辅助平面求直线EF与ABC平面的交点,过EF作正垂面Q,E,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图,2,PH,步骤： 1过EF作铅垂平面P。,2求P平面与ABC的交线。,3求交线与EF的交点K。

9、,示意图,以铅垂面为辅助平面求直线EF与ABC平面的交点,1,过EF作铅垂面P,以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图,F,f,e,e,直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。,利用重影点判别可见性,1,2,4,3,（ ）,示意图,( ),2.4 两一般位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。 两一般位置平面相交求交线 判别可见性,两一般位置平面相交，求交线步骤： 1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。,2连接两个共有点，画出交线KE。,示意图,例4,求两平面的交线,两一般

10、位置平面相交求交线的方法 示意图,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,( ),( ),2.5 综合性问题解法,试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交 。,综合性问题解法,综合性问题解法,综合性问题解法,例5,过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。,分析,PV,1,2,1过点K作平面KMN/ ABC平面。,2求直线EF与平面KMN的交点H 。,3连接KH，KH即为所求。,作图,直线与平面垂直,两平面互相垂直,3 垂直问题,3.1 直线与平面垂直,几何条

11、件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。,定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。,定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线 （逆） 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。,a,例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。,h,例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。,X,O,例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。,几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。,3.

12、2 两平面垂直,反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,两平面垂直,两平面不垂直,X,O,例9平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面,结论：两平面不垂直,X,O,例10 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面 是否垂直。,4.1 空间几何元素定位问题,4.2 空间几何元素度量问题,4 综合问题分析及解法,4.3 综合问题解题举例,4.1 空间几何元素定位问题,例11 已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与 CD平行，并且与EF、GH均相交。,分析,所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。,作图过程,k,k,1,1,2,2,a,a,b,b,例12 试过定点A作直线与已知直线EF正交。,分析,过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。,作图,例13 求点C到直线AB的距离。,分析,过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。,作图过程,1,2,1,2,所求距离,PV,例14 求两平行直线AB 和CD的距离。,1,2,1,2,所求距离,PV,d,d,例15 求点到ABC平面的距离。,作出垂线后，用辅助平面法求出垂线与平面