必须四三角函数第二讲(教师)同角三角函数的基本关系与诱导公式

1、同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan .2六组诱导公式角函数2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_对于角“”(kZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”考向一 同角三角函数关系的应用【例1-1】(2011长沙调研)已知tan 2.求：(1

2、)；(2)4sin23sin cos 5cos2.审题视点 (1)同除cos ；(2)利用1sin2cos2，把整式变为分式，再同除cos2.解 (1)1.(2)4sin23sin cos 5cos21. (1)对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求转化的公式为(sin cos )212sin cos ；(2)关于sin ，cos 的齐次式，往往化为关于tan 的式子【训练1-1】 已知5.则sin2sin cos _.解析 依题意得：5，tan 2.sin2sin cos .答案 【例1-2】(1)(2012江西高考)若ta

3、n 4，则sin 2()A.B.C. D.(2)已知sin(3)2sin，则_.自主解答(1)tan 4，4，4，即4，sin 2.(2)法一：由sin(3)2sin得tan 2.原式.法二：由已知得sin 2cos .原式.答案(1)D(2)【训练1-2】(1)(2012长沙模拟)若角的终边落在第三象限，则的值为()A3 B3C1 D1(2)已知sin 2sin ，tan 3tan ，则cos _.解析：(1)由角的终边落在第三象限得sin 0，cos 0，故原式123.(2)sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2，由得：9cos24cos2，得：si

4、n29cos24，cos2sin21，cos2，即cos .答案：(1)B(2)考向二 利用诱导公式化简、求值【例2-1】已知f()，求f.审题视点 先化简f()，再代入求解解 f()cos ，fcos coscos . (1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了【训练2-1】 （1）已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_解析 原式tan ，根据三角函数的定义，得tan .答案 利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的

5、三角函数(2)“大化小”，利用k360(kZ)的诱导公式将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数(3)“小化锐”，将大于90的角化为0到90的角的三角函数(4)“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得（2）_. 自主解答(1)原式 1. 答案1 (3)已知f(x)asin(x)bcos(x)，其中，a，b均为非零实数，若f(2 012)1，则f(2 013)等于_解析： (3)由诱导公式知f(2 012)asin bcos 1，f(2 013)asin()bcos()(asin bcos )1.答案： 1【例2-2】(1)已知cos，求co

6、s的值；(2)已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值思维启迪：(1)将看作一个整体，观察与的关系(2)先化简已知，求出cos 的值，然后化简结论并代入求值解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .【训练2-2】已知sin，(0，)，求的值解sin，cos ，又(0，)，sin .【例2-3】【训练2-3】考向三 三角形中的诱导公式【例3-1】 注：1诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：ABC,2A2B22C，等，于是可得sin(AB)sin C，co

7、ssin 等；2求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小【训练3-1】 【训练3-2】在三角形ABC中，(1)求证：cos2cos21；(2)若cossintan (C)0，求证：三角形ABC为钝角三角形证明：(1)在ABC中，ABC，则，所以coscossin，故cos2cos21.(2)若cossintan (C)0，则(sin A)(cos B)tan C0，即sin Acos Btan C0，在ABC中，0A，0B，0C0，或B为钝角或C为钝角，故ABC为钝角三角形题型四 分类讨论思想在三角函数化简中的应用【例4】化简：sincos (nZ)审题视角(1

8、)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看规范解答解当n为偶数时，设n2k (kZ)，则1分原式sincossincossincossincossinsin0.5分当n为奇数时，设n2k1 (kZ)，则6分原式sincossincossincossincossincossincossinsin0.10分故sincos0.12分【训练4】)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2 D1，1,0,2，2自主解答当k为偶数时，A2；k为奇数时，A2.答案 C基础练习：1已知sin

9、()0，则下列不等关系中必定成立的是()Asin 0Bsin 0，cos 0，cos 0 Dsin 0，cos 0解析：选Bsin()0，sin 0.cos()0，cos 0.cos 0，所以sin cos .5已知cos，且|，则tan ()A B.C D.解析：选Dcossin ，又|，则cos ，所以tan .6已知2tan sin 3，0，则sin ()A. BC. D解析：选B由2tan sin 3得，3，即2cos23cos 20，又0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .7cossin的值是_解析：原式cossin cossin.答案： 8若2，则sin(5)sin_.解析：由2，得sin cos 2(sin cos )，两边平方得：12sin cos 4(12sin cos )，故sin cos ，sin(5)sinsin cos .