安徽省池州市2026届高三数学下学期教学质量统一监测试题二模 (一)【含答案】

安徽池州市普通高中2026届高三下学期教学质量统一监测数学试卷一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若，其中i为虚数单位，则z的虚部为（

）A． B． C． D．3．函数的一个对称中心为（

）A． B． C． D．4．已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（

）A． B．2 C． D．35．已知向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（

）A．与成正比 B．与成正比C．与成正比 D．与成正比7．现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧.设白球所在抽屉的编号为X，则（

）123456A． B． C． D．8．设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（

）A． B．C．是奇函数 D．是奇函数二、多选题9．已知，则（

）A．的导函数关于直线对称B．曲线在处的切线方程为C．函数的极小值点为D．函数的极大值点为010．如图，在棱长为1的正方体中，，过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面记为S，若三棱锥的外接球球心，则（

）A． B．S为五边形C．S的面积为 D．S分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为11．在数列中，存在（，），使得对任意，都有，下列说法正确的有（

）A．若A：1，2，则B．N可能是奇数C．若A为等差数列，当，时，则的最大值为2D．若A为正项等比数列，当时，则N的最大值为6三、填空题12．已知椭圆的两个焦点分别为，，点P在该椭圆上，且，则该椭圆的离心率为________．13．已知随机变量，且，若（为有理数），则________．14．在平面四边形ABCD中，，，，当锐角取最大值时，________．四、解答题15．某同学为养成锻炼习惯，使用智能手环记录自己连续五天的行走步数，设日期顺序变量x（为第一天），y（单位：千步）为对应日期的步数，具体数据如下表：日期顺序（天）12345步数y（千步）6.26.87.68.49.0(1)求y关于x的经验回归方程；(2)利用（1）中的回归方程，预测该同学第7天的步数能否达到一万步.附：经验回归方程，其中，16．已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且．(1)证明：是等差数列；(2)令，求．17．如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得．(1)证明：平面平面ACD；(2)点F在线段DE上，且二面角的大小为60°．（ⅰ）若，求的值；（ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值．18．已知．(1)当时，求函数的单调性；(2)当时，判断曲线与直线交点的个数，并证明；(3)设，若存在实数，使关于的不等式的解集为，求的最小值．参考数据：，，，，．19．已知双曲线过点和．(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上一点，设，，直线交于另一点，直线交于另一点，且，（各点均不重合）．（ⅰ）证明：直线过轴上的定点；（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．参考答案1．C【详解】因为，，所以.2．D【详解】因为所以z的虚部为.3．C【详解】令，解得，所以函数的对称中心为当时，，即是函数的一个对称中心.4．A【详解】设圆心坐标为，半径为，由题意可得，解得，所以圆C的半径为.5．B【详解】因为，所以，，所以在上的投影向量为6．B【详解】由题意，代入，则，故，所以，而，由，则，A错，B对，由，则，C、D错.7．A【详解】由已知白球编号的可能取值为，（白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选）（白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选）（白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选）所以8．D【分析】通过令和，确定函数为一次函数，通过待定系数法确定解析式，再逐项判断即可.【详解】令可得：，再令，可得，即函数为一次函数，设，代入给定等式，左边：，右边：对比系数得：若，得，，与无交点，舍去；若，得，即，验证满足原等式。已知，即，得，对于选项A：，错误；对于选项B：，错误；对于选项C：，显然不是奇函数，错误；对于选项D，令，定义域为R，满足，是奇函数，正确.9．BCD【详解】函数的定义域为，，所以导函数关于直线对称，所以A错误；因为，所以曲线在处的切线方程为，即，所以B正确；因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数的极小值点为，函数的极大值点为0，所以C，D正确.10．AC【详解】对于A，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，因为，所以点为中点，可得，又因为，设，可得，所以，可得，解得，所以，由三棱锥的外接球即为为棱的长方体的外接球，因为，可得对应长方体的对角线长为，所以的外接球的半径为，可得球心为长方体的对角线的中点，所以，设平面的法向量为，由，令，则，所以，因为，所以向量与平面的法向量为垂直，则，即，解得，所以A正确；对于B，当时，可得，此时点为的中点，因为点为中点，可得，在正方体中，可得，所以，此时过点的平面截正方体的截面为等腰梯形，所以B不正确；因为正方体的棱长为，可得，设等腰梯形的高为，则，所以等腰梯形的面积为，所以C正确；对于D，因为正方体的棱长为，可得其体积为，又因为分别为的中点，根据棱台的定义，可得多面体为三棱台，且，高，可得三棱台体积为，所以较大部分的体积为，所以较小部分与较大部分的体积比为，所以D错误.11．ACD【详解】令，由题意知，当时，恒有，所以函数在区间上是常数函数，所以不为常数列，将数列从小到大排序后，的斜率每过一个项增加2，仅当斜率为0时，为常数，此时满足（为左侧的项数），即（必为偶数），且落在第项和第项之间.A：，对任意，，显然，选项A正确：B：由前分析可知，必为偶数，选项B错误；C：不妨设等差数列单调递增，则公差，由得：当时，，所以，且，所以，由得，选项C正确；D：不妨设正项等比数列单调递增，则公比，记数列的前项和为，由是偶数，可令．所以，当时，，且，所以，，由等比数列求和公式，得，当时，，，令，设，则恒成立，所以在单调递增，所以函数，在上单调递增，所以，由，得，解得，即，所以（当且仅当，时，取＂＂），选项D正确．12．【详解】椭圆的两个焦点分别为，，设椭圆的焦距为，则，又点P在该椭圆上，且，设椭圆的长轴长为，则，故椭圆的离心率为.13．2【详解】由正态分布的对称性知，则，所以，由的展开式通项为，由题设，，所以.14．【详解】设，则，因为，为等腰三角形，由正弦定理：，化简得，设（为锐角），在中由正弦定理：，代入，​，，化简得：，因为是锐角，在单调递增，故最大等价于最大，令，，则，求导得：，，得（），当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取得最大值，对应最大，当时，得：​​，​，，在中，由余弦定理，代入得​：，解得（舍去）.15．(1)(2)预测该同学第7天的步数能达到一万步【详解】（1），所以又过，所以所以关于的经验回归方程为（2）令，得（千步）因为10.48千步等于1.048万步所以由（1）中的回归方程，预测该同学第7天的步数能达到一万步16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）令，得，所以；由题意得，所以当时，，即，所以或所以或.因为数列是单调递增数列，所以当时，，所以，所以，，即是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知，所以.令则①两边同乘以2，得②②-①，得所以.17．(1)证明见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）．【详解】（1）证明：取的中点，由题意知，，所以，，三点共线，由得；由得，又，故，所以，又，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解法一：（几何法）（ⅰ）由（1）知平面，平面，所以，又，平面平面，所以是二面角的平面角，所以，由得，所以，即，即，由得，所以；（ⅱ）过作交于，则平面，由（ⅰ）知，所以，由（ⅰ）知，所以，记到平面的距离为，所以，所以，即，记与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．解法二：（建系法）（ⅰ）由（1）可知如图所示建系，则，，，由得，设平面的法向量为，由得，故，取，可得，所以，设平面的法向量为，记二面角的大小为，则，化简得，解得或（舍），（ⅱ）由（ⅰ）知，取平面的法向量为，又，记与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．18．(1)在单调递增，在单调递减(2)1个，证明见解析(3)3【详解】（1）求导得，令，解得，当时，，则在单调递增，当时，，则在单调递减．（2）解法一：由题意得，①当时，，所以，②当时，求导得，所以在单调递减，又，，所以曲线与直线交点的个数为1．解法二：求导得，令，求导得，令，则，令得，当时，，则在单调递增，当时，，则在单调递增，所以，所以在R上单调递减，又，，所以有唯一根，记为，故在单调递增，单调递减，取，有；取，有，画出简图如图所示，所以曲线与直线交点的个数为1．（3）解法一：①当时，由（1）知在单调递增，单调递减，取，有；取，有，若，左边找点：取，则，（这里用到了，，，）右边找点：取，则，不满足题设条件，舍；若，当时，，当时，，所以的解集为R，舍；②时，取，有；取，有，由②的解集为时，则（*），又，所以（*）不成立，舍；③当时，取，有；取，有，同理，当时，，当时，求导得，所以在单调递减，所以的解集为时，则（），又，，所以（）成立，综上，的最小正整数为3．解法二：由，取，有；取，有，若时，，若时，对求导得，所以在单调递减，所以的解集为时，则，即且，即（），由（*）和（）得，令，显然单调递增，因为，，所以的根为（），其中，所以的解为，由（*）得，由（）得，结合，，所以的最小正整数为3．19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【详解】（1）因为双曲线过点，所以点是双曲线的右顶点，得，又因为双曲线过点，所以，解得.所以双曲线的方程为.（2）（i）设点，，，，，如图：因为，由得，即.又因为，由得，即.设直线过轴上的定点，则,,所以直线过轴上的定点（ⅱ）解法一：（设点法一相关点）设点，，，由得①因为点在上，所以，即②，如图：由①②得又点在上，所以，即由题意知，所以③同理得④由③-④得，因为，即⑤由得，即⑥联立⑤⑥解得，所以解法