用.因式分解（完全平方法).ppt

1、15.4 用乘法公式因式分解 (2),完全平方公式因式分解,吉林油田第二中学：翟臣,知识回顾,=（3x+4y+x-2y)(3x+4y-x+2y),= (4x+2y)(2x+6y),=5a3(x2-y2),=5a3(x+y)(x-y),由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.,知识背景,如:完全平方公式,现在我们把这 个公式反过来,很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”,(a+b)2=a2+2ab+b2, (ab)2=a22ab+b2.,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积

2、的倍，等于这两个数的和（或差）的平方.,a2+2ab+b2=(a+b)2 a22ab+b2=(ab)2,15.4.2 公式法(2),如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方,形如 的式子称为 完全平方式.,下列各多项式是不是完全平方式?若是,请找出相应的a和b.,辨明真相,解:原式=x2+2.x.6+62,a=x,b=6,解:原式=x2-2xy+y2,a=x,b=y,不是完全平方式,解:原式=-x2-2xy+y2,下列各式是不是完全平方式,是,是,否,是,否,辨明是非,完全平方式的特点：,1、

3、必须是三项式,2、首尾平方乘积二倍,3、平方项符号相同,议一议,一般地,利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b), 或(a2+2ab+b2)=(a+b)2 把一个多项式分解因式的方法,叫做公式法.公式中的a, b可以是数,也可以是整式.,知识链接,例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2.,分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 24x3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32,a2,2,a,b,b2,+,解：(1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32 =(4x+3

4、)2.,+,解：(2) x2+4xy4y2 = (x24xy+4y2) = x22x2y+(2y)2 = (x2y)2 .,例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2.,例6 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)212(a+b)+36.,分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.,解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 .,(2)(a+b)212(a+b)+36 =(a+b)22(a+b)6+62 =(a+b6)2.,将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式

5、化为完全平方式m212m+36.,练习,分解因式: (2x+y)2-6(2x+y)+9,解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32,=(2x+y)-32,=(2x+y-3)2,注意:本例把2x+y看 作是一个整体,或者 说设2x+y=a,这种数 学思想称为换元思想.,应用提高、拓展创新,1.把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？,（1） ； （2） ； （3） ； （4） （5） .,归纳： （1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.,2.证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除.,例7：分解因式： (1)

6、y24x(yx)； (2)(a2b2)24a2b2.,思路导引：(1)题将原式展开，再运用完全 平方公式即可分解；(2)题先运用平方差公式分 解因式，然后将各个因式运用完 全平方公式分解因式,解：(1)y24x(yx)y24xy4x2(y2x)2.,(2)(a2b2)24a2b2(a2b2)2(2ab)2,(a2b22ab)(a2b22ab)(ab)2(ab)2.,【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点 的三项式，,都可以运用完全平方公式分解因式,仔细做一做：分解因式: (x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).,创新应用: 已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)200

7、5的值.,综合拓展: 已知ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明ABC是等边三角形.,（1）x4-2x2+1,解：原式=（x2-1)2 =(x+1)(x-1)2 =(x+1)2(x-1)2,（2）(x2+y2)2-4x2y2,解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2,例8 分解因式,（3）3abx2+6abxy+3aby2,解：原式=3ab（x22xyy2） =3ab(x+y)2,（4）（m+n）2-4m（m+n）+4m2 解：原式=（m+n）2-22m（m

8、+n）+（2m)2 =（ mn2m ）2 =（mn）2,练习：分解因式： (1)x34x；,(2)36m2a9m2a236m2.,思路导引：(1)中有公因式 x，先提公因式， 剩下 x24 可用平方差公式分解(2)中有公因式 9m2，提出后剩下 a24a4， 可用完全平方公式进行分解,解：(1)x34xx(x24)x(x2)(x2),(2)36m2a9m2a236m29m2(a24a4) 9m2(a2)2.,【规律总结】因式分解一般按下列步骤进行：,(1)一提若有公因式，应先提取公因式,(2)二套即套用公式，如果各项没有公因 式，那么可以尝试运用公式法来分解若为二项 式，考虑用平方差公式；若为

9、,三项式，考虑用完全平方公式,例7：若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= ,分析:完全平方式是形如：a22ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).,9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 kxy=23x6y=36xy k=36,做一做,若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=_,k=3或k=-9,一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”,你知道其中的奥妙吗?,请运用完全平方公式把下列各式分解因式：,例题,在进行因式分解时，一般都遵循“一提、二看、 三变、四查”：

10、(1)一提：提公因式，如果多项式的各项含有公 因式，那么首先提取这个公因式，再进一步分解 因式 (2)二看：符合哪个公式，平方差公式； 完全平方公式 (3)三变：变换后分解因式 (4)四查：查漏补缺，分解因式完成后，还要 检查以下几项： 分解是否彻底；分解是否准确(通过整式的乘 法来检验结果)；分解因式的最后结果是不是只 含小括号,例7：若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= ,分析:完全平方式是形如：a22ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).,9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 kxy=23x6y=36xy k=36,做一做,若x2+(k

11、+3)x+9是完全平方式，则k=_,k=3或k=-9,1、把 分解因式得( ) A、 B、 2、把 分解因式得 （ ） A、 B、,B,A,练一练,3、如果100 x2+kxy+y2可以分解为（10 x-y)2,那么k的值是（ ） A、20 B、-20 C、10 D、-10 4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A、6 B、6 C、3 D、3,B,B,5、把 分解因式得（ ） A、 B、 C、 D、 6、计算 的结果是（ ） A、 1 B、-1 C、 2 D、-2,C,A,练习 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么 (1) a24a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b1 ; (4)a2+ab+b2.,3若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值,解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) a+b=4，a2+b2=10 原式=410=40,4已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值,解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0 (x+y-1)2=0即