天津历年高考试题——三角函数

1、.三角函数高考题汇总1、在ABC 中，内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ， b sin Aa cos(B) ，6（）求B 的大小；（）设 a2,c3 ，求 b和 sin( 2AB) 的值 .(2018 天津理 )2、在ABC 中，内角 A， B，C 所对的边分别为 a， b， c.已知 ab， a5， c6 ，3sin B.5()求 b 和 sin A 的值；()求 sin( 2 A) 的值.(2017 天津理 )43、已知函数f ( x)4 tan x sin(x) cos( x)323( )求 f(x)的定义域与最小正周期；（）讨论f ( x) 在区间 ,上的单调性.(20

2、16 天津理 )444、已知函数 fxsin 2 x sin 2x， x R6（）求f (x) 最小正周期；（）求f (x) 在区间 , 上的最大值和最小值 .(2015 天津理 )345、已知函数 fxcosx sinx+3 cos2 x3 , x R .34（）求f (x) 最小正周期；（）求f (x) 在闭区间 , 上的最大值和最小值 .(2014天津理 )446、已知函数 fx2 sin(2 x4) 6sin x cos x2cos 2 x1, x R .（）求f (x) 最小正周期；（）求f (x) 在区间 0, 上的最大值和最小值.(2013 天津理 )27、（ 2012文）将函数

3、 f ( x)sin x （其中0 ）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点(3 ,0) ，则的44最小值是.1（ B） 1C）5（A ）（D ） 2338、（ 2012文）在 ABC 中，内角 A ， B， C 所对的分别是2a,b ， c。已知 a=2.c=2 ,cosA= -.4（ I）求 sinC 和 b 的值；（ II）求 cos （ 2A+）的值。39、（ 012 理）设R ，则“=0 ”是“f (x)=cos( x+) (xR) 为偶函数”的（ A ）充分而不必要条件（）必要而不充分条件（）充分必要条件（）既不充分也不必要条件10 、（ 2012 理）（本小题满分13 分）已知

4、函数f (x)=sin (2 x+)+sin(2 x)+2cos2 x1， xR.33( )求函数f (x) 的最小正周期；（）求函数 f (x) 在区间 , 上的最大值和最小值 .4411 （ 2011文）已知函数f ( x)2sin(x), x R ，其中0,若 f ( x) 的最小正周期为6 ，且当x时， f (x) 取得最大值，则（）2A f (x) 在区间 2,0 上是增函数B f ( x) 在区间 3, 上是增函数C f ( x) 在区间 3,5 上是减函数D f (x) 在区间 4,6 上是减函数12. （ 2011文）在 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b

5、,c ，已知 BC , 2b3a.（）求 cosA 的值；（） cos(2 A) 的值413 （ 2011理）已知函数f (x)tan(2 x),4（）求f ( x) 的定义域与最小正周期；（II ）设0,，若 f () 2cos 2 , 求的大小4214 、（ 2010文） 右图是函数 yAsin（ x + ）（ xR ）在区间 -5上的图象，为了得到这个函数的图象，66.只要将 ysin x（ xR ）的图象上所有的点(A) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变32(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变31(C) 向左

6、平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变62(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变615 、（ 2010 文）ACcos B在ABC 中，。ABcosC（）证明B=C ：（）若 cos A =-13，求 sin4B的值。316 、（ 2010 理）（本小题满分12 分）已知函数f ( x)23 sin x cos x2cos 2 x1(xR)（）求函数f (x) 的最小正周期及在区间0,上的最大值和最小值；2（）若 f ( x0 )6 , x04,，求 cos 2x0的值。5217.（ 2009文） 已知函数 f ( x)sin(

7、wx)( x R, w0) 的最小正周期为，将 yf ( x) 的图像向左平移 |个4单位长度，所得图像关于y 轴对称，则的一个值是（）AB3CD842818. （ 2009 文）（本小题满分 12 分）在ABC 中， BC5, AC3,sin C2 sin A（）求 AB 的值。（）求 sin( 2 A) 的值。419.（2009 理）已知函数f ( x)sin(x)( xR,0) 的最小正周期为，为了得到函数g ( x)cosx 的4.图象，只要将 yf ( x) 的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度88C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度4420. （ 20

8、09 理）在 ABC 中， BC=5 ， AC=3 ，sinC=2sinA( ) 求 AB 的值；( ) 求 sin2 A的值421 （ 2008 文）把函数 ysin x( xR ) 的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横13坐标缩短到原来的）倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（2A y sin 2x ， x R B 3C ysin 2x ， x R D 3ysinx， xR26ysin2x， xR3222 （ 2008 文）已知函数f (x)2cosx2sinx cosx1(xR ， 0) 的最小正周期是（）求的值；（）求函数f ( x) 的最大值，并且

9、求使f (x) 取得最大值的x 的集合23 、（ 2008理）已知函数fx 是定义在R 上的偶函数，且在区间0,上是增函数 .令afsin 2, bfcos 5, cf tan 5，则777(A)bac(B)c ba(C)bca(D)a b c24 、（ 2008理）已知 cos x42 , x,.1024（）求 sin x 的值；（）求 sin 2x的值 .3.25 、（ 2007文）设函数 f ( x)sinx3(xR ) ，则 f ( x) （）A在区间27上是增函数B在区间，上是减函数3，62C在区间，上是增函数D 在区间5上是减函数，8436126 、（2007 文）（本小题满分12

10、 分）在 ABC 中，已知 AC2 ， BC3， cos A45（）求 sin B 的值；（）求 sin 2B的值627 （ 2006文、理 8 ）已知函数 f ( x)asin xb cos x （ a， b 为常数， a0，xR ）的图象关于直线 x对称，4则函数 yf ( 3 x) 是（）4(，0) 对称3偶函数且它的图象关于点B偶函数且它的图象关于点， 对称023奇函数且它的图象关于点(，0) 对称奇函数且它的图象关于点， 对称0228 、（ 2006文）已知 tancot5 和 sin(2， 求 cos2) 的值242429 、（2006理）如图，在ABC中，AC，32 BC1cos

11、C4（ 1）求 AB 的值；（ 2）求 sin 2A C 的值 .30 、（ 2000 文）函数 yx cos x 的部分图象是.31 、（ 2000 文）（本小题满分12 分）已知函数 y1 cos2 x3sin xcos x1， xR 。22（ I）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（ II ）该函数的图象可由ysin x xR的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【训练题】1.（ 15 北京理科）已知函数f ( x)2sin x cos x2 sin 2x 222( )求 f ( x) 的最小正周期；( )求 f ( x) 在区间 ，0 上的最小值【答案】（ 1） 2，（ 2）

12、 122【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为f ( x )A sin(x) m形式，再利用周期公式 T2x3x求出周期，第二步由于0, 则可求出4，借助正弦函数图44象 找出在这个范围内当x，即 x3时， f ( x ) 取得最小值为：1244.22试题解析： ( )f ( x )2 sin x cos x2 sin 2x21 sin x21cos x222222 sinx2 cos x2sin( x)222242(1) f ( x ) 的最小正周期为 T22；1(2)Qx0,3x，当 x, x34442时， f ( x ) 取得最小值为：44.212考点：

13、1. 三角函数式的恒等变形；2. 三角函数图像与性质.2.（ 15 北京文科）已知函数fxsin x23 sin2 x 2（）求fx 的最小正周期；（）求fx 在区间0, 2 上的最小值3【答案】（ 1） 2；（ 2）3 .考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.3.（ 15 年广东文科）已知tan21 求 tan的值；42 求sin 2的值2sin coscos 2sin1【答案】（ 1）3 ；（ 2） 1.考点： 1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.4.（ 15 年安徽文科）已知函数f (x)(sin

14、 xcos x) 2cos 2x（ 1）求 f ( x) 最小正周期；（ 2）求 f ( x) 在区间 0, 上的最大值和最小值.2【答案】（ 1）；（ 2）最大值为 12 ，最小值为0.考点： 1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.5.（ 15 年福建理科）已知函数f( x) 的图像是由函数g( x) = cos x 的图像经如下变换得到：先将g( x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移p 个单位长度 .2( )求函数 f( x) 的解析式，并求其图像的对称轴方程；( )已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 0,2 p

15、 ) 内有两个不同的解a , b （ 1)求实数 m 的取值范围；（ 2)证明： cos( a - b ) = 2m2 - 1.5【答案】 ( ) f( x) = 2sin x ， x = kp + p (k ? Z). ； ( )（ 1） ( -5,5) ；（2）详见解析2【解析】试题分析： ( )纵向伸缩或平移：g( x)kg (x) 或 g(x)g ( x)k ；横向伸缩或平移：g(x)g(x) （纵坐标不变，横坐标变为原来的1 倍）， g( x)g (xa) ( a0 时，向左平移 a 个单位； a0 时，向右平移a 个单位 )；( ).（ 1)由 ( )得 f( x) = 2sin

16、x ，则 f( x) + g( x) = 2sin x +cos x ，利用辅助角公式变形为f( x) + g( x) = 5 sin( x +j ) （其中 sin j =1,cos j = 2），方程 f( x) + g( x) = m 在 0,2 p ) 内有两个不同的解a , b ，等价于直线y m 和函数55y = 5 sin( x + j) 有 两 个 不 同 交 点 ， 数 形 结 合 求 实 数 m的 取 值 范 围 ；（ 2) 结 合 图 像 可 得 a +b =2( p - j ) 和3p2) ，进而利用诱导公式结合已知条件求解a +b =2(- j2试题解析：解法一： (

17、1)将 g( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y = 2cos x 的图像，再将y = 2cos x 的图像向右平移p个单位长度后得到y = 2cos( x - p ) 的图像，故 f( x) = 2sin x ，从而函数22f( x) = 2sin x 图像的对称轴方程为x = kp + p (k ? Z).2(2)1) f( x) + g( x) = 2sin x +cos x = 5(2sin x + 1 cos x)55= 5 sin( x +j) （其中 sin j= 1,cos j =2）55依题意， sin(x +j)= m0,2 p

18、 )a , bm1，故的取值范围是(- 5, 5) .在区间内有两个不同的解当且仅当m552)因为 a , b 是方程5 sin( x +j )=m 在区间 0,2 p ) 内有两个不同的解，所以 sin(a +j)=m ， sin( b +j)= m.55当 1 m5 时， a+b =2( p- j), a - b = p - 2( b +j );2当 - 5m1 时 ,a+ b =2( 3p- j),a - b = 3p - 2( b +j);2所以 cos( a - b ) = - cos2( b +j) = 2sin 2 ( b + j ) - 1 = 2( m ) 2 - 1 = 2

19、m2- 1.55解法二： (1)同解法一 .(2)1) 同解法一 .2) 因为 a , b 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间 0,2 p ) 内有两个不同的解，所以 sin(a +j)= m ， sin( b +j)=m.55当 1 m 5时， a+ b =2( p - j),即 a +j = p - ( b +j );2.当 -5m1 时 , a +b =2( 3p - j ),即 a +j = 3p - ( b +j);2所以 cos( a +j) = - cos(b +j)于是 cos( a -b ) = cos(a +j) - (b +j ) = cos(a +j)cos

20、( b +j) + sin(a +j)sin( b +j)= - cos2 ( b +j ) + sin(a +j)sin( b +j ) = - 1 - ( m ) 2 + ( m )2= 2m2- 1.555考点： 1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式6.（ 15 年福建文科）若 sin5，且为第四象限角，则 tan的值等于（）13A12125D5BC125512【答案】 D【解析】试题分析：由 sin5，且为第四象限角，则cos1sin212，则 tansin51313cos，故选 D12考点：同角三角函数基本关系式7.（ 15 年福建文科）已知函数f x103 sin

21、x cos x10cos 2 x 222（）求函数fx的最小正周期；（）将函数fx的图象向右平移个单位长度，再向下平移a （ a 0 ）个单位长度后得到函数g x 的图象，且6函数 g x 的最大值为2（）求函数 gx 的解析式；（）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 gx00 【答案】（） 2；（）（） g x10sin x 8 ；（）详见解析【解析】试题分析：（）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将fx 化为 f ( x) 10sinx25，然后利用 T6求 周 期 ；（ ） 由 函 数 f x 的 解 析 式 中 给 x 减， 再 将 所 得 解 析 式 整 体 减 去 a

22、 得 g x的 解 析 式 为6g x 10sin x5 a ，当 sin x 取 1 的时， g x 取最大值 105 a ，列方程求得 a13，从而 g x的解析式可求；.欲证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 gx00 ，可解不等式g x00 ，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数x0 试题解析：（ I）因为 f x103 sin x cosx10cos 2 x22253 sin x5cos x 510sinx65 所以函数 fx的最小正周期2（ II）（ i）将 fx 的图象向右平移个单位长度后得到 y 10sin x5 的

23、图象，再向下平移a （ a 0）个单位长度6后得到 gx10sin x5a 的图象又已知函数gx 的最大值为2，所以 105 a2 ，解得 a13 所以 gx10sin x 8（ ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 g x00 ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 10sin x080 ，即 sin x045由 43知，存在 00，使得 sin0452354由正弦函数的性质可知，当x0 ,0时，均有 sin x5因为 ysin x 的周期为 2 ，所以当 x2k0 ,2 k（ k）时，均有 sin x405因为对任意的整数k ， 2k02k02 01，34所以对任意的正整数k ，都存在正整数xk2k0 ,2 k0 ，使得 sin xk5亦即存在无穷多