基本不等式及实际应用.ppt

1、基本不等式的应用,5.4 基本不等式及其应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1.算术平均数与几何平均数 对于正数a,b，我们把 称为a,b的算术平均 数， 称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： . （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数 其 几何平均数.,a0,b0,a=b,不小于,3.几个重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR).(2) 4.利用基本不等式求最值 设x,y都是正数. （1）如果积xy是定值P，那么当 时，和x+y有 最小值 . （2）如果和x+y是定值S，那么当 时积xy有最 大值 . 即

2、“一正、二定、三相等”,这三 个条件缺一不可.,2,x=y,x=y,思维活动：,（5）求函数 的最大值_,（2）已知 且 求 的最大值_,10,（4）求函数 的最小值_,4,0,例1：用篱笆围城一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是多少？,例1：用篱笆围城一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是多少？,且,得,时取等号，故长、宽均为,时，所用的篱笆最短。,解决实际问题的步骤：,（1）正确理解题意，设变量时，一般可把欲求最大（小）值的变量视为函数； （2）建立有关函数关系（目标函数），把实际问题

3、转化为求目标函数的最大（小）值问题； （3）在允许范围内，求出最大（小）值； （4）根据实际问题写出答案。,例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：（1）设矩形的长、宽各为,，由题意可得,且,。矩形的面积为,由,得,，当且仅当,时等号成立。,1：一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？,变式练习：（1）若墙的长度为15米呢？ （2）若墙

4、的长度为12米呢？,练习,设矩形的长为x m,宽为y m菜园的面积为s 则,由基本不等式的性质，可得,例3 某工厂要建造长方形无盖贮水池，其容积为4800 ，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？,解：设底面的长为为x m,宽为y m，水池总造价为z元根据题意，有,由容积为4800 ，可得,即,当x=y,即x=y=40时，等号成立,所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600,当x=y,即x=y=40时，等号成立,因此,由基本不等式与不等式的性质，可得,练习2 做一个体积为3

5、2 ，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？,练习2 做一个体积为32 ，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？,设底面的长与宽分别为a m,b m. 因为体积等于32 高为c=2m所以底面积为16 ，,即,即,即,即,即,解,所以，用纸面积是,例4、李老师花10万元购买了一辆家用汽车，如果每年使用的保险费，养路消化酶，汽油消化酶约为0.9万元，年维修消化酶第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，则这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？,解：设使用 年平均费用最少，汽车的平均费用为 万元。则： 汽车使用 年总的维修费用是 万元。 且 整理得： 当且仅当

6、，即 10时， 3。 答：汽车使用10年平均费用最少。,【例5】（14分）某养殖厂需定期购买饲料，已知 该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格 为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元. （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每 天支付的总费用最少？ （2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料 不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原 价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条 件？请说明理由.,解题示范 解 （1）设该厂应隔x(xN+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1. 饲料的保管与其他费用每天比前一天少 2000.03

7、=6(元), x天饲料的保管与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+6=3x2-3x(元). 2分 从而有y1= (3x2-3x+300)+2001.8 = +3x+357417. 4分 当且仅当 =3x，即x=10时，y1有最小值. 即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 6分,（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则 y2= (3x2-3x+300)+2001.80.85 = +3x+303(x25). 10分 y2=- +3, 当x25时，y20，即函数y2在25,+）上是增函数， 当x=25时，y2取得最小值为390. 而390417. 该厂可以接受此优惠条件. 14分,情境二：运输,进货结束后装车运回。所购大米需装6辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？,兴 趣 是 最 好 的 老 师,当且仅当 即v=10米/秒，,答：每两辆车均相距 20 米，且速度为10米/秒， 所用时间最少为20秒。,解：