第五章5分析力学§5.5+哈密顿正则方程.ppt

1、第五章 分析力学,拉格朗日,哈密顿,导读,勒襄特变换,正则变量 相空间 相点,哈密顿正则方程,守恒定理,5.5 哈密顿正则方程,1 勒襄特变换,在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换, 叫勒襄特变换. (二阶变为一阶，L-H),定义广义动量,则由拉氏方程, 得,如果把广义动量和广义坐标作为独立变量, 则,从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数,两变量勒襄特变换,x,y,u,v,勒襄特变换: 新函数(如g)= 不要的变量(如x)*原函数对该变量的偏导(如 ) - 原来函数(如f),当认为L是广义坐标, 广义速度和,考虑广义动量的定义, 得,2 正则方程,引入新函数 H,

2、 使,可得,时间的函数时,H 作为广义动量, 广义坐标和时间的函数, 又有,由于动量, 坐标和时间都是独立的, 所以,哈密顿正则方程,H 叫哈密顿函数. 相应的广义动量, 坐标叫做正则变量, 它们组成的2s维空间叫相空间, 一组数值对应相空间中一点, 叫相点.(正则方程共2s个方程由它得出的动力学方程是一阶常微分方程组),哈密顿量 H=Ep+Ek,动量定义,牛顿第二定律,p 广义动量 x广义位移,一维弹簧振子的运动,因为,3 守恒定理,只要H不显含时间, 它就是守恒的, 即不随时间变化.,（1） 能量守恒,H 中不显含t 时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情况来讨论。,i）稳定约束,TT2,H

3、 = T V = h = const,对于完整的保守力学体系来说，若H不显含t, 而且体系受 稳定约束时, 体系的H是能量积分, 这时体系的机械能守恒。,Ii）不稳定约束,H = T2 T0 V= h = const,可见，对于完整的保守力学体系来说，若 H 中不显含 t，而且体系受不稳定约束时，体系的 H 是广义能量积分。,（2）循环积分,若 H =H（q1，qs；p1，ps；t）中不显含某个 pi 或某个 qi，即 pi ，qi 为循环坐标，则由哈密顿方程立即得到,qi=const,pi =const,求解正则方程的步骤：,（1）分析力学系统的自由度数，找出广义坐标. （2）用广义坐标 和

4、广义速度 表出系统的动能 T 和势 V 能，进而求出拉格朗日函数 (L=T-V). （3）利用勒襄特变换，求出广义动量 , 反解出 ，消去H中的 ， 使哈密顿函数表达为 （4）列出正则方程。 （5）求解正则方程。,例1：写出粒子在中心势场V=-/r中哈密顿函数和正则方程。,解：自由度是2，广义坐标r、。,广义动量：,中心势场粒子的能量守恒，因此粒子的哈密顿函数为：,可以解得正则方程：,该题还可解得,粒子的径向运动方程 角动量守恒定律,例2: 分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个 自由质点在势场V( )中的哈密顿函数H。,解: 体系为质点，自由度数 s3,（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y

5、，z为广义坐标， 则拉格朗日函数 L 为,（2）在柱面坐标系中,V（r，）,（3）在球面坐标系中,V（r，）,例3 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子的电量为e，原子核带电为Ze，Z为原子序数。, 是循环坐标:,p = C,可见电子的运动与 无关，可令 ，则 。,作业：建立单摆的动力学方程（用正则方程）,在拉格朗日动力学中, 从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即拉格朗日方程. 在哈密顿动力学中, 必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数, 才可写出动力学方程即哈密顿正则方程,从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一条路径达到拉格朗日方程, 所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便

6、. 哈密顿动力学的优点之一是便于量子化.另一个优点在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采用的变量广义坐标和广义动量并不对等, 只能对广义坐标进行变换, 而广义速度也随之而变. 哈密顿动力学采用的变量坐标和动量是完全对等的,不仅可以对广义坐标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换, 这个到下面正则变换时进一步分析.,小 结,哈密顿量,哈密顿正则方程,循环积分,若 H =H（q1，qs；p1，ps；t）中不显含某个pi 或某个qi，,qi=const,pi =const,哈密顿介绍,哈密顿，W.R.William Rowan Hamilton (18051865) 英国数学家、物理学家、力学家。1

7、805年8月4日生于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林。10岁入大学，在大学期间学过12种语言。12岁时，读完拉丁文欧几里得几何原本,13岁开始研究I.牛顿和P.-S.拉普拉斯的著作，22岁被聘为都柏林大学天文学教授，兼任学校天文台台长。,哈密顿发展了分析力学。1834年，建立了著名的哈密顿原理，使各种动力学定律都可以从一个变分式推出。根据这一原理，力学与几何光学有相似之处。后来发现，这一原理又可推广到物理学的许多领域，如电磁学等。他把广义坐标和广义动量都作为独立变量来处理动力学方程获得成功，这种方程现称哈密顿正则方程。他还建立了一个与能量有密切联系的哈密顿函数。他解释了锥形折射现象，对现代矢量分析方法的建立作出了贡献。他还创立了四元数。这些成果在现代物理学中都有广泛应用。,哈密顿在数学上的成就，以微分方程和泛函分析两个领域最为突出，如哈密顿算符、哈密顿雅可比方程等；此外，他对波形曲面的研究，对伽罗瓦理论的补充以及在数学中引入结合律等也都是他的功绩。哈密顿提出变分原理和正则方程的两篇长论文的题名是论动力学中的一个普遍方法 (On a General Method in