第五章 乃氏稳定性分析.ppt

1、1,第五章 乃氏稳定性分析,2,主 要 内 容 幅角定理 奈魁斯特稳定判据 奈氏稳定判据的应用 在伯德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性,奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。,奈魁斯特稳定判据是(H.Nyquist)于1932年提出，于1940年后得到广泛应用。,5.4奈魁斯特(Nyquist)稳定性判据,3,奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用,曲线，进而分析闭环系统的稳定性。,奈魁斯特稳定判据在工程上获得了广泛的应

2、用：,1）系统的某些环节的传递函数无法用分析法列写时，可用实验方法获得这些环节的频率特性；整个系统的开环频率特性也可用实验获得，这样就可分析闭环后的稳定性。,2）奈魁斯特稳定判据还能指出系统的稳定储备，即系统的相对稳定性以及进一步提高和改善系统动态性能指标的途径。,4,奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)原理,图5-4-1 闭环系统结构图,闭环传递函数,为了保证系统稳定，特征方程,的全部根，都必须位于左半s平面。,虽然开环传递函数 的极点或零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。,系统稳定的充要条件,5,奈奎斯

3、特稳定判据正是将开环频率响应,与闭环特征方程,在右半s平面内极点数联系起来的判据，这种方法无须求出闭环极点，从而得到广泛应用。,奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映射基础上的 。,6,5.4.1 预备知识,可以证明，对于S平面上给定的一条不通过 任何一个奇点的连续封闭曲线，在 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。,平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起来。,例如：考虑下列开环传递函数：,7,其特征方程为：,函数,在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，,平面上必有一点与之对应,，则,为：

4、,这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在,平面上就必有一个封闭曲线与之对应。,例如,8,图5-4-2 s平面上的图形在 平面上的映射,上半s平面内的直线,和,在,平面上的变换,9,0,0,1）当s平面上的图形包围两个,的极点时，-1和-2,的轨迹将反时针方向包围,平面上原点两次,10,0,0,2） s平面上的图形包围包围一个零点， 相应的的轨迹将顺时针包围原点一次，,3）封闭曲线既不包围零点又不包围极点，,的轨迹将永远,不会包围 平面上的原点,11,A,B,F,E,D,C,A1,B1,F1,E1,D1,C1,4）当s平面上的图形包围,的两个极点和两个零点，,的轨迹将不包

5、围原点。,相应的,12,5）如果在s平面上曲线包围 k个零点和k个极点,相应的封闭曲线不包围,上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳定判据正是建立在映射定理的基础上。,(k=0,1,2)，即包围的零点数与极点数相同，则在,平面上，,平面上，,的原点。,13,5.4.2映射定理,设,为两个s的多项式之比，并设P为,的极点数，,的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，,的任何极点和零点。于是，s平面上的这一,平面上，也是一条封闭曲线。,平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数,R等于Z-P。,且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不,在,Z为,封闭曲线映射到,通过,当变量s顺时针通过封

6、闭曲线时,14,若R为正数，表示,的零点数超过了极点数；,的极点数超过了零点数。,若R为负数，表示,开环传递函数与闭环传递函数的关系：,开环传递函数,的含义：,15,很容易确定,的极点数（P ）。因此，如果，,的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数,在控制系统应用中，由,很容易确定。而,零点正是闭环系统的极点。,闭环传递函数,16,5.4.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用,为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个,轴,到,该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了,)和

7、右半s平面上半径为无穷大的,的所有正实部的极点和零点。,(从,半圆轨迹构成。,17,对原点的包围情况可用,对-1+j0包围情况同样说明。,说明：,则在右半s平面不存在闭环极点，因而系统是稳定的。,如果,在右半s平面不存在零点，,18,图5-4-3 s平面内的封闭曲线,曲线对原点的包围，恰等于,轨迹对-1+j0点的包围,19,这一判据可表示为：,函数,在右半s平面内的零点数,对-1+j0点顺时针包围的次数,函数,如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须,或,，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。,5.4.4关于奈奎斯特稳定判据的几点说明,式中,在右半s平面内的极点数,如果函数,在右半s平

8、面内无任何极点，则,因此，为了保证系统稳定，,的轨迹必须不包围-1+j0点。,20,5.4.5,含有位于原点上极点和/或零点的特殊情况,变量,沿着,轴从,运动到,，从,到,，变量,沿着半径为,）的半圆运动，再沿着正,轴从,运动到,（,运动时,，最后顺时针沿无穷大半圆运动。,21,对于包含因子,的开环传递函数,，当变量s沿半径为,(,)的半圆运动时，,的图形中将有,个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。,当s平面上的,时，,的相角,例如，考虑开环传递函数：,22,例5-3 设闭环系统的开环传递函数为：,的轨迹如图5-41所示。,在右半s平面内没有任何极点，即P=0，并且,的轨迹不包围,，所以

9、对于任何的K值，该系统都是稳定的。,Z=R+P=0+0=0,，即R=0,23,例5-3中的,极坐标图,24,例5-4 设系统具有下列开环传递函数：,试确定以下两种情况下，闭环系统的稳定性：增益K较小 增益K较大。,小K值时系统是稳定的,大K值时是不稳定的,25,例5-5 设开环传递函数为：,该系统的闭环稳定性取决于,和,相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。,的轨迹不包围,系统是稳定的,的轨迹通过,这表明闭环极点位于虚轴上,1）,2）,点，,26,的轨迹顺时针方向包围,点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。,3）,27,例5-6 设一个系统具有下列,试

10、确定该闭环系统的稳定性。,开环传递函数：,在右半s平面内有一个极点,)，因此,图5-44中的奈奎斯特图表明，,轨迹顺时针方向包围,点一次，,因此,在右半s平面，因此系统是不稳定的。,(,。这表明闭环系统有两个极点,28,例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数： 试确定该闭环系统的稳定性。,极坐标图,在右半s平面内有一个极点,)，因此。开环系统是不稳定的。,轨迹逆时针方向包围,点一次，因此，,因为,，这说明,这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。,(,没有零点位于右半s平面内，闭环系统闭环系统是稳定的。,29,解：开环系统奈氏图是一个半径为 ，圆心在 的圆。显然，k=1时，包围(-1,j0)点，k1时不包围(-1,j0)点。,由图中看出：当k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，R=-1，而 ，则 闭环系统是稳