山东省烟台市2020年高考数学一模试卷理科

1、2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1若集合a=1，0，1，2，3，b=y|y=2x1，xa，集合c=ab，则c的真子集个数为（）a3b4c7d82若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|3的解集为（）ax|x1bx|x2cx|x1或x2dx|x2或x13“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）log2（1mx）为奇函数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4用0，1，2，299给300名高三学生编号，并用系统抽

2、样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为（）a20b28c40d485若，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列结论错误的是（）a如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等b如果mn，m，n，那么c如果，m，那么md如果m，n，那么mn6一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，则该几何体的体积为（）abcd7若变量x，y满足则的最小值为（）abcd8已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0），其导函数的图象f（x）如图所示，则的值为（）ab2cd49执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）

3、a4b6c8d1210已知，若不等式f（x1）f（x）对一切xr恒成立，则实a数的最大值为（）ab1cd1二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分11若，则展开式中的常数项为12已知x，y均为正实数，若=（x，y1），=（2，1），且，则的最小值是13过双曲线的右支上一点p分别向圆c1：（x+3）2+y2=4和圆c2：（x3）2+y2=1作切线，切点分别为a，b，则|pa|2|pb|2的最小值为14从曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为15已知f（x）是定义在r上的函数，f（x）是f（x）的导函数给出如下四个结论：若，且f（0）=e，则

4、函数xf（x）有极小值0；若xf（x）+2f（x）0，则4f（2n+1）f（2n），nn*；若f（x）f（x）0，则f（2017）ef（2016）；若f（x）+f（x）0，且f（0）=1，则不等式f（x）ex的解集为（0，+）所有正确结论的序号是三、解答题：本大题共6个小题，共75分16（12分）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，且（1）将函数的图象向右平移角a个单位可得到函数g（x）=cos2x的图象，求的值；（2）若abc的外接圆半径为1，求abc面积的最大值17（12分）如图所示的三棱柱中，侧面abb1a1为边长等于2的菱形，且aa1b1=60，abc为等边三角形，面ab

5、c面abb1a1（1）求证：a1b1ac1；（2）求侧面a1acc1和侧面bcc1b1所成的二面角的余弦值18（12分）己知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，满足；数列bn满足（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设数列anbn的前n项和为tn，当tn2017时，求正整数n的最小值19（12分）2017年由央视举办的一档文化益智节目中国诗词大会深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在10，70的观众，得到如下频率分布直方图若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，

6、记他们的年龄分别为x，y，若|xy|10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概p；（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数的分布列及期望20（13分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax2（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=x2+ax2也相切，求实数a的值；（2）求函数f（x）在上的最小值；（3）证明：对任意的x（0，+），都有成立21（14分）如图，已知椭圆的左焦点f为抛物线y2=4x的焦点，过点f做x轴的垂线交椭圆于a，b两点，且|ab|=3（1）求椭圆c的标准方程：（2）若m

7、，n为椭圆上异于点a的两点，且满足，问直线mn的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1若集合a=1，0，1，2，3，b=y|y=2x1，xa，集合c=ab，则c的真子集个数为（）a3b4c7d8【考点】子集与真子集【分析】先求出集合b，从而求出集合c=ab，由此能求出c的真子集个数【解答】解：集合a=1，0，1，2，3，b=y|y=2x1，xa=3，1，1，3，5，集合c=ab=1，1，3，c的真子集个数为231=

8、7故选：c【点评】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|3的解集为（）ax|x1bx|x2cx|x1或x2dx|x2或x1【考点】复数代数形式的乘除运算；绝对值不等式的解法【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值，再由绝对值的几何意义求得不等式|x+a|+|x|3的解集【解答】解： =为纯虚数，解得a=1|x+a|+|x|3|x+1|+|x|3，由绝对值的几何意义可得：x2或x1不等式|x+a|+|x|3的解集为x|x2或x1故选：d【点评】本题考查复数代

9、数形式的乘除运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础的计算题3“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）log2（1mx）为奇函数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用函数的奇偶性的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出【解答】解：函数f（x）=log2（1+mx）log2（1mx）为奇函数，则f（x）+f（x）=log2（1mx）log2（1+mx）+log2（1+mx）log2（1mx）=0，m，x满足：可得“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）log2（1mx）为奇函数”，反之不成立，

10、例如取m=1因此“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）log2（1mx）为奇函数”的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4用0，1，2，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为（）a20b28c40d48【考点】系统抽样方法【分析】根据已知计算出组距，可得答案【解答】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本，组距是20，第一组抽取的学生的编号为8，第三组抽取的学生编号为8+40=48故选：d【点评】本题考

11、查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念5若，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列结论错误的是（）a如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等b如果mn，m，n，那么c如果，m，那么md如果m，n，那么mn【考点】平面的基本性质及推论【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案【解答】解：a、如果mn，那么m，n与所成的角和m，n与所成的角均相等，故正确；b、如果mn，m，n，不能得出，故错误；c、如果，m，那么m与无公共点，则m故正确；d、如果n，则存在直线l，使nl，由m，可得ml，那么mn故正确，故选

12、b【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档6一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，则该几何体的体积为（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图得出几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱，结合图中数据求出体积【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱；且正三棱柱的底面边长为4，高也为4；所以组合体的体积为v=v三棱柱v圆柱=4244=16故选：a【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积问题，是基础题目7若变量x，y满足则的最小值为（）abcd【考点】简单线性规划【分析】由约束条

13、件作出可行域，再由=的几何意义，即可行域内的动点与定点p（）连线斜率倒数的2倍求解【解答】解：由约束条件作出可行域如图，b（0，2），a（1，0），=的几何意义为可行域内的动点与定点p（）连线斜率倒数的2倍，kpa=，kpb=的最小值为2故选：a【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题8已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，0），其导函数的图象f（x）如图所示，则的值为（）ab2cd4【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】求出函数的导函数，利用导函数的周期，求出，利用振幅求出a，利用导函数经过（，2），求出，得到函数

14、的解析式，即可得解【解答】解：函数的导函数f（x）=acos（x+），由图象可知f（x）的周期为4所以=又因为a=2所以a=4函数经过（，2），所以2=2cos（+），0，所以+=，即=所以f（x）=4sin（x+）所以f（）=4sin（+）=4故选：d【点评】本题主要考查函数的导数与函数的图象的关系，考查计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题9执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）a4b6c8d12【考点】程序框图【分析】算法的功能是求s=+的值，利用等比数列的前n项和公式求得满足条件s的最小的n值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求s=+的值，s=+=n7，跳出循环体的n值为8，输

15、出n=8 故选c【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是关键10已知，若不等式f（x1）f（x）对一切xr恒成立，则实a数的最大值为（）ab1cd1【考点】函数恒成立问题【分析】作出函数f（x）的图象，利用函数f（x1）的图象高于f（x）的图象，进行求解即可【解答】解：作出函数f（x）和f（x1）的图象，当a0时，f（x1）f（x）对一切xr不恒成立（如图1）当a0时，f（x1）过定点（1，0）（如图2），当x0时，f（x）=ax2+x的两个零点为x=0和x=，要使不等式f（x1）f（x）对一切xr恒成立，则只需要1，得a1，即a的最大值为1，故选：b【点评】本题主

16、要考查不等式恒成立问题，利用函数图象平移关系，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分11若，则展开式中的常数项为160【考点】二项式系数的性质【分析】根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值【解答】解：若，则2lnx=2（lneln1）=2，即a=2，展开式的通项公式为：tr+1=x6r=（2）rx62r，令62r=0，解得r=3；展开式的常数项为：t4=（2）3=160故答案为：160【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目12已知x，y均为正实数，若=（x，y1），=（2，1），且，则

17、的最小值是8【考点】基本不等式【分析】，考点=0，即2x+y=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：， =2x+y1=0，即2x+y=1又x，y均为正实数，则=（2x+y）=4+4+2=8，当且仅当y=2x=时取等号故答案为：8【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13过双曲线的右支上一点p分别向圆c1：（x+3）2+y2=4和圆c2：（x3）2+y2=1作切线，切点分别为a，b，则|pa|2|pb|2的最小值为9【考点】双曲线的简单性质【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2=1的左右焦点为f1（3，0

18、），f2（3，0），连接pf1，pf2，f1a，f2b，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值【解答】9解：圆c1：（x+3）2+y2=4的圆心为（3，0），半径为r1=2；圆c2：（x3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为r2=1，设双曲线x2=1的左右焦点为f1（4，0），f2（4，0），连接pf1，pf2，f1a，f2b，可得|pa|2|pb|2=（|pf1|2r12）（|pf2|2r22）=（|pf1|24）（|pf2|21）=|pf1|2|pf2|23=（|pf1|pf2|）（|pf1|+|pf2|）3=2a（|pf1|+|pf2|3=

19、2（|pf1|+|pf2|）322c3=263=9当且仅当p为右顶点时，取得等号，即最小值9故答案为：9【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题14从曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为【考点】几何概型【分析】分别按x0，y0和x0，y0和x0，y0和x0，y0讨论，这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，即可得出结论【解答】解：分别按x0，y0和x0，y0和x0，y0和x0，y0讨论，这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，当x0，y0，原方程可化为：

20、（x）2+（y）2=，它表示圆心在（，），半径为的圆在第一象限的部分当x0，y0，原方程可化为：（x）2+（y+）2=，它表示圆心在（，），半径为的圆在第四象限的部分当x0，y0，原方程可化为：（x+）2+（y）2=，它表示圆心在（，），半径为的圆在第二象限的部分当x0，y0，原方程可化为：（x+）2+（y+）2=，它表示圆心在（，），半径为的圆在第三象限的部分综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径所以总面积s=（）2+（）22=2+，故该点在单位圆中的概率p=，故答案为：【点评】本题考查圆的一般方程，

21、考查面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题15已知f（x）是定义在r上的函数，f（x）是f（x）的导函数给出如下四个结论：若，且f（0）=e，则函数xf（x）有极小值0；若xf（x）+2f（x）0，则4f（2n+1）f（2n），nn*；若f（x）f（x）0，则f（2017）ef（2016）；若f（x）+f（x）0，且f（0）=1，则不等式f（x）ex的解集为（0，+）所有正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用；导数的运算【分析】由各个选项中的条件分别构造函数g（x），由求导公式和法则求出g（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性

22、，由条件和函数的单调性进行判断即可【解答】解：、设g（x）=xf（x），则g（x）=f（x）+xf（x），则函数g（x）在（，0）递减，在（0，+）上递增，函数g（x）的极小值是g（0）=0，正确；、设g（x）=x2f（x），则g（x）=2xf（x）+x2f（x）=xxf（x）+2f（x），xf（x）+2f（x）0，则函数g（x）在（，0）递减，在（0，+）上递增，2n+12n0，g（2n+1）g（2n），即4f（2n+1）f（2n），不正确；、设g（x）=，则g（x）=，f（x）f（x）0，g（x）0，即g（x）在r上是增函数，g（2017）g（2016），则，即f（2017）ef（2016

23、），正确；、g（x）=exf（x），则g（x）=exf（x）+exf（x）=exf（x）+f（x），对任意xr满足f（x）+f（x）0，ex0，对任意xr满足g（x）0，则函数g（x）在r上是增函数，f（0）=1，且f（x）ex的化为g（x）1=g（0），即x1，则不等式的解集是（，1），不正确；故答案为：【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的应用，考查化简、变形能力三、解答题：本大题共6个小题，共75分16（12分）（2017烟台一模）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，且（1）将函数的图象向右平移角a个单位可得到函数g（x）=cos2x的图象，

24、求的值；（2）若abc的外接圆半径为1，求abc面积的最大值【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；正弦定理【分析】（1）根据利用正弦定理求解出角a大小，根据三角函数图象的平移变换即可求解的值（2）根据abc的外接圆半径为1，利用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式可得abc面积的最大值【解答】解：由和正弦定理可得：，整理得：sinacosb=2sinccosasinbcosa，即sinc=2sinccosa，sinc0，cosa=，0a，将函数的图象向右平移角a个单位，可得：sin2（x）+由题意可得：sin2（x）+=cos2x，即sin（2x+）=sin（2x），=+2k（kz），=+

25、2k（kz），0，=（2）根据abc的外接圆半径为1，a=，2rsina=a，即a=由余弦定理：a2=b2+c22bccosa，可得：3=b2+c2bc，即3+bc2bc，可得bc3，当且仅当b=c是取等号abc面积的最大值【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换，正弦定理和余弦定理，基本不等式等知识点的灵活运用和计算能力17（12分）（2017烟台一模）如图所示的三棱柱中，侧面abb1a1为边长等于2的菱形，且aa1b1=60，abc为等边三角形，面abc面abb1a1（1）求证：a1b1ac1；（2）求侧面a1acc1和侧面bcc1b1所成的二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间

26、中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）取a1b1的中点o，连结oa，oc1，只证a1b1面aoc1即可得到a1b1ac1（2）先证明aoac1再以o为坐标原点，oa1，oa，oc1方向为x、y、z轴建立坐标系oxyz 求出平面a1acc1、平面bcac1b1的法向量即可【解答】解：（1）证明：取a1b1的中点o，连结oa，oc1，因为，abc为等边三角形，c1oa1b1，在a1ao中，a1a=2，a1o=1，aa1b1=60，可得oaoa1，a1b1c1o，a1b1oa，oaoc1=o，面aoc1而ac1面aoc1，a1b1ac1（2）面a1b1c1面abb1a1，面a1b1c1面abb1a

27、1=b1a1，且c1oa1b1，c1o面abb1a1，oa面abb1a1aoac1由（1）知oaoa1，oa1oc1，故可以o为坐标原点，oa1，oa，oc1方向为x、y、z轴建立坐标系oxyza1（1，0，0），a（0，0），c1（0，0，），b1（1，0，0），c（1，设为平面a1acc1的法向量，则，可得设为平面bcac1b1的法向量，则，可得，侧面a1acc1和侧面bcc1b1所成的二面角的余弦值为【点评】本题考查了线线垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题18（12分）（2017烟台一模）己知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，满足；数列bn满足（1）求数列an，bn的通项公式；

28、（2）设数列anbn的前n项和为tn，当tn2017时，求正整数n的最小值【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由（n2），可得（n3），两式相减得anan1=1（n3）再由a2a1=1，可得数列an为等差数列，则数列an的通项公式可求，再由，得（n2）两式相比可得：（n2），验证首项后得；（2）由（1）可知，然后利用错位相减法求得tn，结合单调性及t8=35862017，t7=15382017可得正整数n的最小值【解答】解：（1）（n2），（n3），两式相减得：，则anan1=1（n3）又，a1=1，a20，a2=2显然a2a1=1anan1=1（n2）数列an为等差数列，又a1=1，

29、an=n，（n2）两式相比可得：（n2），当n=1时，b1=2满足题意，；（2）由（1）可知，两式相减可得： =2+2n+1n2n+1故0，tn随n的最大而最大，而t8=35862017，t7=15382017正整数n的最小值为8【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题19（12分）（2017烟台一模）2017年由央视举办的一档文化益智节目中国诗词大会深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在10，70的观众，得到如下频率分布直方图若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的

30、平均数；（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别为x，y，若|xy|10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概p；（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数的分布列及期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.00510，x+y=1（0.005+0.015+0.02+0.035）10，联立解得：x，y从而得出直方图（2）由题意第四组人数为4=12可得p=（3）由题意可得：样本总人数=80

31、，年龄不低于40岁的人数为：80（0.05+0.10+0.15）=24故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为=x的可能取值为0，1，2，3p（=k）=，即可得出【解答】解：（1）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.00510，x+y=1（0.005+0.015+0.02+0.035）10，联立解得：x=0.15，y=0.10从而得出直方图， =150.2+250.15+350.35+450.15+550.1+650.05=34.5（2）由题意第四组人数为4=12p=（3）由题意可得：样本总人数=80，年龄不低于40岁的人数为：80（0.05+0.10+0.15）=24故在样

32、本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为=x的可能取值为0，1，2，3p（=k）=，可得p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=可得的分布列：0123pb，则e=3=【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的性质及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（13分）（2017烟台一模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax2（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=x2+ax2也相切，求实数a的值；（2）求函数f（x）在上的最小值；（3）证明：对任意的x（0，+），都有成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可；（3）设m（x）=，（x（0，+），求出m（x）的导数，求出m（x）的最大值，得到f（x）minm（x）ma