空间解析几何最新版本

1、数量关系 ,第七章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,.,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量及其线性运算,第七章,.,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的

2、向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 向量的减法,三角不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,3. 向量与数的

3、乘法, 是一个数 ,规定 :,可见,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实数), 取 ,且,再证数 的唯一性 .,则,取正号, 反向时取负号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,则,例1. 设 M 为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回

4、结束,.,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,坐标轴 :,坐标面 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3 , 得,代入得

5、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例3. 已知两点,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例4. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例5. 在 z 轴上求

6、与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,离的点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,例6. 已知两点,和,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,机动

7、目录 上页 下页 返回 结束,.,方向余弦的性质:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例7. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,.,备用题,解: 因,1. 设,求向量,在 x 轴上的投影及在 y,轴上的分向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的

8、投影为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2.,设,求以向量,行四边形的对角线的长度 .,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数量积 向量积 *混合积,第七章,.,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,3. 运算律,(1) 交换律,(2)

9、结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例1. 证明三角形余弦定理,证:,则,如图 . 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度,例3. 设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,机动

10、目录 上页 下页 返回 结束,.,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,(证明略),证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,4. 向量积的坐标表示式,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,向量积的行列式计算法,( 行列式计算见 P339P342 ),

11、机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例4. 已知三点,角形 ABC 的面积,解: 如图所示,求三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,一点 M 的线速度,例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上,的表示式 .,解: 在轴 l 上引进一个角速度向量,使,其,在 l 上任取一点 O,作,它与,则,点 M离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为 ,方向与旋转方向符合右手法则 ,向径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,*三、向量的混合积,1. 定义,已知三向量,称数量,混合积 .,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,机动 目录 上页 下页 返回

12、 结束,.,2. 混合积的坐标表示,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,3. 性质,(1) 三个非零向量,共面的充要条件是,(2) 轮换对称性 :,(可用三阶行列式推出),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例6. 已知一四面体的顶点,4 ) , 求该四面体体积 .,解: 已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例7. 证明四点,共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四点共面 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,机动 目录 上页 下页 返回 结

13、束,.,混合积:,2. 向量关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,思考与练习,1. 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,证: 由三角形面积公式,所以,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,作业 P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,.,备用题,1. 已知向量,的夹角,且,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,在顶点为,三角形中,求 AC 边上的高 BD .,解：,三角形 ABC 的面积为,2.,而,故有,

14、机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面及其方程,第七章,.,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,定义1.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则

15、F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,故所求方程为,例1. 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如

16、下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,定义2. 一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方

17、程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切

18、直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面

19、上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕

20、,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,( p , q 同号),(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,( p , q 同号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双曲线:,.,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相交直线:,双

21、曲线:,.,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,图形,.,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到, 见书 P316 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,机动 目录

22、 上页 下页 返回 结束,.,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1. 指出下列方程的图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. P318 题3 , 10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题10 答案:,在 xoy 面上,.,第七章,一、空间曲线的一般方程,二

23、、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间曲线及其方程,.,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:,称它为空间曲线的 参数方程.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度, 称为螺距 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例1. 将下列曲线化为参数方程

24、表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例2. 求空间曲线 :,绕 z 轴旋转,时的旋转曲面方程 .,解:,点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这就是旋转曲面满足的参数方程 .,.,例如, 直线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和 , 得旋转曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为,又如, xoz 面上的半圆周,说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如,机动 目录 上页 下页 返

25、回 结束,.,三、空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线 C 的一般方程为,消去 z 得投影柱面,则C 在xoy 面上的投影曲线 C为,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例如,在xoy 面上的投影曲线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线

26、,(如, 圆柱螺线),机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,P324 题 1，2，7（展示空间图形）,.,P324 题1,(2),(1),答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,P324 题2 (1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,P324 题2(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,P325 题 7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,备用题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy

27、面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,第五节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程,第七章,.,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,此平面的三点式方程也可写成,一般情况 :,过三点,的平面方

28、程为,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D

29、 = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(P327 例4 ,

30、自己练习),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,特别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,因此有,例4. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,外一点,求,例5. 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P

31、0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例6.,解: 设球心为,求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程.,从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,思考与练习,P330 题4 , 5, 8,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P330 2 , 6 , 7

32、 , 9,.,备用题,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,第六节,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间直线及其方程,第七章,.,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 对称式方程,故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,

33、和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,3. 参数式方程,设,得参数式方程 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,二、线面间的位置关系,1. 两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,

34、机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,例2. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,(参考P332 例2 ),从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2. 直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,特别有:,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向

35、量.,垂,例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,作业 P335 3，4，5，7，9,P335 题2, 10,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,.,解：,相交,求此直线方程 .,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点 .,即,故所求直线方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,代入上式 , 得,由点法式得所求直线方程,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,习题课,一、 内容小结,二、实例分析,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间解析几何,第七章,.,一、内容小结,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1. 空间直线与平面的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,为直线的方向向量.,空间直线,一般