高一数学分期付款中的有关计算.ppt

1、研究性课题: 分期付款中的有关计算,高一数学组,研究性课题是新教材中的一个专题性栏目。这一个专题具有探索性和应用性的特点，它要求同学们从数学角度，对日常生活、生产和其它学科的问题及某些数学问题进行深入探讨，它既是所学内容的实际应用，又对同学们探究和解决问题具有较好的训练价值，是培养同学们综合实践能力和创新精神的极好教材。,研究性课题介绍,（1）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。 答：x期后的本利和为y=a（1+r）x （2）如果存入本金a元,每月的利率为0.8%,试分别计算1月后,2月后,3个月后，12个月后的本利和是

2、多少？ 解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1+0.8%)3 12月后的本利和为a(1+0.8%)12,复利计息,一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足. 指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？,幽默故事:,公司概述,为方便广大

3、用户购买小灵通手机，焦作电信公司特推出小灵通分期付款购机入网业务，具体内容如下：一、活动时间：2001年6月1日2001年6月30日二、分期付款具体办法如下：,办理地点：百货楼电信营业大厅（可选机型、号码） 塔南路综合电信商场（可选机型、号码） 中站、马村电信大厅（售带号机）,机型 总价（元） 首付额（元） 月付额（元）,700-X 898 398 50(10个月）,702-A 1450 450 100（10个月）,702-F 1450 450 100（10个月）,702-S331 1560 560 100（10个月）,708-J 2080 1080 100（10个月）,背 景,提出课题, 数

4、码机相选购须知 如何选购电脑音箱 选购电脑四项基本原则 谈谈显示器的选购, 如何正确给手机电池充电 手机电池的保养 待机和通话时间是由何决定 慎选手机充电器 充电器防伪 选购手机电池应注意的问题 如何选购手机 手机的保养 手机进水的处理 手机电池分类 如何选购手机电池 手机电池的通话与待机时间 什么是电池记忆效应 如何使用与保养手机电池 如何正确使用保养锂离子电池 手机电池如何“长寿” 购买手机时请看明标识 手机选购八大经验,背 景,提出课题,电话：2724006，2755768，2700987218，2762272 地址：商业大厦一楼 江苏无锡商业大厦集团有限公司东方汽车有限公司,1，建行贷

5、款分期付款购车；2，农行贷款分期付款购车；3, 商业大厦分期付款购车模式；4, 营运证（出租汽车）质押；,背 景,提出课题,背 景,提出课题,您所在位置-首页-家装课堂-装修前的提示-装 修 费 应 该 怎 么 付,装 修 费 应 该 怎 么 付,背 景,提出课题,背 景,提出课题,首页|新闻动态|迷你游戏| 下载中心 | 攻略秘籍 | 游戏专区,买游戏也可以分期付款,游民部落,背 景,提出课题,分期付款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，为越来越多的顾客所接受，这一方面是因为很多人一次性支付售价较高商品的款额有一定的困难，另一方面是因为不少商店也在不断改进营销策略，方便顾客购物和付款， 可以

6、说分期付款与每个家庭、每个人的日常生活密切相关。,关于分期付款,分期付款是贷款偿还的一种方式，是指借款人 向银行借款后，按借款合同约定分期向银行偿还借 款本息的一种还款方式。,分期付款的含义,（1）分期付款中，一般规定每期付款额相同。 （2）每期利息按复利计算，即上期利息要计入下期本金。,分期付款的规定,例如：若月利率为r，款额a元，过一个月增值 为a(1+r)再过一个月增值为a(1+r)2 ,（3）偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。各 月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息。,（4）各期所付的款额加上到期时所生利息 之和，等于到期一次性付款额,购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的

7、办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少?(精确到1元） 分析：本题可通过逐月计算欠款来处理，根据题意，第5个月的欠款数为零，据此可得等量关系。,例1.,每次付款1000元， 行吗？,购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少?(精确到1元）,(50001.0082-1.

8、008x-x)1.008-x 即 50001.0083-1.0082x-1.008x x ,这就是说，每月应付款1024元。,购买5个月后的欠款数为： 50001.0085-1.0084x1.0083x-1.0082x-1.008x x 由题意 50001.0085-1.0084x1.0083x-1.0082x-1.008x x=0 即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085,解 ：设每月应付款x元， 购买1个月后的欠款数为,50001.008-x,购买2个月后的欠款数为,( 50001.008-x)1.008-x 即 50001.0082-1.

9、008x-x,购买3个月后的欠款数为,x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085,第5次付款(即最后一次付款)x元。(由于款已全部付清，因此这一期付款没有利息),第4次付款x元后到款全部付清时连同利息之和,第3次付款x元后到款全部付清时连同利息之和,第2次付款x元后到款全部付清时连同利息之和,第1次付款x元后到款全部付清时连同利息之和,5000元商品在购买5个月后（即货款全部付清时）连同利息之和,各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最后一次付款时所生的利息之和,商品的售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。,从最后一次付款（即款全部付清）时的角度

10、看,分析：利用分期付款的有关规定直接列出方程 解法2：设每月应付款x元 ， 那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后） 付款金额的本利和为：（x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x）元； 另外，5000元商品在购买后5个月后的本利和为 50001.0085元。 根据题意， x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=50001.0085（以下同解法1）,另解,从贷款时（即购买商品时）的角度来看 第1个月偿还的x元，贷款时值 ：,贷款5000元购买商品时值5000元。 由此可列出方程：,第2个月偿还的x元，贷款时值： ,第5个月偿还的x元，贷款时值

11、：,从数学的角度看，本课题是等比数列前n项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。,问题的关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定：,在分期付款中，每月的利息均按复利计算；,分期付款中规定每期所付款额相同；,分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；,小结,各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据）。,3.6研究性课题: 分期付款中的有关计算,市一中高一数学组,表格1,表格2,100001.004575元,100001.0045752元

12、,100001.0045753元,100001.00457523元,100001.00457524元,1.00457523x元,1.00457521x元,1.004575x元,x元,例2： 中国建设银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息。如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575%，那么每月应还多少钱呢？,1.00457522x元,(实际问题),某银行设立了教育助学贷款, 其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息. 如果贷款10000元, 两年还清, 月利率为0.4575, 那么每月应还多少钱呢？,解:,设每期还款额为x元, 依题意有:,100001.00457

13、524 =1.00457523x+1.00457522x+1.004575x+x,右边为一个等比数列的和,故有,1.0045752410000= x,24,解得: x440.9(元),刚才的思考方法是什么呢？,是将各月所付款折合成付清贷款时的值来考虑的.,如果都折合成贷款初时的值如何呢？,易发现是贬值.,第一个月偿还的x元,贷款时值多少？此时是增值还是贬值？,请思考:,第一个月偿还的x元, 贷款时值,第二个月偿还的x元, 贷款时值 (元),第23个月偿还的x元, 贷款时值 (元),第24个月偿还的x元, 贷款时值 (元),2,23,24,10000元的贷款呢？时值多少？怎样列出方程？,1000

14、0元的贷款时值就是10000元. 方程为:,+ + + = 10000,试比较:前后两个方程的异同, 两种思考方法各是什么？,课堂练习,国家鼓励职工购买住房,在一次性交付一定资金后,不足部分可向银行贷款. 按政策性贷款年息为 9.6, 可以分期付款. 某职工根据自己的实际情况,每年最多可偿还1万元,计划5年还清(银行贷款按复利计算).问:该职工最多能贷款多少万元？,略解: 设最多可贷款 x 万元,依题意列出方程:,1+1.096+1.0962+1.0963+1.0964=1.0965 x,解得: x = 3.83 (万元),5,5,2,24,课后思考,1. 能否通过逐月计算所欠款来考虑？,2.

15、 能否折合成任何一个月时的值来考虑？,课堂小结,1. 分期付款有哪些一般规定？,(1) 分期付款中,一般规定每期付款额相同,(2) 每期利息按复利计算,即上期利率要计入下期本金,(3) 分期付款中,贷款(或商品价值)与每期付款额在贷款全部付清之前,会随着时间推移而不断增值.,2. 列方程的依据是什么？,各次付款额的时值的和贷款额的时值,3. 分期付款的付款总额与贷款有无差额？你怎样理解这种现象的合理性？,课后作业,优化设计P112强化训练 3, 7,购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款； 购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款购买后12个月第12次付款；

16、购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款。,问题：,某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：,你能帮他们参谋选择一下吗？,解决问题的过程：,1启迪思维，留有余地：,问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ 每次付款额是10000的平均数吗？ 分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？ 问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？ 本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？,（显然不是，而会偏高）,（利息）,（它等于各次付款额之和）,设为x。,解决问题的过程

17、：,2搜集、整理信息： (1)分期付款中规定每期所付款额相同; (2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.,例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为 a(1+1%)=1.01a(元); 再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=,解决问题的过程：,3独立探究方案： 可将问题进一步分解为： 1.商品售价增值到多少？ 2.各期所付款额的增值状况如何？ 方案1 2个月付1次款 方案2 1个月付1次款 方案3 4个月付1次款 3.当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？,解决问题的过程：,4提出解答,并给答辩： 由 商品价格及售价增值=付款额及利息，得,方案3:4个月付1次

18、款,方案1:2个月付1次款,方案2:1个月付1次款,1785.86 元,888.49元,3607.62 元,解决问题的过程：,5结论分析： 方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元； 方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元； 方案3中，x=3607.62元，付款总额3x=10822.85元。,解决问题的过程：,6创建数学模型： 比较以上方案结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则,方案3:4个月付1次款,方案1:2个月付1次款,方案2:1个月付1次款,顾客购买一件售价为5000元的商

19、品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。,顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。,例2.,x,1.008x,1.0082x,1.00811x,x+1.008x+1.0082x +1.00811x,50001.00812,x,1.0082x,1.0084x,1.00810 x,x+1.0082x+1.0084x +1.00810 x,50001.00812,x,1.0084x,1.0088x,x+1.0084x+1.0088x,50001.00812,x,例1与例2的比较

20、,15,（方案2）略解：由题意得: x(1+1.0082+1.0084+1.00810 )50001.00812,每期所付款额为880.8元，付款总额约为5285元，与一次性付款差额为285元,（方案3）略解： x(1+1.008+1.0082+1.00811 )50001.00812,每期所付款额为438.6元，付款总额约为5263元，与一次性付款差额为263元,（方案1）解：设每期所付款额x元，那么到最 后1次付款时付款金额的本利和为： x (1+1.0084+1.0088 ) 元。,另外，5000元商品在购买后12个月后的本利和为50001.00812元。,由题意得 x(1+1.0084

21、+1.0088)50001.00812,每期所付款额为1775.8元，付款总额约为5327元，与一次性付款差额为327元,顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。,顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。,例2.,一般地，购买一件售价为a元的商品，采用上述分期付款时要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款数的计算公式是什么？,思考题,解:由题意 得:,例1： 中国建设银行设立了教育助学贷款，其中规定一

22、年期以上贷款月均等额还本付息。如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575%，那么每月应还多少钱呢？,注：等额还本付息指的是在贷款期内每期以相等的金额平均偿还贷款本金和利息。,例如：月利率为 0.8%，款额 a元 过 1 个月就增值为 a(1+0.008)=1.008a（元） 再过1个月又增值为：（经过2个月） 1.008a(1+0.008)=1.0082a（元） ,经过n个月就增值为: 1.008na（元）,例1：某人欲购买5000元电脑一台，采用分期付款方式在一年内将款全部付清，商店提供了如下几种付款方案，以供选择。,说明： 1 ：分期付款中规定每期所付款额相同。 2 ：每月利息按

23、复利计算，是指上月利息要计入下月本金。,顾客在从表中选择选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。,探究：采用方案 2，每期应付款多少，总共应付款多少。,按分期付款的规定，各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。,第一步： 在商品购买后 1年货款全部付清时，其商品售价增值到了多少？,由于月利率为0.008，在购买商品后1个月， 该商品售价增值为： 5000(1+0.008)=50001.008 （元）,又利息按复利计算，在商品购买后2个月， 商品售价增值为： 50001.008(1+1.008)=50001.0082（元） ,于是，在商品购买后12个月（即货款全部付清时）， 商品售价增值为：