自动控制原理(数学模型)课件.ppt

1、时域模型 微分方程 复域模型 传递函数,第二章 控制系统的数学模型,2.1 引言 2.2 控制系统的数学模型微分方程 2.3 控制系统的复域模型传递函数 2.4 控制系统的结构图及其等效变换,2.1 引言,数学模型 数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。在静态时（即可变量的导数为零），描述变量之间关系的代数方程，叫静态方程式。 建模方法 解析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程 实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性,2.2 控制系统的数学模型微分方程,线性定常系统微分方程的一般形式,

2、一、线性元部件及系统的微分方程,例1 R-L-C 串连电路,例2 弹簧阻尼器系统,电磁力矩： 安培定律,电枢反电势： 楞次定律,电枢回路： 克希霍夫,力矩平衡： 牛顿定律,电机时间常数 电机传递系数,消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：,例3 电枢控制式直流电动机,反馈口： 放大器： 电动机： 减速器： 绳 轮： 电 桥：,消去中间变量可得：,例4 X-Y 记录仪,1.根据各元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定输入、输出。 2.根据元件的工作原理，列出相应的微分方程。 3.消去中间变量，得到输出、输入之间关系的微分方程。 控制系统微分方程的建立： 控制系统的微分方程和前面没有什么区

3、别，但是 一般来说控制由许多子系统组成： 1.一级一级传送； 2.前后两个连接的两个元件中，后级对前级有否负载效应。,获得微分方程的步骤,二、非线性系统微分方程的线性化,取一次近似，且令,既有,例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。,解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数,解. 在 处泰勒展开，取一次近似,代入原方程可得,在平衡点处系统满足,上两式相减可得线性化方程,例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程 式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量 变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。,线性定常微分方程求解,微分方程求解方

4、法,（1）阶跃函数,1 常见函数的拉氏变换,（2）指数函数,定义：,三、拉普拉斯变换,（3）正弦函数,（1）线性性质,2 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,证明：,0初条件下有：,例2 求,解.,例3 求,解.,（3）积分定理,零初始条件下有：,进一步有：,例4 求 Lt=?,解.,例5 求,解.,（4）实位移定理,证明：,例6,解.,令,（5）复位移定理,证明：,令,例7,例8,例9,（6）初值定理,证明：由微分定理,例10,（7）终值定理,证明：由微分定理,例11,（终值确实存在时）,例12,3 用拉氏变换方法解微分方程,L变换,系统微分方程,L-1变换,用L变换方法解线性常微分方程

5、,: 特征根（极点）,: 相对于 的模态,用留数法分解部分分式,一般有,其中：,设,I. 当 无重根时,解.,解.,解一.,解二：,II. 当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),解.,例6 R-C 电路计算,(1) 输入 u r (t),影响系统响应的因素,(2) 初始条件,(3) 系统的结构参数, 规定 r(t) = 1(t), 规定0 初始条件, 自身特性决定系统性能,影响系统响应的因素,2.3 控制系统的复域模型传递函数,2.3.1 传递函数的定义,在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。,传递函数的标准形式：,微分方程一般形式：,拉氏变换：,传递函数：,

6、首1标准型：, 尾1标准型：,例7 已知,将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。,解.,首1标准型,尾1标准型,增益,传递函数的性质 (1) G(s)是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L k(t) ； (5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。,例8 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为： 试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根及相应的模态； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(

7、0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。 解.（1）,(2),(4) 如图所示,(3),(5),(6),（7）,其中初条件引起的自由响应部分,（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。,传递函数的局限性,例8 线性/非线性，定常/时变系统的辨析,例 系统如图，被控对象微分方程为,求系统传递函数F(s)。,解.,(2) 由运放,(1) 求G0(s),整理得,代入得,2.3.2 常用控制元件的传递函数,1. 复杂系统有基本系统组成 2.用微分方程消中间变量的方式 列一组微分方程，消中间变量 3.用传递函数消

8、中间变量的方法 列一组子系统传递函数，消中间变量 4.用子系统传递函数，用结构图表达，直接从结构图得传递函数（还有其他好处:变量之间关系清晰）,控制系统的数学模型,典型环节通常分为以下六种：1 比例环节 式中 K-增益 特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。 2 惯性环节,式中 T-时间常数特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出,不能立即复现，输出无振荡。 实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。 3 微分环节 理想微分 一阶微分 二阶微分 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例：

9、 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。, zei塔zeitaljetalC,可赛kelsaill,4 积分环节,特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。 5 振荡环节 式中 阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。,6 纯时间延时环节,式中 延迟时间 特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有

10、延迟环节。 一对电位器可组成误差检测器,K1是单个电位器的传递系统，,是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。,测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置,转子角速度（rad/s）,输出斜率（v/rad/s）,直流测速发电机 交流测速发电机,电枢控制直流电动机简化后的微分方程为：,可视为负载扰动转矩根据线性系统的叠加原理，分别求,到,和,到,的传递函数。,由传递函数定义得,（1）令,（2） 令,2.4 控制系统的结构图及其等效变换,2.4.1 系统结构图的组成,例1: 一RC网络如下图所示, 画出它的结构图.,画结构图的过程为:,1. 列写出S域的代数方程组,2. 由代数方程组画结构图.,控制

11、系统的结构图由四种基本单元组成:,(1) 信号线, 如下图所示:,信号线是带有箭头的直线, 箭头表示信号的流向, 在直线旁 标记信号的时间函数或时间函数的拉氏变换表达式. (2) 引出点(或测量点), 如下图所示:,引出点表示信号引出或测量的位置, 从同一 位置引出的信号在数值和性质上完全相同.,(3) 比较点(或综合点或加减点), 如下图所示:,比较点表示两个或两个以 上的信号进行加减运算,“+”,表示相加, “-”表示相减, 习惯上“+”可,省略不写. 需指出的是, 比较点的输入信号须具有相同的物 理属性和单位, 比较点的输出信号只有一个.,方框(或环节), 如下图所示:,箭头指向方框的信

12、号线表示该方框的 输入信号, 箭头离开方框的信号线表 示该方框的输出信号, 方框中写入元,部件或系统的传递函数, 且有,电磁力矩：,电枢反电势：,电枢回路：,力矩平衡：,例2 电枢控制式直流电动机,直流电动机结构图,2.4.2 结构图的基本形式和等效变换 从大量的实践中发现, 不管系统中各个环节如何错综复杂 地连接, 但从分析的角度看, 不外乎有下列三种基本形式 (1) 串联连接, 如下图所示:,其等效传递函数为:,并联连接, 如下图所示, 其等效传递函数为:,(3) 反馈连接, 如下图所示, 图中,为前向通道传递函,数,为反馈通道传递函数,由图可得:,消去中间变量,和,得反馈连接的闭环传递函

13、数为,如把反馈通道在A点处断开,如下图所示, 得,叫闭环系统的开环传递函数.从 而闭环传递函数可表为:,上面结论具有一般性. 如, 则,上式表明, 当系统的开环传递函数大大大于1时,闭环传递函 数与前向通道传递函无关, 仅为反馈通道传递函数的倒数, 这是反馈控制系统的基本优点.,特别的是, 如果, 则称为单位反馈, 此时闭环传递,函数为:,对于下图所示的同一个系统, 不同信号间的传递函数 是不相同的.,对于左图, 输出,关于,输入,的传递函数前已推出为:,但对于,关于输入,的传递函数可由下图求得为:,但是,和,的分母即,它们的特征多项式,完全一样.,对于一个闭环控制系统, 不管其结构图多么复杂

14、, 总可通,过一些等效变换的方法, 把它简化成上面三种基本形式,从 而求出它的传递函数. 下面介绍五种常用的等效变换法则. (1) 信号引出点后移,(2) 信号引出点前移,(3) 信号比较点后移,信号比较点前移,(5) 信号比较点交换或合并,2.4.3 复杂结构图传递函数的求取,例1: 利用结构图等效变换法则求下图的传递函数,解:,由上图得,例2: 利用结构图等效变换法则求下图的传递函数,将上图重新整理成下图:,信号比较点后移,信号比较点重新组合,由上面简化后的结构图可得其传递函数为:,2.5 信号流图及梅逊增益公式,信号流图的本质, 是用小圆点和带箭头的直线组成的图型, 来表示一个或一组线性

15、代数方程, 然后利用梅逊公式求系统的 传递函数. 例1 设有一组线性代数方程为: X2=a12X1+ a32x3 X3=a23X2+ a43X4 X4=a24X2+ a34X3 +a44X4 X5=a25X2 a45X4 信号流图中的术语 节点: 表示变量或信号的小圆点.方程组中有几个变量, 就可 用相应数目的节点.,支路: 连接两个节点的定向线段. 线段上箭头的方向, 表示信,号流通的方向. 支路旁标明的数字字母或表达式称为支路传输 值或称为支路传输增益. 支路上的箭头指向节点, 叫该节点的输 入支路, 支路上的箭头离开节点, 叫该节点的输出支路.,X4,X1,X2,X3,X5,a12,a2

16、3,a34,-a45,a32,a44,a43,a24,a25,注意: (1) 信号在节点上只能相加（符号在支路增益里）; (2) 根据线性代数方程组, 先确定变量数目, 依此排列, 然 后画图; (3) 流入节点的信号可以各不相同, 但流出节点的信号表 示同一个信号.,输入节点:只有输出支路的节点, 叫输入节点, 也叫源节点, 如X1.,输出节点:只有输入支路的节点, 叫输出节点, 也叫汇节点, 如X5. 混合节点:既有输入支路, 又有输出支路的节点, 叫混合节点. 如X2, X3, X4. 增加一条单位传输支路,可使混合节点变 为输出节点, 但不能使其变为输入节点.,通道: 凡从某一节点开始

17、, 沿支路的箭头方向连续经过一些节 点而终止在另一节点或同一节点的路经, 统称为通道. 开通道:如果通道从某一节点开始终止在另一节点上, 而且通道 中每个节点只经过一次,该通道叫开通道.,闭通道: 如果通道的终点就是通道的始点,而且通道中每个节点只,经过一次,该通道叫闭通道. 也叫回环, 回路. 如a44, a34 a43, a23 a32. 但a23 a34a43 a32不是. 前向通道: 在开通道中,从源节点始到汇节点止, 并且每个节点只 经过一次的通道. 在确定前向通道时, 首先要明确源 节点与汇节点.,节点: 表示变量或信号的小圆点.方程组中有几个变量, 就可用相应数目的节点. 输入节

18、点；输出节点；混合节点,支路: 连接两个节点的定向线段.：方向, 之路增益传输（传递函数） 节点的输入支路（支路上的箭头指向节点）；节点的输出支路.,通道: 凡从某一节点开始, 沿支路的箭头方向连续经过一些节 点而终止在另 一节点或同一节点的路经, 统称为通道（由节点和支路组成） 开通道：如果通道从某一节点开始终止在另一节点上, 而且通道中每个节点 只经过一次,该通道叫开通道. 前向通道: 在开通道中,从源节点始到汇节点止 回路：如果通道的终点就是通道的始点，而且通道中每个节点只经过一次,该通道叫闭通道,不接触回路: 如果一些回路没有任何公共节点, 就叫不接触回路.,通道传输( 或增益): 通

19、道中各支路传输( 或增益)的乗积. 回路传输( 或增益): 闭通道中各支路传输( 或增益)的乗积. 梅逊公式 任一信号流图, 输入节点与输出节点间的总增益, 可用如下 梅逊公式求得:,式中: n是从输入节点到输出节点的前向通道的总条数. Gk 是从输入节点到输出节点的第k条前向通道的总增益.,上式中: L1 是信号流图中每一回路的增益.,上图中有三条前向通道, 故n=3, 即G1= a12 a23 a34 a45,L2是信号流图中任何两两互不接触回路增益的乗积. L3是信号流图中任何三三互不接触回路增益的乗积. Lm是信号流图中任何m个互不接触回路增益的乗积. k叫余因子式, 是与第k 条前向

20、通道不接触部分的 值. 下面利用梅逊公式求例1的信号流图中X1与X5之间的增益,G2= a12 a24 a45, G3= a12 a25,L1=a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32 L2= a23 a32 a44 =1 L1 + L2 =1 (a23 a32 + a34 a43 + a44 + a24 a43 a32) + a23 a32 a44 1 =1 , 2 =1 , 3 =1 a34 a43 a44 X5与X1之间的增益X5/X1为,以前, 我们已学过动态系统的结构图, 那时采用结构图简化法,则将复杂的结构图简化为便于求出系统传递函数的简单的结构 图. 现在, 可将结构图转化为