第九章2000放映版2.ppt

1、矩形板弯曲理论,第九章,研究的对象： 板的受力特点 板的边界特点 板的厚度范围,一、绪论,9-3 刚性板的弯曲微分方程式,本节开始研究矩形板的一般弯曲，板只有横载荷，没有中面载荷，亦不考虑板变形而产生的中面。,如图:建立坐标系,y,o,x,z,t,a,b,基本假定：,直法线假定据此 板z方向的正应力与其他应力相比可忽略不计 不计板中面的变形,1、根据变形的假定条件及几何关系式 求出应变 与挠度w之间的相互关系； 2、根据物理方程 与挠度w之间的相互关系； 3、一dxdy微块上断面的合力及合力矩， 与挠度w之间的相互关系； 4、微块上力的平衡条件得到进而得到外力q(xy)与挠度之间的关系。 即弯

2、曲板微分方程式,求解刚性板弯矩微分方程的基本过程,z,o,x,弯曲微分方程式,刚性板的弯曲微分方程式 可以用梁的弯曲微分方程式相同方式建立：,（1）应变与位移 间的关系：,取微块dxdy, 如图,因此：,同理：,（9-24）,由,此处u,v为板在x,y方向的位移 ：,于是：,从而：,由于板中面不变形，故,这样：,板剪应变为：,（9-23）,（9-25）,（9-26）,（9-27）,弯曲时应变与位移间的关系，可用矩阵写为：,或,式中：,（2）应力与应变间关系：,应用方程式（9-2)得：,将（9-28）代入上式，得,分析应力分布的特点： 沿板厚线性分布，在中性层处应力为零,（3）板单位宽度断面上的

3、力和 力矩：,板中取一微块，微块断面上分别有应力 ，及,板边dx上单位宽度上断面上 力和力矩,由剪力互等定理 得：,板边dy上单位宽度上断面上 力和力矩,其中 通过力的平衡条件求得。,将应力代入得：,式中,为板的刚度矩阵 ，所以上式可表达为：,式中：,D为薄板弯曲问题中的“弹性矩阵”,（4）静力平衡条件,建立板中面微块的平衡方程式，使所有力对Oy轴的合力矩为零，得：,如图：,从上式可以看到， 在列平衡是不能忽略， 因为它们直接构成域外荷重相平衡,略去三阶微量，并同除以dxdy得：,所有的力在Oz轴上的投影力为0，得：,此处 表示算子,刚性板一般弯曲的平衡微分方程式，也可写成：,这样，一旦求得板

4、的挠曲函数w(x,y), 得板弯曲时的应力为,上式可简写为,求解w是关键：,边界条件的引入,边界条件,刚性板一般弯曲的微分方程式是两个变数的四阶线性偏微分方程式。解时要有八个任意常数。因此必须有八个边界条件。看一下四种情况：,板自由支持在刚性周界上（如图）：,板刚性固定在刚性周界上（如图）：,此时板边缘挠度和弯矩均为零，因此在x=0和x=a处有,因边缘处板没有挠度，所以,从而：,同理：,dx,dx,y,b,z,o,x,在中间dx上的扭矩的等效合力,单位长度上扭矩的等效合力,在边缘x=0,x=a处有：,弹性支座边（弹性支座支持在刚性支座上）：,Y=b,微段dx作用有扭矩 其相邻微段dx上有扭矩

5、我们用一个静力上等效的力系来代替扭矩的作用，在两区域中 线之间的微段dx只有垂向力作用，大小为 ，计及剪力,板的边缘为自由边：,若y=b边为自由边，则该边应满足：,这样有三个边界条件，但在解弯曲微分时，只允许有两个边界条件，因此，把剪力与扭矩都为零的条件化为一等效的剪力为零的条件：,如图：,dx,dx,y,b,z,o,x,板边总垂向力为：,dx,dx,b,z,o,x,y,单位宽度总垂向力为,又挠曲函数及公式（9-36）及（9-44）得：,因此，y=b自由边处的边界条件为：,同理，x=a处的边界条件为：,每一自由边在两个角点处各有集中反力 (如图） ，如果两相邻边为完全自由边，该顶角上有 的反力

6、。因此对于悬空角点，还应满足集中反力为零的条件，即：,(9-50),9-4 刚性板弯曲的解 满足两个条件,应用双三角级数解四边自由支持板的弯曲,对于四周自由支持的板，板的 挠曲线 在支持周边上必须适合下列条件,为求解微分方程式 （9-43），将w(x,y)写成下面的形式,（9-51）,（9-52）,（9-53）,（9-54）,y,x,（1）若板上有均布载荷 ,这样：,(2)若板受集中力P,作用点坐标为 ， 如图：,o,y,x,a,b,在集中力作用处，取边长为 的矩形微块，并认为此 微块作用着强度为：,分布荷重。用公式（9-58），得：,当 趋于零时，其极限为,于是：,说明当P作用在 处，则在板

7、任意点（x,y)处引起的挠度就等于P作用在板上任意点(x,y)处在 处所产生的挠度，这就是位移互等定理。,应用双三角级数对板弯曲问题的解称为“纳维叶解”。,P,y,x,应力单三角级数解一对边自由支持的弯曲,一对边(x=0,x=a的边)为自由支持，另一对边为任意固定的板,可将弯曲微分程式的解取微单三角级数形式：,为y的任意函数，它可以由平衡微分方程式及y=0及y=b的边界条件来决定。,满足 x = 0 , x = a 的边界条件,把荷重q(x,y)展开成相应的单三角函数：,式中：,得：,求解上式的通解和它的特解组成。,求齐次方程：,（9-66）,解： （1）代入弯曲微分方程式,得：,（2）,利用

8、公式,特点是y的单值函数,（3）,通解可将 代入方程（9-66）得特征方程式：,此特征方程式有成对的重根： 于是齐次方程的通解可以写成下面的形式：,或用双曲线函数表示成：,从而微分方程式（9-65）的一般解为：,式中 为特解,（9-67）,（9-68）,（9-69）,o,x,y,a,例 试决定自由支持在边缘 x=0与x=a处及刚性固定在边缘y=+b/2的挠曲线（如图）。板上受均布荷重 q0,解：由于板的挠曲面对称于OX轴，因而函数 中的奇函数项的系数应等于零，及,于是,其中特解 可以这样求得。因为,（9-70）,所以,积分常数 可以由 处的边界条件来决定。,从此方程中看到，只要取特解为常数就能

9、成为方程的解,当 时，,即：,将式（9-70）代入此边界条件得：,式中 。由此解得 ：,将求得之常数代入(9-70), 得：,于是板挠曲函数为：,（9-71）,a,y,o,b,x,查表方式求解四边刚性固定的板的解,1）板中点挠度,2）板中点，与短边平行的断面（垂直于x轴的断面）中的弯矩：,3）板中点，与长边平行的断面（垂直于y轴的断面）中的弯矩：,4）板短边中 点的弯矩：,5）板短边中点的弯矩：,由(a)图可知 k5最大，因此板总是在长边中点的弯矩最大，因此该处应力以最大。当a/b相当大时， k5=0.0833, 由此得长边中点断面的最大弯曲应力为：,（9-76）,（9-77）,由(a)图可知

10、 k5最大，因此板总是在长边中点的弯矩最大，因此该处应力以最大。当a/b相当大时， k5=0.0833, 由此得长边中点断面的最大弯曲应力为：,2.8,2.4,1.8,0.08,0.07,0.06,0.05,0.04,0.03,0.02,0.01,1.0,0.09,1.2,1.4,2.2,1.6,2.0,2.6,3.0,k5,k4,k3,k1,k2,以上公式中的系数 k1 、k2、k3、k4及k 随板的边长变化， 见图。,板上下表面的弯曲正应力的按下式计算：,o,y,x,s,(b),纵骨架式船体板（ab)，当边长比相当大时，取k2=0.0125,k4=0.0571, 分别得沿船长方向跨度中点和支座断面中的应力（9-77）为：,横骨架式船体板（如图），设短边长度为s ,当边长比相当大时，取k3=0.0417,k5=0.0833, 分别得沿船长方向跨度中点和支座断面中的应力为：,从此例题获得的结论：,习题1,矩形水平薄板OABC的OA边和OC边 为简支边，AB边和CB为自由边, 在B点上受集中铅直力P作用。 试证w=mxy 满足一切条件，并求出挠度 、弯矩和角点反力。,x,y,o,A,B,C,a,b,P,习题2,x,y,o,A,B,C,a,b,简支边受到均布弯矩M、两个自由边受到 均布弯矩M作用。 试证:w=f(x,y)满足一切条件并求出挠度。,M,M,M,M