第1章质点运动学.pptx

1、,第一篇力学,万 有 引 力 定 律,运动学,动力学,特殊运动的理想模型 描述运动的物理参量 运动参量间的数学规律 运动规律的对称性,影响物体运动状态的因素 动力学规律 守恒量与守恒律,狭 义 相 对 论,运动学,质点运动学,刚体运动学,机械振动,机械波,运动是可以描述的吗？ 如何描述物体的运动？ 运动学理论的实际应用 运动规律的对称性,第1章 质点运动学,亚里仕多德,伽利略,牛顿,洛仑兹,爱因斯坦,(Kinematics of particle),4,1.0 矢量,一.矢量的表示法,5,二.矢量的加、减法,三角形法,多边形法,6,三.标量积(点积、数量积、内积),7,积 的方向垂直于矢量 和

2、 组成的平面，,指向由右手螺旋法则确定。,四.矢量积(向量积、叉积、外积),8,1. 矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商,五.矢量函数 ()的微商,2. 的方向，一般不同于 的方向；只有当t0时， 的极限方向，才是 的方向。当 的大小不变而只是方向改变时, 就时刻保持与 垂直。,lim = ,3. 在直角坐标系中,一 绝对运动和相对静止的统一,1.恒定物体运动、静止的标准引入参照物与参照系,哲学论断：a 人不能两次踏入同一条河流。 b 人不能同时踏入同一条河流。,结论： 只有承认相对静止，才可能认识物体的机械运动 认识物体的运动状态是通过相对静止去完成的,1.1 参考系和坐标系,1

3、0,坐地日行八万里巡天遥看一千河,运动的绝对性和静止的相对性统一,送瘟神,11,开普勒定律,12,13,二 参考系和坐标系,1.参考系与坐标系的基本概念,参照物与参照系的关系：参照系是参照物的数学抽象，必须能够建立坐标系的物体才能充当参照物。,参照物：被选取、且能用来描述物体运动状况的物体,参照系：固定与参照物之上，用来确定待描述物体空间位置和方向而引入的数学坐标系。,为了作定量描述， 还要取一个固定在参考系中的坐标系。坐标系是参考系的代表和抽象。,(1) 直角坐标系,任意矢量 可表示为,矢量的大小或模表示为,2. 几种典型的坐标系, = + + , = + + ,方向余弦满足关系, + +

4、=,坐标轴的单位矢量是常矢量，满足 ：, =, =, =,(2) 自然坐标系,在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位矢量(、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐标系。s称为自然坐标。,P1的曲率,P1的曲率半径,= lim = ,= = ,过轨道上一点P1的与轨道相切圆，如果圆的曲率与P1的曲率半径相等，称这个圆为P1的曲率圆,自然坐标系中，任意矢量 可表示为,切向单位矢量变化率, = + , = lim = lim = ,(3) 极坐标系,在一固定直线上选取一点O作为坐标原点，以O点为端点作射线，称由射线

5、、原点和固定直线构成的坐标系为极坐标系，通常称射线为极轴。,极坐标系中，任意矢量 为,矢量 的变化率可表示为, = + , = = + ,18,1.2 典型机械运动及理想模型,1.模型化方法,在实际问题的研究中，忽略掉一些次要因素，把实际物理过程看作为由少数主要因素决定的理想过程，这种由少数主要因素构成的数学计算模型，称为理想物理模型；这种研究方法，称为物理学中的模型化方法,19,20,单摆运动,平面机械波模型,物体绕定轴转动,一般运动,1.模型化方法,21,2. 几种典型的机械运动模型,(1) 质点模型：当物体的线度(大小和几何形状)对所研究物体运动状态的影响可以忽略不计时， 用一个集中了物

6、体所有质量的数学点来代表物体的运动状态，该点称为质点。,(2) 刚体模型：当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不计时，将物体看作为一个不发生形变的几何体,(3) 谐振子模型：当物体收受合外力可以近似为F=-kx 时，称该物体的运动为简谐振动,(4) 简谐波模型：介质传播机械波可以近似地看作为简谐振动在媒质中的传播，且弹性介质无阻尼或能量吸收(波在传递过程中保持振幅不变)，这种机械波称为简谐波，该模型称简谐波模型,22,3. 运动叠加原理,矢量合成法则与运动的叠加原理,(1) 物体参与几个矢量方向运动的最终状态，与这些矢量按平 行四边形法则合成所得的合成矢量表示的运动状态相同； 物体参与的任意

7、矢量运动，都可以等效地认为是若干分矢 量的合成。 (2) 物体在某一个矢量分量方向上的运动状态改变，与该矢量 其它分量上的运动状态或运动状态的改变无关。,振动的叠加原理，波动的叠加原理,23,1.3 描述质点运动的物理量！,一. 位置矢量（简称位矢或矢径）,从坐标原点o指向P点的有向线段 = ,r 质点P到原点o的距离,cos2 + cos2 + cos2 =1,相对性(参照系); 瞬时性(时刻t);矢量性(大小、方向、运算法则),24,二. 运动方程和轨道方程,(1) 运动方程：位置矢量的时间函数,(2) 轨道方程 ：质点在空间运动时的轨迹方程，称为轨道方程,说明：轨道方程可由运动方程消去时

8、间参量t 得到。 数学表示为： f(x,y,z)=0,A. = ,= ,= B. = + + ,例：质点做匀速圆周运动, 求运动方程与轨道方程,轨道方程,运动方程,25,(1) 位移：在时间t内，由初始位矢指向末位矢的有向线段。,说明：矢量性大小、方向、运算法则 位移函数消去时间t，得轨道方程。 位移与位矢的关系：位移是位置矢量 r 在时间t内的增量,三.位移和路程,26,(2) 路程：在时间t 内，物体运动轨迹的长度，称时间t内物体 的路程。,问题： A. 路程与位移的区别、联系? B. 什么情形下物体路程与位移相等？ C.判断： 物体在时间t内路程为0，则物体一定保持相对静止 物体在时间t

9、内位移为0，则物体一定保持相对静止,S,27,2. 单位时间内的路程平均速率,1. 单位时间内的位移平均速度,四. 速度和速率,4.质点的(瞬时)速率:,3. 质点的(瞬时)速度:,而速率等于路程S对时间的一阶导数。,28,说明： a. 瞬时速度不一定等于平均速度，只有在匀速直线 运动情形下两者相等； b. 平均速率不一定等于瞬时速率；,c. 即时速率与即时速度的大小相等,28,判断 ：(A),(B),29,速度的大小：,e. 在直角坐标系中,速度的方向：轨道切线方向。,30,例：已知一质点沿x轴作直线运动，t 时刻的坐标为 x=4.5t2-2t3 求：(1) 第二秒内的平均速度 (2) 第二

10、秒末的即时速度 (3) 第二秒内的平均速率,解：(1) 第二秒内的平均速度,(如何理解平均速度前的负号？),(2) 第二秒末的即时速度,当t=2s时, = ,= =. /,31,(3) 第二秒内的平均速率,即判断速度的方向是否有改变，由问题(2)，知道物体运 动方向发生改变，因此：令,于是首先应当判断物体运动方向是否有改变,解得： t=1.5s,32,平均加速度：,五. 加速度,(瞬时)加速度:,加速度 等于速度 对时间的一阶导数。,在时间t内质点速度的增量：,说明：平均加速度与速度改变量的方向一致，与速度本身方向没有必然联系。,33,直角坐标表示：,说明： 加速度与速度改变量的方向一致，与速

11、度本身方向无关 加速度方向总指向轨迹曲线的凹侧 (由高数二阶导数知识) 国际单位制中,加速度的单位为米/秒2(ms-2),34,判断：,运动的叠加原理：任何一个曲线运动都可以看作是沿x,y, z 三个坐标轴方向的独立的直线运动的叠加。,35,* 运动学的两类问题,36,例题3.1 质点沿x轴运动,x=t39t2 +15t+1 (SI),求: (1)质点首先向哪个方向运动? 何时调头？ (2)t=0, 2s时的速度; (3)02s内的平均速度和路程。,t=1, 5s前后速度 改变了方向(正负号），所以t=1,5s调头了。 t=0， =+15m/s,质点首先向x轴正方向运动。,=3t2-18t+1

12、5=3(t-1)(t-5)=0,解 (1)质点做直线运动时，调头的条件是什么？,t=1 ,5s,37,考虑到t=1s时调头了，故02s内的路程应为 s=|x(1)-x(0)|,02s内的位移：,x=t39t2 +15t+1,平均速度：,x=x(2)-x(0)=3-1=2m,=1(m/s),(2)t=0, 2s时的速度;,=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5),t=0, =15m/s,t=2, =-9m/s,(3)02s内的平均速度和路程,+|x(2)-x(1)|,=7+5=12m,38,解,x =3+2t2, y =2t2-1,y =x-4 直线,质点作匀加速直线运动。,39,解 (1

13、) x=Rcos t ， y=Rsin t 轨道方程： x2+y2=R2 圆,由于t=0时,x=R, y=0,而t0+时,x0,y0,由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。,40,其大小为,加速度 的方向-r，即沿着半径指向圆心。,综上所述，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。,(2)在时间t=/2/内的位移为,在时间t=/2/内粒子刚好运动半个圆周，路程:S=R,41,平均速度 ：,(2)第2s内的平均速度：,当t=1s时，,(1)位矢：,当t=2s时，,例题3.4 质点: x=2t, y=19-2t2 (SI), 求：(1)质点在t=1s、t=2s时的位置；(2)第2s内的平均速度, (3)第1

14、s末的速度和加速度, (4) 轨道方程, (5) 何时质点离原点最近, (6) 第1s内的路程?,解:,42,代入t=1s,得：,加速度：,(3)第1s末的速度和加速度：,a=4(m/s2),速度：,43,由此得: t= 0,3s (略去t=-3s); t=0, r=19(m); t=3s, r=6.08(m), 可见t=3s时最近。,r有极值的必要条件是：,(5) 何时质点离原点最近?,x=2t, y=19-2t2,这是一条抛物线,(4) 轨道方程：,44,(6) 第1s内的路程:,1 0,=1.34m,45,例题3.5 在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速率 收绳拉船靠岸。求船头与岸的水

15、平距离为x时速度和加速度。,解1:,46,解2:,船的速度:,47,解 取o=0位置为坐标原点，向下为x轴的正方向,例题3.6 伞兵竖直降落，o=0， a=A-B，式中A、B为常量；求伞兵的速度和运动方程。,= ,= + ,48,完成积分就得运动方程:,运动方程：,= + ,= = + , = + ,= ,49,六. 向心加速度和切向加速度,50,=,当t0时， 0, 的极限方向为 的方向，可得,51,因ds=d (为曲率半径),52,大小：,方向：沿半径指向圆心,大小：,方向：沿轨道切线方向,作用：描述速度方向的变化,作用：描述速度大小的变化,加速度小结：,名称：向心(法向)加速度,名称：切

16、向加速度,53,加速度的大小:, 与速度 的夹角,54,由an=| at | 得:,解得,解 (1),例题3.7 质点作圆周运动, 半径R， (b,c为常数,且b2Rc); 求: 何时 an= a ? a=c ?,(2) 由 = + =,55,解:,an 、a是总加速度g沿轨道法向和切向的分量：,例题3.8 求斜抛体在时刻t的an 、a和(设初速o，仰角),56,讨论： (1) 在轨道的最高点，=0，y=0,得：,an=g, a=0,57,(2) 解法之二,58,解：,59,t=0,60, =3t,3t2=3, 求出t=1s,解: (1) 由,有,又,= + ,61,角加速度,七. 圆周运动中

17、角量和线量的关系,角速度,角 角坐标(角位置)。,62,63,圆周运动与直线运动的比较,64,例题3.11 飞轮半径R=1m，=2+12t-t3 (SI)，求：(1)轮边上一点第1s末的an=？ a=？(2)经多少时间、转几圈飞轮将停止转动？,an=R2=(12-3t2)2 , a=R =-6t 代入t=1s, an=812 , a= -6 (SI) (2) 停止转动条件：=12-3t2=0, 求出：t=2s。 t=2s, 2=18，,解: (1),t=0, o=2, 转过角度：=2-o=16=8圈。,65,解:,例题3.12 质点作圆运动，R，=A+Bt (A、B为正的常量)。求：质点在圆上

18、运动一周又回到出发点时， an=？ a=？ a=？,解得,66,an=？ a=？ a=？,=A+Bt,1.4 相对运动,1.4.1 对称性原理,人们把不同观察者观察到的物理规律的结构不变性，称为物理规律的对称性。把物理规律的对称性，提升为人类认识自然规律的基本原理，称这个原理为对称性原理。,理论是否满足对称性原理 是判别该理论是否正确的重要依据之一,1.4.2 伽利略变换,1. 物理模型 假定参考系S和S之间只有相对平移而无相对转动，且各对应坐标轴在运动中始终保持平行。,相对运动的物理模型,绝对参量( rs 、 vs 、 as ) 相对参量( rS 、 vS 、 aS ) 牵连参量 ( rSS

19、 、 vSS 、 aSS ),2. 伽利略变换公式,由矢量合成法则,对时间分别求一次、二次导数, = + ,上述三个公式分别称为位移、速度、加速度的伽利略变换公式,S,S 坐标轴平行，且S仅相对于S在x方向相对运动。伽利略坐标变换关系：,相对运动的物理模型,3.伽利略变换反映的时空观,绝对时间观 绝对空间观 牛顿绝对时空观, = + ,= + = = =,在同参考系下时间的流逝速度都相同 在不同参考系下测得的矢量都相同,4. 伽利略变换的应用,应用方法：A.确定描述对象，选择静止系和运动参照系 B.确定绝对速度，相对速度，牵连速度 C. 利用伽利略变换列出方程并求解。,例4.1 飞机罗盘显示飞

20、机机头以速度215km/h向正东飞行，风速为65km/h，风速方向向正北。求：(1) 飞机相对地面的速度 (2)飞机欲保持该速度向正东飞行，机头应指向什么方位？,解：(1) 飞机相对地面的速度 A. 选择描述对象，确定静止参照系和运动参照系 描述对象：飞机；静止系：地面；运动系：风,B. 确定绝对速度，相对速度，牵连速度 V绝=飞机相对于地面的速度 V相飞机相对于风的速度=215km/h 正东 V牵=风相对于地面的速度=65km/h 正北,C.利用公式物理意义列方程并求解。 由绝对速度=相对速度+牵连速度,飞机相对地面的速度为：,(2) 飞机欲向正东飞行，机头应指向什么方位? 飞机欲向正东飞行，即飞机的绝对速度方向指向正东， 相对速度、牵连速度不变，则：,例4.2 当自行车向正东方向以5m/s的速度行驶时，感觉风从正北 向正南方向吹，当自行车速度增加2倍时，感觉风从北偏东