§2.4 差商与Newton插值公式.ppt_第1页
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文档简介

1、第四节 差商与Newton插值公式,优点: 具有严格的规律性,便于记忆. 缺点: 不具有承袭性,即每当增加一个节点时,不仅要增加求和的项数,而且以前的各项也必须重新计算. 为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式Newton插值公式. 本讲主要内容: 差商的定义及性质 Newton插值多项式的构造,Lagrange插值多项式：,且,同样,承袭性：,为实数,而且有：,这样：,2.4.1 差商及其基本性质,定义1 称,为 f (x)在x0、x1点的一阶差商.,称为函数f (x)在x0、x1 、xk 点的二阶差商.,一阶差商的差商,一般地，k-1阶差商的差商,称为f (x)在x0 , x1

2、, , xk点的 k阶差商,一般f(xi) 称为f(x) 在xi点的零阶差商，记作fxi。,fxi,xj,xk是指,fxi , xj , xk=,fxi , xk- fxi , xj,xk- xj,一般的,可定义区间xi, xi+1 , xi+n上的n阶差商为,它表明差商与节点的排列次序无关，即,fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 ,性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即,称之为差商的对称性（也称为对称性质）。,性质2 由性质1立刻得到,性质3 若f(x)在a,b上存在n阶导数, 且节点

3、x0 , x1 , xna,b ,则至少存在一点 a, b 满足下式,例1 f (x)=6x8+7x510, 求f 1,2, ,9及f 1,2, ,10.,解 f 1,2, ,9=-6,f 1,2, ,10=0.,差商表,计算原则：,任意一个k(k=1)阶差商的数值等于一个分式的值，分子为该数左侧的数减去左上侧的数之差，分母为同行最左侧的插值节点值减去这一行往上数第k个插值节点值之差。,2.4.2 牛顿插值公式,英1642-1727,构造差商表,利用差商表的最外一行，构造Newton插值多项式,且有如下递推形式,设x是a，b上一点，由一阶差商定义得,同理，由二阶差商定义,如此继续下去，可得一系列等式,得,得,牛顿插值公式推导二：,依次把后式代入前式，最后得,Rn(x)称为牛顿型插值余项。,由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式 是等价的,即 Ln(x) Nn(x),由此即得性质1。,余项公式,由此即得性质3。,例2 已知f(x)=shx的数表,求4次牛顿插值多项式,并由 此计算f(0.596)的近似值。,解 由上表可得过前5点的4次牛顿插值多项式为,1.11600,1.51533,1.18600,1.27573,1.38410,0.43348,0.52493,0.28000,0.35893,0.2

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