第5章 地球物理中常用数值解法基本原理-有限元素法.pptx

1、计算地球物理,地球物理与信息工程学院 物探系 周 辉 2014年,第五章 地球物理中常用数值解法的基本原理有限元素法,内容,第一节 几个基本概念 第二节 边值问题的变分形式 第三节 两点边值问题 第四节 Ritz-Galerkin方法 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,第一节 几个基本概念,有限元法，实质上就是Ritz-Galerkin法。它和传统的Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应用样条函数方法提供了一种选取“局部基函数”或“分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程度上克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有困难。 有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后又用

2、于流体力学、物理学和其它工程科学。有限元法和差分法一样，已成为求解偏微分方程，特别是椭圆型偏微分方程的一种有效数值方法。,伽辽金（Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明的一种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题，从而达到求解微分方程的目的。 伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。 必须强调指出的是，伽辽金法所得到的只是在原求

3、解域内的一个近似解。,第一节 几个基本概念,有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。,第一节 几个基本概念,第一节 几个基本概念,m*(E)=infG|E包含于G且G为开集，此乃外测度。m*(E)=supF|E包含F且F为闭集，此乃内测度。 从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最大的集合来充填它。无论内外力求严丝密缝。,第一节 几个基本概念,第一节 几个基本概念,第一节 几

4、个基本概念,第一节 几个基本概念,第一节 几个基本概念,第一节 几个基本概念,第一节 几个基本概念,第一节 几个基本概念,第一节 几个基本概念,第一节 几个基本概念,第二节 边值问题的变分形式,数学物理中的变分原理，有重要的理论和实际意义，也是构造微分方程数值解法的基础。为了便于理解一般形式的变分原理，先以二次函数的极值问题为例，介绍变分问题的基本概念和方法。,2.1 二次函数的极值,在 n 维欧氏空间 中,边值问题的变分形式（变分法就是求泛函极值的方法。变分问题就是求泛函的极值问题。）,2.1 二次函数的极值,考虑 n 个变量的二次函数,定义 x, y 的内积为,F(x) 在 处取极值的必要

5、条件,第二节 边值问题的变分形式,令,若A 对称,则,2Ax0b,第二节 边值问题的变分形式,2.1 二次函数的极值,正定：设A是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量x都有xTAx0，就称A正定。,泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。,第二节 边值问题的变分形式,2.1 二次函数的极值,求泛函J(x)的极小更有意义： （）因为许多数学物理问题，其直接的数学形式就是求意义更广的“二次泛函”的极小值，只是对解作了某些“光滑性”假设之后，才归结到微分方程； （）即便是熟知的微分方程边值问题，也宁愿把它化为某一“二次泛函”的极小值问题，因为从极值问题出发建立数值解法往往更灵活方便。,第二节 边值问

6、题的变分形式,2.1 二次函数的极值,第三节 两点边值问题,3.1 两点边值问题弦的平衡,T 是弦的张力（假定是常数）,外力作功,应变位能,3.1 两点边值问题弦的平衡,第三节 两点边值问题,总位能,3.1 两点边值问题弦的平衡,第三节 两点边值问题,（）两点边值问题 二者之间应具有某种等价关系。,3.1 两点边值问题弦的平衡,确定弦的平衡位置，有两个不同形式的数学问题：,（）变分问题,第三节 两点边值问题,3.1 两点边值问题弦的平衡,第三节 两点边值问题,3.1 两点边值问题弦的平衡,第三节 两点边值问题,3.1 两点边值问题弦的平衡,第三节 两点边值问题,3.1 两点边值问题弦的平衡,第

7、三节 两点边值问题,3.2 两点边值问题极小位能原理,第三节 两点边值问题,3.2 两点边值问题极小位能原理,#,第三节 两点边值问题,3.2 两点边值问题虚功原理,第三节 两点边值问题,3.2 两点边值问题虚功原理,第三节 两点边值问题,3.2 两点边值问题虚功原理,第三节 两点边值问题,3.2 两点边值问题虚功原理,第三节 两点边值问题,3.2 两点边值问题虚功原理,第三节 两点边值问题,3.2 两点边值问题虚功原理,第三节 两点边值问题,一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。,第四节 Ritz-Galer

8、kin方法,第四节 Ritz-Galerkin方法,第四节 Ritz-Galerkin方法,第四节 Ritz-Galerkin方法,第四节 Ritz-Galerkin方法,第四节 Ritz-Galerkin方法,第四节 Ritz-Galerkin方法,第四节 Ritz-Galerkin方法,第四节 Ritz-Galerkin方法,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.1 解一维问题的线性元,有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式最小位能原理、虚功原理； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin

9、方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,Ii, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的

10、线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,i-1,i,i-1,i, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,i,i+1,i,i+1, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,K=

11、, 从Ritz法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Galerkin法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Galerkin法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,Ii,Ii+1, 从Galerkin法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法, 从Galerkin法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,0,1,xi-1,xi,xi+1,0,1, 从Galerkin法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元

12、法,一般用数值积分方法计算，例如Gauss求积法。, 从Galerkin法出发,5.1 解一维问题的线性元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.2 解一维问题的高次元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,xi-1,xi,xi+1,5.2 解一维问题的高次元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.2 解一维问题的高次元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.2 解一维问题的高次元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.2 解一维问题的高次元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.3 解二维问题的矩形元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.3 解二维问题的矩形元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.3 解二维问题的矩形元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,u00,u01,u11,u10,5.3 解二维问题的矩形元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.3 解二维问题的矩形元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,5.3 解二维问题的矩形元,第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法,