高等数学基础模拟题答案

1、.高等数学基础模拟题一、单项选择题（每小题3 分，本题共15 分）1.设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f ( x) f (x) 的图形关于（D ）对称(A)yx(B)x 轴(C)y 轴(D) 坐标原点2.当 x0 时，变量（C ）是无穷小量(A)1(B)sin xxxx(C)ex1(D)x23.设 f ( x)ex ，则 limf (1x)f (1)（ B ）x 0x(A)2e(B)e(C)1 e(D)1 e424. d xf ( x2 )dx （ A ） dx(A)xf ( x 2 )(B)1f ( x)dx1 f (x)2(C)(D)xf (x 2 )dx25.下列无穷限

2、积分收敛的是（B ）(A)ex dx(B)0e xdx0(C)1(D)1dxdx1 x1x二、填空题（每小题3 分，共 15 分）1.函数2.函数9x 2的定义域是(1,2)U(2,3y1)ln( xx1x0yx的间断点是X=0sin x03.曲线 f ( x)x1 在 (1, 2) 处的切线斜率是1/24.函数 y(x1)21的单调减少区间是（， 1）5.(sin x) dxsinx + c三、计算题（每小题9 分，共 54 分）;.1.计算极限 lim sin 6x x 0 sin 5x2.设 ysin x2xx2，求 y 3.设 ysin 2 ex ，求4.设是由方程 y cos xey

3、 确定的函数，求5.计算不定积分x cos3xdx 6.计算定积分e 2ln xdx 1 x四、应用题（本题12 分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（本题4 分）当 x0 时，证明不等式xarctan x ;.高等数学基础模拟题答案一、单项选择题（每小题3 分，本题共 15分）1.D2.C 3.B4.A5. B二、填空题（每小题3分，本题共15 分）1. (1, 2) ( 2, 32.x03.14.( , 1)5. sin x c2三、计算题（每小题6分，共54 分）1. 解： lim sin 6 xlim 6sin 6x6l

4、imsin 6x66x6 xx 0x 0 sin 5xx 0 5sin 5x5limsin 5x55xx 05x2. 解：由导数四则运算法则得(sin x2 x ) x 22x(sin x2 x ) x 2 cos x x2 2 x ln 2 2x sin x 2x2 xyx 4x 4x cos xx2x ln 22 sin x2 x 1x33. 解： y2ex sin ex cosexex sin(2ex )4. 解：等式两端求微分得左端右端由此得d( y cos x)yd(cos x)cos xdyysin xdxcos xdyd(e y )eydyysinx xcosxyeydydd整理

5、后得dyy sin xy dxcos xe5.解：由分部积分法得x cos3xdx1 xsin 3x1 sin 3xdx3311cx sin 3xcos3x396.解：由换元积分法得e 2ln xe( 2ln x)d( 23udu1xdxln x)123u 25222;.四、应用题（本题12 分）解：如图所示，圆柱体高h 与底半径 r 满足h 2r 2l 2圆柱体的体积公式为V2lrh将 r 2l 2h2 代入得V(l 2h2 )h求导得V( 2h2(l 2h2 )(l 23h2 )令 V0得 h3 l ，并由此解出 r6 l 即当底半径 r6 l ，高 h3 l 时，圆柱3333体的体积最大

6、五、证明题（本题4 分）证明：设 F ( x)xarctan x ，则有 F ( x)11x 21x 21 x2当x时， F ( x)0 ，故 F (x) 单调增加，所以当x0时有 F ( x) F ( 0)0 ，即0不等式 xarctan x 成立，证毕;.高 等 数 学 基 础 练 习 题一、单项选择题：（每小题3 分，共 15分）1设函数 f (x)的定义域为 (,) ，则函数 f (x)f (x) 的图形关于（）对称。（ A ） yx（ B） x 轴（ C） x 轴（ D ）坐标原点2当 x 0 时，下列变量中是无穷小量的是（）。（ A ） 1（ B ） sin xxx（ C） ex1

7、（ D） xex ，则 lim f (1x) f (1)x 23设 f ( x)（）。x0x（ A ） 2e（ B ） e（ C） 1 e（ D） 1 e4 d42xf (x 2 )dx（）。dx（ B ） 1 f ( x)dx（ A ） xf (x 2 )（ C） 12( )（D ）2fxf ( x) dxx25下列无穷积分收敛的是（）。（ A ）ex dx（ B）e x dx00（ C）1 dx（ D ）11 dx1xx二、填空题： （每空3 分，共 15 分）1函数 y9x 2的定义域是 _。1)ln( x2函数 yx1x0的间断点是 _ 。sin xx03曲线 f ( x)x1在点 (

8、1,2)处的切线斜率是 _ 。4函数 y (x1)21的单调减少区间是_ 。5 (sin x) dx_ 。三、计算题：（每小题9 分，共 54 分）1计算极限：limsin 6xx0 sin 5x;.sin x2x2设 yx 2，求 y3设 ysin 2 ex ，求y4设隐函数y f ( x) 由方程 y cos xey 确定，求 dy5计算不定积分：x cos3xdxe 2ln x6计算定积分：dx1x四、应用题：（本题 12 分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题 （本题 4 分）当 x 0 时，证明不等式xarctanx;.

9、高等数学基础样题一、单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）1.函数 y2 x22 x的图形关于（）对称(A)坐标原点(B)y 轴(C)x 轴(D)yx2.在下列指定的变化过程中，（）是无穷小量(A)x sin 1(x0)(B)xsin 1( x)xexx(C)ln x( x0)(D)( x)3.下列等式中正确的是（）(A)1x x(B)dxd()lndd(ln x)xx(C)d(3x )3x dx(D)d(x )dxx4.若f ( x)dxF (x)c ，则1x )dx（）f (x(A) F ( x )(B)F (x)c(C)2F ( x )c(D)2F (x )5.下列无穷限积分收敛的

10、是（）(A)1 dx(B)ex dx1x01(C)11dx(D)1dxxx2二、填空题（每小题3 分，共 15 分）x11.函数 y的定义域是ln( x1)2.若函数 f (x) (1 x) x k1xx0 ，在 x0处连续，则 kx03.曲线 f (x)x 在 (1, 1) 处的切线斜率是4.函数 yln(1x 2 ) 的单调增加区间是5.(cos x) dx三、计算题（每小题9 分，共 54 分）1.计算极限 limsin( x2)2x 2x4;.x2sin x2.设 yx，求 y e3.设 y sin ex 2，求4.设是由方程 ln x e yy 3 确定的函数，求cos 15.计算不

11、定积分x dx x 2e6.计算定积分x ln xdx 1四、应用题（本题12 分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（本题4 分）当 x0 时，证明不等式xln(1x) ;.高等数学基础样题答案一、单项选择题1.B2.A3. B4. C5. D二、填空题1.(1, 2)( 2 ,)2. e3.14. (0 ,)5. cosxc2三、计算题12.2xx 2cos xsin x2xex2cosex21dx1.ex3.4.2y4x(3ye)5.sin1c6.2e34x99四、应用题当底半径 r6 l ，高 h3l 时，圆柱体的体积最大

12、33;.高等数学基础第一次作业第 1 章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（）中的两个函数相等A.f ( x)( x) 2 ， g( x) xB. f ( x)x2 ， g( x)xC. f ( x) ln x3 ， g(x) 3ln xD. f ( x)x 1， g( x)x21x1设函数f ( x) 的定义域为 (,) ，则函数f (x)f (x) 的图形关于（）对称A.坐标原点B.x 轴C.y 轴D.yx下列函数中为奇函数是（）A.yln(1x2 )B.yx cos xC.yaxa xD.yln(1x)2下列函数中为基本初等函数是（）A.yx1B.yxC.yx2

13、D.y1,x01 ,x0下列极限存计算不正确的是（）A.limx 21B.lim ln(1x)02xx2x0C.lim sin x0D.lim x sin 10xxxx当 x0时，变量（）是无穷小量A.sin xB.1xxC.x sin 1D.ln( x2)x若函数 f ( x) 在点 x0满足（），则 f ( x) 在点 x0连续。A.limf ( x)f ( x0 )B.f ( x) 在点 x0的某个邻域内有定义xx0C.limf ( x)f ( x0 )D.limf ( x)limf (x)xx0xx0x x0（二）填空题x 29ln(1 x) 的定义域是函数 f ( x)3x已知函数

14、f ( x 1)x2x ，则 f (x);. lim (11) xx2 x1若函数 f ( x)(1x) x ,x0 ，在 x0处连续，则 kxk ,x0函数 yx1 ,x 0sin x ,x的间断点是0若 limf ( x)A，则当 xx0 时， f ( x)A 称为x x0（三）计算题设函数ex ,x0f (x)x ,x0求： f ( 2) , f (0) , f (1) 求函数 ylg lg 2 x1 的定义域x在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数求 lim sin 3x x 0 sin 2x2x1求

15、 lim求 lim tan3x x0x求 lim1x21sin xx0求 lim ( x1) x x x 3求 limx 26x8 x 4x 25x4设函数(x2) 2 ,x1f ( x)x ,1x 1x1,x1讨论 f (x) 的连续性，并写出其连续区间;.高等数学基础第二次作业第 3 章导数与微分（一）单项选择题设 f (0) 0 且极限 limf ( x) 存在，则 limf (x)（）x 0xx 0xA.f (0)B.f (0)C.f (x)D.0设 f (x) 在 x0 可导，则 limh0A. 2 f ( x0 )C. 2 f ( x0 )设 f (x)ex ，则 lim f (1

16、x0A. e1C. e2设 f ( x)x(x1)( x2)A. 99f ( x02h)f ( x0 ) （ ）2 hB. f ( x0 )D. f ( x0 )x) f (1)（ ）xB. 2e1D. e4(x99) ，则 f (0)（）B. 99C.99!D.99!下列结论中正确的是（）A.若 f ( x) 在点 x0 有极限，则在点x0 可导B.若 f ( x) 在点 x0连续，则在点x0 可导C. 若 f ( x) 在点 x0可导，则在点x0 有极限D. 若 f ( x) 在点 x0 有极限，则在点x0 连续当 x0时，变量（）是无穷小量A.sin xB.1xxC.x sin 1D.l

17、n( x2)x若函数 f ( x) 在点 x0满足（ ），则 f ( x) 在点 x0连续。A.limf ( x)f ( x0 )B.f ( x) 在点 x0的某个邻域内有定义x x0C.limf ( x)f ( x0 )D.limf ( x)lim f (x)x x0x x0x x0（二）填空题x 2 sin1,x0设函数 f ( x)x，则 f (0)0 ,x0;.设 f (ex )e2 x5ex ，则 d f (ln x)dx曲线 f ( x)x1 在 (1, 2) 处的切线斜率是曲线 f ( x)sin x 在 (, 1) 处的切线方程是x 2x ，则 y4设 y设 yx ln x ，

18、则y（三）计算题求下列函数的导数y ： y(xx3)ex ycot xx2 ln x y y y y y yx 2ln x2 xcos xx3ln xx 2sin xx 4sin x ln xsin xx23xex tan xln x求下列函数的导数y ： ye 1 x2 y ln cos x3 yx x x y3 xx ycos2 ex y cosex2 ysin nx cos nx y5sin x2 yesin 2 x yx x2ex2 yx exeex在下列方程中，是由方程确定的函数，求： y cos xe2 y ycos y ln x;.x2 2xsin yy y x ln y ln

19、xeyy 2 y 21ex sin y eyexy 3 y5 x2 y求下列函数的微分d y ： ycot xcscx yln xsin x1x yarcsinx1 y3 1x1x ysin 2 ex ytanex 3求下列函数的二阶导数： y x ln x y x sin x y arctanx y 3x2（四）证明题设 f (x) 是可导的奇函数，试证f (x) 是偶函数;.高等数学基础第三次作业第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数 f ( x) 满足条件（），则存在f (b)f ( a)(a , b) ，使得 f ( )baA. 在 (a , b) 内连续B. 在 ( a , b)

20、 内可导C. 在 ( a , b) 内连续且可导D. 在 a , b 内连续，在 (a , b) 内可导函数 f ( x)x 24x1 的单调增加区间是（）A.(, 2)B.(1, 1)C.( 2 ,)D.(2,)函数 yx 24x 5 在区间 (6 , 6) 内满足（）A.先单调下降再单调上升B.单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升函数 f ( x) 满足 f(x)0 的点，一定是f ( x) 的（ ）A.间断点B.极值点C. 驻点D. 拐点设 f (x) 在 (a , b) 内有连续的二阶导数，x0( a , b) ，若 f ( x) 满足（ ），则 f (x) 在x0 取到极

21、小值A. f ( x0 )0 , f (x0 )0B. f ( x0 )0, f ( x0 )0C. f (x0 )0 , f (x0 )0D. f ( x0 )0, f (x0 )0设 f (x) 在 (a , b) 内有连续的二阶导数，且 f( x) 0 , f( x)0 ，则 f ( x) 在此区间内是（）A.单调减少且是凸的B.单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的设函数 f ( x)ax3( ax) 2ax a 在点 x1处取得极大值2 ，则 a（ ）A.1B.13C.0D.13（二）填空题设 f (x) 在 (a , b) 内可导， x0(a , b) ，且当

22、 x x0 时 f( x)0 ，当 xx0 时f ( x)0，则 x0 是 f (x) 的点若函数 f ( x) 在点 x0 可导，且 x0 是 f ( x) 的极值点，则 f( x0 )函数 yln(1 x 2 ) 的单调减少区间是函数 f ( x)ex2的单调增加区间是若函数 f ( x) 在 a , b 内恒有 f ( x)0 ，则 f ( x) 在 a , b 上的最大值是;.函数 f ( x)2 5x3x 3 的拐点是若点 (1, 0) 是函数 f (x)ax3bx 22的拐点， 则 a，b（三）计算题35) 2求函数 y( x 1) 2 ( x的单调区间和极值求函数 y3 ( x

23、22x) 2在区间 0 , 3内的极值点，并求最大值和最小值试确定函数y ax 3bx 2cxd 中的 a , b , c, d ，使函数图形过点( 2,44 ) 和点(1, 10) ，且 x2 是驻点， x1是拐点求曲线 y 22x 上的点，使其到点 A(2,0) 的距离最短圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？从面积为 S 的所有矩形中，求其周长最小者从周长为L 的所有矩形中，求其面积最大者（四）证明题当当x0 时，证明不等式xln(1x) x0 时，证明不等式exx1;.高等数学基础第四次作业第 5 章不定积分第 6 章定积分及其应用（一）单项选择题若 f (x) 的一个原函数是1 ，则 f (x) （）x1A.ln xB.x 2C.1D.2xx3下列等式成立的是（）A.f ( x)dxf ( x)B.df ( x)f ( x)C.d f (x)dxf