高等机构学 01 螺旋理论基础.ppt

1、高等机构学,YSU,燕山大学机械工程学院,螺旋理论基础 基于螺旋理论的自由度分析原理 空间机构的位置分析 运动影响系数原理 空间机构动力学 基于约束螺旋理论的并联机构型综合 空间机构的奇异分析,本门课程的主要学习内容,空间直线的螺旋表示 螺旋表示运动和作用力 螺旋的相关性 螺旋的相逆性,螺旋理论基础,直线的矢量方程,两个点：,两点之间的距离或直线段的长度为,假设：,L、M、N是有向线段S的方向数，而l、m、n是S的方向余弦，且满足,则直线方程可写为：,或,S0 称为矢量 S 对原点的线矩,直线的矢量方程,可写为行列式的形式,展开，有,其中P、Q、R为,直线的矢量方程,若S是单位矢量, ，则线矩

2、S0的模表示直线到原点的距离； 若矢量S过原点，其线矩为零： 当S及S0给定后，直线在空间的方向及位置都被确定，而且它们是一一对应的； 矢量S与其对原点之线矩S0是互为正交的：,直线的矢量方程,可知：,决定直线的矢量方程中的两个参数S及S0是齐次坐标，标量 构成的 S 及 S0 依然满足直线方程 表示是同一条直线。,这种满足正交条件的齐次坐标(S ; S0) 表示了直线在空间的位置及方向，(S ; S0)称为直线的 Plcker 坐标。,直线的Plcker坐标,直线的 Plcker坐标(S ; S0)中的两个矢量S 和S0 都可以用直角坐标系的三个分量表示，这样Plcker坐标的标量形式即为

3、(L, M, N ; P, Q, R )，L、M、N是有向线段S的方向数，P、Q、R是该线段S对原点的线矩在X、Y、Z 三轴的分量。 这六个量L、M、N、P、Q、R 之间存在关系式,所以六个分量中只有五个是独立的，在三维空间中就有5 条不同方向、位置和长度的有向线段。,直线的Plcker坐标,两个矢量S和S0决定了一条直线在空间的方向和位置（对偶矢量） 空间的一条直线与一组对偶矢量(S ; S0)有着一一对应的关系,直线的Plcker坐标,直线的Plcker坐标,直线到原点的距离,若有过原点的矢量P垂直相交于直线(S ; S0)，则矢量OP的模|P|是从原点O到直线的距离，由于矢量P的端点在直

4、线上，即有,将此等式两边左面叉乘S,展开左边矢量的三重叉积，有,即,直线到原点的距离,解出P,这里e是单位矢量，其方向由 决定， 这样直线S到原点的距离为,因为直线S与线矩相互垂直，上式可写为,直线到原点的距离,当S0=0，则 ，直线到原点的距离为零，即直线过原点，此时直线的 Plcker 坐标可写为,可知：,或,反之，若S =0，而 为有限值，则 ，此时直线位于距原点无穷远的平面上，写成Plcker 坐标为(0 ; S0)。 此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷小的矢量，它对原点的线矩皆为 S0。S0与原点位置选择无关，这说明(0 ; S0)为自由矢量。,两直线的互矩,设空间有相错的两

5、条直线，它们不平行也不相交,若它们的公垂线矢量为 ，其中 为单位矢量， 而其系数 是两线间的垂直距离，两线之间的扭向角记为 A、B两点是两直线间公垂线的两个垂足,两直线的互矩,直线S2对S1线上垂足A 点的线矩 与直线S1的点积，称为直线S2关于S1的矩,同样，直线S1对直线S2上垂足B点的线矩与直线S2的点积，称为直线S1关于S2的矩,显然此两点积是相等的,两直线的互矩,两直线的互矩(mutual moment)，记以Mm,可以看出：两直线的互矩是由两直线Plcker 坐标的两个矢量和两线矩交换下标后的点积之和,展开此式并考虑到,得到互矩的一般表达式为,两直线的互矩,当S1和S2都是单位矢量

6、时,其中S1与S2间的扭向角 的值是以 为正向，按右手螺旋方向度量,互矩Mm还可写为,则,两直线的互矩,若两直线的S及S0均以标量表示,互矩还可以写成代数式,互矩的几种表达形式,两直线的互矩,互矩只与两直线间的距离及扭向角有关，与原点位置的选择无关，即互距与坐标系的选择无关。 如果两直线平行，或者说两直线相交于无穷远处， 则它们的互矩为零。 如果两直线相交，其垂直距离 就等于零，它们的互矩也为零 所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说两直线共面，则两直线的互矩为零。,由互矩表达式 可以看出：,线矢量和螺旋,线矢量：如果空间一个单位矢量被约束在一条方向、位置固定的直线上，这个被直线约束的矢

7、量定义为线矢量，简称线矢，也记以 (S ; S0) 。,在前面建立的空间直线矢量方程的基础上，进一步引申,在表示线矢量的对偶矢量(S ; S0)中 S 是单位矢量，而 S0一般不是单位矢量 这个线矢量在空间的位置和方向，可由矢量 S 和其上一点矢径 r 来决定。这里矢径 r 反映在“线矩” S0中，即 ，显然 S 与 S0为正交，,线矢量和螺旋,线矢量在几何上反映了一直线在空间的方向和位置。 矢量 S 表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线矩S0 则与原点的位置有关。若原点的位置改变，由B点移至A点，而矢量 S 对点 A之线矩 SA则转变为,线矢量和螺旋,螺旋：原部矢量和对偶部矢量点积不为零

8、的对偶矢量 在数学上定义为螺旋，（也称旋量）。记为 $,当对偶矢量(S ; S0)中的两个矢量不满足矢量的正交条件，则可以得到更一般的情况,在表示螺旋的对偶矢量(S ; S0)中 S 是单位矢量，而 S0一般不是单位矢量 这样，线矢量就可看成是螺旋的特殊情况，当组成螺旋的两对偶矢量的点积为零时，螺旋退化为线矢量。 为了能够清楚地区分线矢量和螺旋，将 的螺旋的对偶部矢量以 S0 标记，以表示与线矢量的区别,线矢量和螺旋,在螺旋的两矢量中，S与原点的选择无关，而矢量S0 却是与原点的位置有关。 当将原点由 B 移至 A 时，螺旋 变为 ，依然满足,将上式两边点乘 S，得到,虽然 S0 与原点位置有

9、关，但 与原点的位置无关，是原点不变量。,线矢量和螺旋,螺旋的节距pitch（原点不变量）,如果某旋量的原级矢量S为单位矢量， ，这是单位旋量，此时,线矢量和螺旋,线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量， 在空间也对应有一条确定的轴线,将S0 分解为垂直和平行于 S 的两个分量， hS 和 S0 -hS,线矢量和螺旋,其中 S0 hS 是垂直于S的，这是因为,因此螺旋的轴线方程即是,由此,线矢量和螺旋,影响螺旋的四个因素：,（1）螺旋轴线的位置 （2）螺旋的节距 （3）螺旋的方向 （4）螺旋的大小,如果是单位螺旋，则只包含前三个因素,螺旋可以写为,线矢量和螺旋,对于螺旋 ，当节距 h

10、变化时,若 h=0 ，螺旋变为,若 h=，,线矢量和螺旋,例： 表示什么样的螺旋？,螺旋大小,螺旋方向,螺旋节距,螺旋轴线,表示节距为 a，轴线过原点的螺旋,线矢量和螺旋,例： 表示什么样的螺旋？,螺旋大小,螺旋方向,螺旋节距,螺旋轴线,表示节距为1，轴线过原点的单位螺旋,线矢量和螺旋,例： 表示什么样的螺旋？,螺旋大小,螺旋方向,螺旋节距,螺旋轴线,这也是一个轴线过原点沿方向 节距为1的单位螺旋,线矢量和螺旋,例： 表示什么样的螺旋？,螺旋大小,螺旋方向,螺旋节距,螺旋轴线,表示节距为 1/2，不过原点的非单位螺旋,螺旋的代数运算,螺旋 可以用一对对偶矢量来表示,其中 被称为对偶标识符，且有

11、,螺旋的对偶矢量表示,螺旋的代数运算,两个螺旋的原部和对偶部分别求和，称为两螺旋的代数和。,两个节距为非零有限值的螺旋之和一般仍然是节距为非零有限值的螺旋，但也可能出现节距为零的线矢量。,不共面的两线矢之和一般为节距不为零的螺旋，,螺旋的代数和,螺旋的代数运算,若两线矢共面，且两原部之和非零时，其和依然为线矢量。,对于线矢量(S1; S01)和(S2; S02) ，由于原部和对偶部矢量满足正交性，有,又已知两直线共面，则其互矩为零,则两线矢之和满足,证明：,证毕,螺旋的代数运算,对于共面的两线矢量，和线矢过两线矢的交点,由于共面两线矢的和仍为线矢量，其矢量方程为,若以 r1 表示两线矢交点的矢

12、径。 r1 应分别在两线矢上，即同时满足两线矢方程,将两式相加有,证明：,此式表明两线矢的交点 满足和线矢作用线方程，所以和线矢过两线矢的交点。证毕,螺旋的代数运算,两螺旋的原部矢量与对偶矢量下标交换后做点积之和称为两螺旋的互易积,互易积是螺旋理论中最有意义的一种运算。若$1及$2 是两线矢量，则,可以看出，两线矢的互易积就是两直线的互矩。两线矢共面的充要条件就是其互易积为零,螺旋的互易积,螺旋的代数运算,两个螺旋 ，它们的互易积与原点的选择无关,这两个新的螺旋的互易积为,当原点从点 O移动到点 A，这两个螺旋变成,证明：,证毕,刚体的瞬时螺旋运动,在三维空间里刚体最一般的运动形式为螺旋运动，

13、即同时存在刚体绕轴的转动与沿同轴方向的移动。刚体的纯转动和纯移动都只是螺旋运动的特殊情况。,刚体的瞬时螺旋运动,若刚体 2 相对刚体 1做绕 S 轴的瞬时转动，转动角速度为,刚体的瞬时转动,但转动轴线的空间位置还并不明确。所以应采用角速度线矢量来表示物体的转动运动，即角速度的大小与一个表示旋转轴作用线的单位线矢之积,其中 为标量，S 为单位矢量。,其中 S0为 S 对原点的线矩，与 S 正交。,刚体的瞬时螺旋运动,转动轴线方程可写为,可以看出，转动线矢量的第二项是刚体上与原点O重合的点的速度，也即是做旋转运动的物体上产生的原点重合点的切向速度,角速度线矢的第二项可以展开为,刚体的瞬时螺旋运动,

14、构成刚体的转动线矢的对偶矢量是包括角速度矢量 和刚体上与坐标原点重合点的线速度矢量 v0,当坐标系原点与转轴重合时， ，转动线矢变为,刚体的瞬时转动运动的Plcker坐标为,刚体的瞬时螺旋运动,若刚体 2 相对刚体 1做移动运动，速度v 沿单位矢量 S方向，速度矢量可以表示为,刚体的瞬时移动,此单位矢量 S 通常是选在移动副导路的中心方向。 当S 平行移动后，不会改变刚体的运动状态，因此这样的移动速度矢量是自由矢量。,刚体的瞬时螺旋运动,刚体的瞬时移动也可以看作是绕一个无穷远处的轴线的瞬时转动 由于无穷远处的轴线与 S 正交，且位于无穷远处，则此轴线的Plcker坐标为 (0;S)，绕此轴的瞬

15、时转动，就可以表示为 v(0;S) 或(0; v),刚体的瞬时螺旋运动,若刚体 2 相对刚体 1 既有相对转动又有相对移动,刚体通过回转副 1 绕轴S1 旋转,刚体同时又通过移动副 2 沿S2 做相对移动,刚体的瞬时转动和瞬时移动的合成,刚体的绝对瞬时运动应是此两个运动的合成，按螺旋代数和计算,刚体的瞬时螺旋运动,其中下角标 i 表示合成的绝对瞬时运动，其原部及对偶部分别是,可以看出,与 一般不满足正交的条件，为一般螺旋运动,刚体的瞬时螺旋运动,则合成运动的节距为,可以看出若转动和移动的夹角 ，则合运动螺旋的节距为零，说明合成后依然是一个纯转动，但转动的轴线发生偏移，偏移量大小与 v2 大小有

16、关 。,合成运动的轴线为 ， 将前面得到的 、hi 代入可得,刚体的瞬时螺旋运动,此时合成运动可表示为如下两项,右侧第一项：是绕轴线 Si 的纯转动括号中的对偶矢量部分只表示原点重合点的切向速度分量,则合成运动的轴线方程为,右侧第二项 ：是纯移动分量，移动速度大小为 而移动速度的方向也是沿 Si 方向,刚体的瞬时螺旋运动,总之，刚体最一般的运动形式为螺旋运动，表示螺旋运动的物理量是运动螺旋（twist），记为,螺旋的节矩还可表示为,螺旋轴线为,这样合成运动的对偶矢量部分仍表示物体上原点重合点的速度 （转动切向速度+沿螺旋轴移动速度）,刚体的瞬时螺旋运动,对偶部矢量表示刚体上原点重合点的线速度矢

17、量，既包含由转动产生的线速度也包含沿轴线的线速度，假设沿轴线移动速度为 vi ，是与绕轴线的转动无关的量。,由于存在关系式 ，可知 ，即运动螺旋的节距还等于与螺旋轴线共线的速度 vi 除以角速度 i,当 i 为零时， ，运动螺旋变为,可见纯移动也可看作节距无穷大的螺旋运动,刚体的瞬时螺旋运动,例：已知一刚体的角速度矢为 ，其上一点的线速度矢为 vP，两者方向不同。试求螺旋运动的节距及轴线。,与 共轴的线速度分量为,则螺旋轴线为,将线速度为 vP 的点选做坐标原点，则 vP 即是物体上原点重合点的线速度，则螺旋节距为,由于,力螺旋,与表示刚体瞬时运动相似，刚体上的作用力也可以用螺旋来表示。,刚体

18、上的作用力,此力对坐标原点之矩C0可表示为，标量 f 与单矢量 S 的线矩 S0 之积，,如刚体上有一作用力 f，它可写为标量 f 与单位矢量 S 之积,力螺旋,C0 是力 f 对原点之矩，即,此时表示此力的 Plcker 坐标为,当力 f 过原点时，力对原点之矩为零，,或,所以作用在刚体上的力如以单位线矢量表示,力螺旋,在刚体上作用两个大小相等方向相反的平行力 f1、 f2,刚体上的作用力偶,自由矢量的齐次坐标为(0 ; S)，因此力偶可表示为,显然此力偶矢量 C 是沿力偶平面的法线方向。,力偶是自由矢量，它在刚体内自由地平行移动而不会改变它对刚体作用的效果。,力螺旋,这样力偶旋量 C$ 也

19、可以认为是一个作用在刚体上的 “无限远处的”“无限小的力”引起对原点的矩，该力的作用线与力矩的方向 S 正交。,此无限远处的力所在轴线的 Plcker 坐标为(0 ; S),所以由这个力产生的力偶旋量可表示为,力螺旋,一般情况下作用于一个刚体上的空间力系都可以简化为一个力 和一个力偶,刚体上的作用力和作用力偶的合成,此力线矢及力偶螺旋又可按旋量代数和结合为一个和旋量,这里S1及S2都是单位矢量。此力和力偶可能有不同的方向,式中 Si 为单位矢量，,力螺旋,根据螺旋代数和的规则，合成力的原部和对偶部分别为,可以看出,与 一般不满足正交的条件，则为一个力螺旋,力螺旋,力螺旋的节距 hi 为,可以看

20、出若力和力偶的夹角 ，则合力螺旋的节距为零，说明合成后依然是一个作用力，但力的作用线发生偏移，偏移量大小与 C2 大小有关 。,合力螺旋的轴线为 ，将前面得到的 、 hi 代入可得,力螺旋,此时合力螺旋可表示为如下两项,右侧第一项：是一个纯作用力，沿轴线 S1方向 ， 表示 对原点之矩。,合成后作用力的作用轴线为,右侧第二项 ：是纯力偶，力偶大小为 而力偶的作用方向也是沿 S1 方向,力螺旋,刚体上作用的空间任意力系，最后可以合成为一个有确定位置的力螺旋（wrench），即一个力线矢 和与其共线的力偶矢 之和,力螺旋的节矩还可表示为,螺旋轴线为,力螺旋的对偶矢量部分表示或者说是整个力系对原点之

21、矩（线矢力产生的矩+沿线矢力方向力偶矩）,力螺旋,假设力螺旋的对偶部矢量中沿线矢力轴线方向的力偶分量为 Ci ，这是线矢力大小 fi 无关的量。,由于存在关系式 ，可知 ，即力螺旋的节距还等于与螺旋轴线共线的力偶Ci 除以力的大小 fi,当 fi 为零时， ，力螺旋变为,可见纯力偶也可看作节距无穷大的力螺旋,运动螺旋和力螺旋的对比,比较运动学中的运动螺旋及静力学中的力螺旋，看到两者都可以用一个数量与一个单位旋量的乘积表示，有相似的数学关系。 运动螺旋和力螺旋的节矩都是原点不变量，都是沿螺旋方向的两个量之比。,运动螺旋的节矩,力螺旋的节矩,运动螺旋和力螺旋的对比,运动学及静力学中的物理量对比,螺

22、旋系及其相关性,螺旋系（screw system）的概念可以从运动学引出,螺旋系,因此，决定刚体运动的所有螺旋所组成的集合就是螺旋系。,对于一个开链机构，或开链机器人，末端刚体的运动可以表示为诸构件运动的叠加；当每个运动表示为螺旋时，末端的运动就是诸螺旋的线性组合。,适合线性组合规则的诸螺旋构成一个螺旋系。,螺旋系及其相关性,线性无关的螺旋最多只有六个。,按螺旋的数目螺旋系可分为：仅含一个螺旋的单螺旋系，含两个线性无关螺旋的双螺旋系，也称螺旋2系或2系螺旋；含3个线性无关螺旋的3系螺旋，以及4系螺旋，5系螺旋和6系螺旋等等,在这些螺旋系中螺旋2系及螺旋3系是最重要又是最基本的，研究的也比较充分

23、,螺旋系及其相关性,例：一个串联机械臂的螺旋系,当所有运动副都表示为螺旋时，按理论力学，其末端件的运动是所有连接构件运动的叠加，在这里也就是所有螺旋的线性组合，这些螺旋就构成一个典型的螺旋系。,由于每个运动副有一个相对转动角速度 i，运动可以用一个螺旋$i 表示，那么这个运动副的相对运动就可以表示为 i$i。,螺旋系及其相关性,例：一个串联机械臂的螺旋系,末端件的瞬时运动可以由下面的螺旋方程求得,这里的 n 个螺旋，$1 , $2 , , $n，就构成了一个螺旋系。当 n 6 时，它们线性无关，构成一个 n 系螺旋。,其中,螺旋系及其相关性,对于 n 个螺旋 ， ， 若可以找到一组不全为零的实

24、数 i ，使得和螺旋为零， ，则这 n 个螺旋为线性相关,螺旋的相关性,按螺旋的加法规则，则这些螺旋的原部和对偶部的和分别为零，即,螺旋系及其相关性,螺旋系的线性相关可以由用Plcker坐标所表示的螺旋矩阵的秩来判断。,如前所述螺旋的Plcker坐标可以表示为这样的6个元素（l m n; p q r）。n个螺旋系的相关性，就可以由螺旋系的Plcker坐标表示的矩阵的秩来判断,螺旋的Plcker坐标有6个分量，显然三维空间中线性无关的螺旋的数目最多6个。,螺旋系及其相关性,螺旋的相关性与坐标系的选择无关,设有n个螺旋，其原部和对偶部对于坐标系O表示为,已知这n个螺旋是线性相关的，按螺旋线性相关的

25、定义，必可找到一组不全为零的数 i ，使得和螺旋为零,当坐标系由O点移至A点后，各螺旋相应地表示为,证明：,螺旋系及其相关性,螺旋的相关性与坐标系的选择无关,按螺旋做和原理和螺旋为,证明（续）：,和螺旋原部及对偶部三项均为零，所以仍保持有,证毕,螺旋系及其相关性,将空间直线的相关性按其表达螺旋的秩来分类,Grassmann线几何原理（线矢量的相关性）,线簇秩为 1 时，在3维空间仅有一条直线。,线簇秩为 2 时，有两种情况： (a) 空间相错的两条直线 (b) 平面汇交的线束,螺旋系及其相关性,线簇秩为 3 时，常见有四种情况。 (a) 空间不平行不相交的三条直线（单叶双曲面） (b) 汇交点

26、在两个平面的交线上的两个平面线束 (c) 空间共点线束 (d) 共面线束,螺旋系及其相关性,线簇秩为 4 时，也称为线汇，常见有四种情况。 (4a) 四条相互在空间不平行不相交的直线 (4b) 能同时与另两条直线相交的若干条直线 (4c) 有1条公共交线的3个平面线束 (4d) 包括共点及共面的直线簇，而且汇交点在其平面上,螺旋系及其相关性,线簇秩为 5 时，也称为线性丛，常见有两种情况。 (5a) 一般线性丛，线性无关的空间五条不相交的直线 (5b) 特殊线性丛，所有直线能与一条直线相交（因为选该公共交线为Z轴时，所有直线对Z轴的线矩为零）,螺旋系及其相关性,偶量的相关性,偶量的情况比较简单

27、，由于偶量为自由矢量，方向相同的偶量都是线性相关的，因此只有如下三种情况： (a) 相同方向的偶量只有一个是独立的 (b) 平面中存在两个独立的偶量 (c) 三维空间中存在三个独立的偶量,螺旋系及其相关性,线矢量和偶量的混合螺旋系,两平行线矢和一法向偶量 如果某物体承受了 3 个螺旋，$1， $2 和$3 。前2个是节距为零的线矢量，第 3 个是节距为无穷大的偶量，而且后者与前2个螺旋轴线组成的平面相垂直,可以看出：线性无关的只有两个,螺旋系及其相关性,线矢量和偶量的混合螺旋系,共面三线矢和一法向偶量 如果空间有四个螺旋，$1， $2 ，$3和$4 。前3个是节距为零的线矢量且它们共面，第 4

28、 个是节距为无穷大的偶量，而且与前3个螺旋轴线所在的平面相垂直,可以看出：线性无关的只有三个,螺旋系及其相关性,线矢量和偶量的混合螺旋系,空间平行三线矢及一个相垂直的偶量 这四个螺旋，$1， $2 ，$3和$4 中，前3个是节距为零且相互平行的线矢量，它们分布在空间不同的平行平面上，第 4 个是节距为无穷大的偶量，而且后者与前3个螺旋轴线相垂直。,可以看出：线性无关的只有三个,螺旋系及其相关性,螺旋系及其相关性,螺旋系及其相关性,螺旋的相逆性,反螺旋,刚体被一个螺旋副约束，只允许沿着螺旋 作螺旋运动，其运动螺旋为 有一力螺旋 沿着单位螺旋 作用于物体。,在运动副所允许的位移上，此力螺旋对物体所

29、做的瞬时功率应等于力 f2 和力矩 C2 引起的瞬时功率之和,螺旋的相逆性,瞬时功率为,展开并整理,进一步化简,螺旋的相逆性,另外，此运动螺旋与力螺旋的互易积可表示为,展开并整理,进一步化简,螺旋的相逆性,通过对比前两页结果，可以得到一个重要结论： 表示力螺旋和运动螺旋的互易积正是该两螺旋产生的瞬时功率,如果所研究的两螺旋 互易积为零,这表示力螺旋对作螺旋运动物体的瞬时功率为零 这里称这个与螺旋1构成互易积为零的螺旋2为螺旋1的反螺旋,螺旋的相逆性,当两个螺旋的互易积为零时： （1）若一个螺旋表示了机械系统的约束反力，另一个则是为机械系统所允许的运动； （2）反之，若一个螺旋表示了物体的运动，

30、另一个则是机械系统所产生的约束。,当两个螺旋的互易积不为零时： （1）若物体发生了运动，则这个做功的力就是物体的驱动力； （2）若该力螺旋表示机械系统的约束反力，则满足互易积不为零的运动螺旋就是被系统约束的运动。,螺旋的相逆性,两螺旋互易积为零的解析式还可以写为,可知：螺旋的相逆性只与两个螺旋的参数有关，而与坐标系的选择无关。,由于,螺旋的相逆性,线矢量和偶量的相逆性概括如下： （1）两线矢量相逆的充要条件是他们共面，不共面的两线矢量必不相逆； （2）两个偶量必相逆； （3）线矢量与偶量仅当垂直才相逆，不垂直不相逆； （4）线矢量和偶量皆自逆；,螺旋的相逆性,两个线矢量,两线矢量相逆的充要条件

31、是他们共面（相交或平行）,可知,根据前面的互易积公式，有,螺旋的相逆性,两个偶量,可知，此式恒等于零,两个偶量必相逆。,根据前面的互易积公式，有,螺旋的相逆性,一个线矢量和一个偶量,根据互易积公式，有,线矢与偶量仅当垂直才相逆,可知互逆的条件为,螺旋的相逆性,由于满足,线矢量和偶量皆自逆,一个线矢量和一个偶量,螺旋的相逆性,一般螺旋的相逆性概括如下： （1）任何垂直相交的两旋量必相逆，与节距大小无关； （2）共面时节距大小相等而符号相反的两旋量才相逆； （3）同轴时节距大小相等而符号相反的两旋量也相逆； （4）当给出节距为 h1的旋量，在与其相错的空间另一条确定的直线上，存在唯一的节距为 h2的反螺旋；,螺旋的相逆性,例：有一单位螺旋 ，有一直线 求过 $2与$1 相逆的反螺旋 $r ?,由于$r 经过$2 ，则直线$2 为$r 的轴线，有,式中只有h2是未知的，且可以根据下式进行求解,螺旋相逆性条件（4）当给出节距为h1的旋量，在与其相错的空间另一条确定的直线上，存在唯一的节距为h2的反螺旋；,螺旋的相逆性,反螺旋系,用一螺旋副 $1将一物体联于机架，物体具有一个自由度，若转动角速度为，运动螺旋为$1，其Plcker 坐标为,如另外有一力螺旋 f$r作用于物体上，其Plcker 坐标为,若f$r是运动螺旋$1的反螺旋，则,因此，则当