2016南京三模数学试卷

1、.南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试数学2016.05注意事 ：1本 卷共 4 ，包括填空 （第1 题第 14 ）、解答 （第15 题 第 20 ）两部分本 卷 分 160 分，考 120 分 2答 前， 必将自己的姓名、学校、班 、学号写在答 的密封 内 的答案写在答 上 目的答案空格内考 束后，交回答 参考公式 本数据 x1， x2， xn 的方差 s21n1nn (xi x )2，其中 xn xii 1i 1一、填空 （本大 共14 小 ，每小 5 分， 70 分. 不需写出解答 程， 把答案写在答 的指定位置上）1已知全集 u 1，2，3，a ，集合 m 1，3 若 ?um 2

2、 ，5 ， 数 a 的 2 复数 z 足 z(1 i) 2 4i，其中 i 虚数 位， 复数z 的共 复数 3甲、乙两位 手参加射 拔 ，其中 5 比 的成 （ 位： ）如下表： 手第 1 轮第 2 轮第 3 轮第 4 轮第 5 轮甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8 甲、乙两位 手中成 最 定的 手的方差是4从 2 个白球， 2 个 球， 1 个黄球 5 个球中随机取出两个球， 取出的两球中恰有一个 球的概率是5 行如 所示的 代 ， 出的 果是6已知 ， 是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直 ，l ， m? 出下列命 ： ? l m； ? l m； m

3、 ? l ； l ? m其中正确的命 是 (填写所有正确命 的 序号 ) s 1i 2whiles100i i 2s s iendwhileprinti（第 5 题图）7 数列 an 的前 n 和 sn， 足 sn 2an 2， a8 a68 f 是双曲 的一个焦点，点 p 在双曲 上， 且 段 pf 的中点恰 双曲 虚 的一个端点，.则双曲线的离心率为_9如图，已知a， b 分别是函数f( x)3sinx( 0)在 y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且aob ，则该函数的周期是210已知 f(x)是定义在r 上的偶函数，当x0 时， f(x) 2x 2，则不等式f(x 1) 2

4、的解集是yadcmo（第 9 题图） bxab（第 11 题图）11如图，在梯形 abcd 中， ab cd，ab 4， ad 3，cd 2， am 2 md 若 ac bm 3，则ab ad 12在平面直角坐标系xoy 中，圆 m：(x a)2 (y a 3)2 1(a 0)，点 n 为圆 m 上任意一点 若以 n 为圆心， on 为半径的圆与圆m 至多有一个公共点，则a 的最小值为xx1， x a，b，使得函数 g(x)恰有 3 个零点，13设函数 f(x) eg(x) f(x) b若存在实数 x 1， xa，则实数 a 的取值范围为若实数 x， y 满足 2x2 xy y2 1，则x 2

5、y145x2 2xy 2y2的最大值为二、解答题（本大题共6 小题，计90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 (本小题满分14 分)在 abc 中，已知 a，b，c 分别为角a，b，c 的对边 若向量 m(a，cosa)，向量 n (cosc，c)，且 m n 3bcosb（ 1）求 cosb 的值；（ 2）若 a， b， c 成等比数列，求11的值tanatanc16 (本小题满分14 分).a1c1b1acdb（第 16 题图）.如图，在直三棱柱abca1b1c1 中， d 为棱 bc 上一点（ 1）若 abac ，d 为棱 bc 的

6、中点，求证：平面adc 1平面 bcc 1b1；（ 2）若 a1b平面 adc 1，求 bddc 的值17 (本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c： x2 y2 1(a b0) 的离心率为2，2b22a点 (2， 1)在椭圆 c 上（ 1）求椭圆 c 的方程；（ 2）设直线 l 与圆 o： x2 y2 2 相切，与椭圆 cy相交于 p， q 两点若直线l 过椭圆 c 的右焦点f，求 opq 的面p积；求证：opoq foxq（第 17 题图）18 (本小题满分16 分)如图，某森林公园有一直角梯形区域abcd ，其四条边均为道路，adbc ， adc 90，ab

7、5 千米， bc 8 千米， cd 3 千米现甲、乙两管理员同时从a 地出发匀速前往d 地，甲的路线是ad，速度为6 千米 /小时，乙的路线是abcd ，速度为v 千米 /小时（ 1）若甲、乙两管理员到达d 的时间相差不超过15 分钟，求乙的速度v 的取值范围；（ 2）已知对讲机有效通话的最大距离是5 千米若乙先到达d ，且乙从 a 到 d 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围bcad19 (本小题满分16 分)（第 18 题图）设函数 f(x) x3 mx2 m(m 0).（ 1）当 m 1 时，求函数f(x)的单调减区间；（ 2）设 g(x)|f(x)|，求函数

8、g(x)在区间 0， m 上的最大值；（ 3）若存在t0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求 m 的取值范围20 (本小题满分16 分)已知数列 an项的和为nn sn+1 的前 ns，记 b n（ 1）若 a 是首项为 a，公差为 d 的等差数列，其中a， d 均为正数na当 3b1， 2b2 ， b3 成等差数列时，求d的值；求证：存在唯一的正整数n，使得 an+1nn+2 b a（ 2）设数列 aq(q2)的等比数列，若存在r ， t(r， t n* ， r t)使得 bt t 2，n 是公比为brr 2求 q 的

9、值南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试数学附加题2016.05注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40 分，考试时间30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在 a 、 b、 c 、 d 四小题中只能选做2 题，每小题 10 分，共计卷纸指20 分请在答定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤a 选修 4 1：几何证明选讲如图，已知半圆 o 的半径为2，p 是直径 bc 延长线上的一点， pa 与半圆 o 相切于点 a， h 是oc 的中点， ah

10、bcabohcp.（第 21 题 a 图）.（ 1）求证： ac 是 pah 的平分线；（ 2）求 pc 的长b选修 4 2：矩阵与变换1 2已知曲线c： x2 2xy 2y2 1，矩阵a所对应的变换t 把曲线c 变成曲线c1，求曲线1 0c1 的方程c选修 44：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合已知椭圆c 的参数方程为x2cos，（ 为参数），点 m 的极坐标为ysin(1，)若 p 是椭圆 c 上任意一点，试求 pm 的2最大值，并求出此时点p 的直角坐标d选修 45：不等式选讲求函数 f(x) 5x8 2x的最大值【必做题】第22 题、第

11、23 题，每题10 分，共计20 分请在答 卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10 分）从 0， 1， 2，3， 4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记x 为所组成的三位数各位数字之和（ 1）求 x 是奇数的概率；（ 2）求 x 的概率分布列及数学期望23（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xoy 中，点 p(x0 02nnn 00，y)在曲线 y x (x 0)上已知 a(0，1)，p (x，y )，n n* 记直线 apn 的斜率为kn（ 1）若 k1 2，求 p1 的坐标；（ 2）若 k1 为偶数，求证： kn 为偶数南京市 2016 届

12、高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准.说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）31 52 3 i3 0.024 55 863

13、7 48 59410 1， 31112 3213 ( 112， 2)14 2e4二、解答题（本大题共6小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 (本小题满分14 分 )解：（ 1）因为 m n 3bcosb，所以 acosc ccosa 3bcosb由正弦定理，得 sinacoscsinccosa 3sinbcosb，3分所以 sin(a c) 3sinbcosb，所以 sinb 3sinbcosb因为 b 是 abc 的内角，所以 sinb 0，所以 cosb 137分（ 2）因为 a， b，c 成等比数列，所以b2 ac由正弦

14、定理，得sin2bsinasinc9 分因为 cosb 13，b 是 abc 的内角，所以 sinb 2 3 211分又 1 1 cosacosc cosasinc sinacosctana tancsincsinasincsina.sin(a c)sinbsinb1sinasincsinasincsin2bsinb3 4 2 14 分16 (本小题满分14 分 )证明 ：（ 1）因为 ab ac，点 d 为 bc 中点，所以 ad bc 2分因为 abc a b c1是直三棱柱，所以bb平面 abc111因为 ad平面 abc，所以 bb1 ad4分因为 bc bb b，bc 平面 bccb

15、 ， bb平面 bccb ，111111所以 ad平面 bcc b 11因为 ad平面 adc 1，所以平面 adc 1平面 bcc 1b16分(2) 连结 a1c，交 ac1 于 o，连结 od ，所以 o 为 ac 1 中点8分因为 a1b平面 adc1， a1b平面 a1bc，平面 adc1平面 a1bc od ，所以a1bod 12 分因为 o 为 ac1 中点，所以 d 为 bc 中点，所以bddc114 分17 (本小题满分 14 分 )解：（ 1）由题意，得 c2， 4 1 1，解得 a2 6， b2 3a2a2b2所以椭圆的方程为x2y26312 分（ 2）解法一椭圆 c 的右

16、焦点 f( 3， 0)设切线方程为y k(x3) ，即 kx y3k0，所以 |3k |2，解得 k2，所以切线方程为y2(x 3)4k2 1.分y 2(x3)，x4332，x4 3 32，由方程组 x2 y2解得5或5 1，y 6 6y 6 663，55所以点 p，q 的坐标分别为 (43 32 6 64 3 3 2， 6 6)，)， (5555所以 pq 6665分因为 o 到直线 pq 的距离为2，所以 opq 的面积为 6 35因为椭圆的对称性，当切线方程为y2(x 3)时， opq 的面积也为 653综上所述， opq 的面积为 6385分解法二椭圆 c 的右焦点 f(3， 0)设切

17、线方程为y k(x 3) ，即 kx y3k0，所以 |3k |2，解得 k2，所以切线方程为y 2(x 3) 4k2 1分把切线方程y2(x3)代入椭圆c 的方程，消去y 得 5x2 83x 6 0设 p(x1，y1) ，q(x2， y2)，则有 x1 x2 85 3由椭圆定义可得，pq pf fq 2a e( x1 x2) 26 228 5 36 5 6 6分因为 o 到直线 pq 的距离为2，所以 opq 的面积为 653因为椭圆的对称性，当切线方程为y2(x 3)时，所以 opq 的面积为 6 35综上所述， opq 的面积为 6385分解法一： (i) 若直线 pq 的斜率不存在，则

18、直线pq 的方程为 x2或 x2当 x2时， p (2，2)， q(2，2).因为 op oq 0，所以 op oq当 x2时，同理可得opoq 10分(ii) 若直线 pq 的斜率存在，设直线 pq 的方程为 ykx m，即 kx y m 0因为直线与圆相切，所以|m| 2，即 m2 2k2 21 k2将直线 pq 方程代入椭圆方程，得(12k2) x2 4kmx 2m2 6 0.设 p(x1， y1) ， q(x2， y2)，则有 x1 x2 4km ， x1x22m2 6121 2k21 2k2分因为 op oq x1x2 y1y2x1x2( kx1m)( kx2 m) ( 1 k2)

19、x1x2km(x1 x2)m2 ( 1 k2) 2m2 6 km ( 4km ) m21 2k212k2将 m2 2k2 2 代入上式可得 op oq 0，所以 opoq 综上所述， op oq 14分解法二：设切点 t(x0， y0)，则其切线方程为x0x y0y 2 0，且 x02 y02 2(i) 当 y00 时，则直线 pq 的直线方程为x2或 x 2当 x 2时， p ( 2， 2)， q( 2， 2)因为 op oq 0，所以 op oq当 x2时，同理可得 op oq 10分(ii) 当 y0 0 时，x x y y 20，00消去 y 得 (2x02 y02)x2 8x0x 8

20、 6y02 0由方程组x2y26 1，38x02设 p(x1， x1 20 12 分1)22)，则有 x1228 6y，y，q(x ， y x 2x 222x0 y02x0 y0(2 x0x1)( 2 x0x2) 8(x2 y2所以 opoq x1 21 21 200)1622x y y x x y02y0200(2x y )22因为 x0 y0 2，代入上式可得 op oq 0，所以 op oq综上所述， op oq 14 分.18 (本小题满分16 分 )解： (1)由题意，可得ad 12 千米由题可知 |1216|1，2 分6v4解得 64 v644 分97(2) 解法一：经过t 小时，

21、甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于先乙到达d地，故 16 2，即v 86v分5当 0vt 5，即 0 t 时，f(t) (6t)2 (vt)2 2 6t vt cos dab (v2 485v 36) t2因为 v2 485时， f(t)取最大值，5 v36 0，所以当t v所以 (v248v 36) (5)2 25，解得 v 159 分5v4513当 5vt 13，即 vt v 时，f(t) (vt 16t)2 9 (v6)12 (t)2 9v 6因为 v 8，所以1 5， (v 6) 2 0，所以当 t 13时， f(t)取最大值，v 6vv所以 (v 6) 2 (13 1)2 9 25

22、，解得 39v 3913 分vv 684当 13 vt 16， 13v t 16v时，f(t) (12 6t)2 (16 vt)2，因为 12 6t0， 16 vt0，所以当f(t)在 (131613时， f(t)取最大值，v ， v )递减，所以当t v(12 6 13)2 (16 v13) 2 25，解得 39 v 39vv84因为 v 8，所以8v 3916 分4解法二：设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)由于先乙到达d 地，故 16 2，即 v 86 分v以 a 点为原点， ad 为 x 轴建立直角坐标系，当 0 vt 543时， f( t) ( vt 6t)2 ( vt)

23、255由于 (45vt 6t)2 (35vt)2 25，所以 (45v 6)2 (35v)2 25t2对任意 0 t 5v都成立，.所以 (4v 6)2 (3v)2v2，解得 v 159 分554当 5 vt 13 时， f(t) (vt 1 6t)2 32 由于 (vt1 6t)2 3225，所以 4 vt 1 6t 4 对任意 5t13都成立，vvv6 5，513t即36，对任意 v t v都成立， vtv 65v，所以13解得 39 v 3913 分 3v v 6，8413当 13 vt 16 即13v t 16v，此时 f (t) (12 6t)2 (16 vt)2由及知： 8 v 3

24、9，于是 0 12 6t 1278 12 78 4，4v394又因为 0 16vt3，所以 f (t)(12 6t)2 (16 vt)2 42 32 25 恒成立综上可知8 v3916 分419 (本小题满分16 分 )解：（ 1）当 m1 时， f(x) x3 x2 1 f (x) 3x22x x(3x 2)由 f (x) 0，解得 x 0 或 x 23所以函数f(x)的减区间是 ( ， 0)和 (23， )2 分（ 2）依题意m 0因为 f( x) x3 mx2 m，所以 f (x) 3x2 2mx x(3x2m)由 f (x) 0，得 x 2m或 x 0 32m2m当 0 x 3 时，

25、f (x)0，所以 f(x)在 (0， 3 )上为增函数；当 2mx m 时， f (x) 0，所以 f( x)在 (2m， m)上为减函数；332m44 分所以， f(x)极大值 f()m3 m327当 4m3 mm，即 m3 6， ymax 4 m3m 6 分27227当 4m3 mm，即 0 m 3 6时， ymax m272.4m3 m m36，272综上， ymax 8 分3 6m0 m 2 （ 3）设两切点的横坐标分别是x1， x2则函数 f(x)在这两点的切线的方程分别为y ( x1 3mx12 m) ( 3x1 2 2mx1)(xx1 )，y ( x2 3mx22 m) ( 3

26、x2 2 2mx2)(xx2 )10 分将 (2， t)代入两条切线方程，得t ( x13 mx1 2m) ( 3x12 2mx1)(2 x1)， t ( x23 mx22 m)( 3x22 2mx2)(2 x2)因为函数 f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t ( x3mx2 m) (3x2 2mx)(2 x)有且仅有不相等的两个实根12 分整理得 t 2x3 (6m)x2 4mx m设 h(x) 2x3 (6 m)x2 4mx m， h (x) 6x2 2(6 m)x4m2(3x m)( x 2)当 m 6 时， h (x) 6(x 2)2 0，所以 h(x)单调递增，显然不成立

27、当 m 6 时， h (x) 0，解得 x2 或 xm3列表可判断单调性，可得当x2 或 xm，3h(x)取得极值分别为 h(2) 3m 8，或 h(m12m2 m3)m3273要使得关于x 的方程 t 2x3 (6 m)x2 4mx m 有且仅有两个不相等的实根，则 t3m8，或 t 1 m3 2m2 m14 分273因为 t 0，所以 3m 80，（ * ），或132227m m m 0（ * ）3解（ * ），得 m8，解（ * ），得 m 936或 m9 363因为 m 0，所以 m 的范围为 (0 ，8 9 36， )16 分320 (本小题满分 16 分 )解：（ 1）因为3b1，

28、2b2， b3 成等差数列，3a3d 3(2a d)4a 6d，所以 4b2 3b1b3，即 4 23a34 分解得， d4 由 a b a，n1nn2.(n 1)nd(n 1)a2得 a nda (n 1)d，nn2 n 2a 0，整理得d6 分2a 0，n2 nd8a8a 1 1 d1 1 d8 分解得 n，228a8a8a1 1 d 11 d 11 d由于2 1且2 02因此存在唯一的正整数n，使得 an 1 bnan 210 分a1 (1 qt 1)qt 1 1qr 11btt(1 q)t 2（ 2）因为 br 1r 1)，所以a (1 qr 2t(t 2)r (r 2)r(1 q)q

29、n 1 1设 f(n)， n 2， n n* n(n 2)qn 2 1qn1 1 qn 1( q 1)n2 2(q 2)n 3 2n 3则 f(n 1) f(n)，(n 1)(n 3) n(n2)n(n 1)(n 2)(n 3)因为 q 2， n2，所以 (q221)n 2(q2)n 3 n 3 1 0，所以 f( n1) f(n) 0，即 f(n 1) f(n)，即 f(n)单调递增 12 分所以当 r 2时， t r 2，t1 1r1 1t 1 1r1 1则 f(t) f(r )，即 q q，这与 q q互相矛盾t(t 2)r (r 2)t(t 2)r(r 2)qt 1 1q2 114 分所以 r 1，即3t(t 2)4q222 1t 1 12若 t3，则 f(t) f(3) q 1 1 q 1qqq 1153 5，即，3t(t 2)3t 1 12与qq 13相矛盾t(t2)q3 1q212于是 t2，所以，即 3q5q 5 083又 q 2，所以 q58516 分6.南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2016.05说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比