高等数学 隐函数求导

1、,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,隐函数和参数方程求导,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ),(含导数 的方程),（隐函数的显化）,例1. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例2. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为

2、,即,的一阶导数,确定的隐函数,求由方程,练习：,二阶导数,解: 方程两边对 x 求导，,得,隐函数求高阶导数,法1: 由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导 数的显式继续求导. 法2: 反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.,例3,解,练习 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积 函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导,对数求导法,例4. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两

3、边对 x 求导,1) 对幂指函数,可用对数,说明:,注意:,求导法求导 :,求,的导数 .,解:,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,二、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,例5,解,例6,解,所求切线方程为,?,例7. 设, 且,求,已知,解:,练习:,解

4、:,注意 :,求,例8. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,1. 设,由方程,确定,解:,方程两边对x 求导,得,且 存在，求,思考与练习,解,解得,作业,P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8,第五节,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,思考题,1. 设, 求,解：方程组两边同时对

5、t 求导, 得,2. 设,3. 设,求,提示: 分别用对数求导法求,答案:,练 习 题,一、,填空题：,1,、,设,确定了,y,是,x,的函,数，则,=_,.,2,、,曲线,在点,（,1,，,2,）处的切线方程,是,_.,3,、,曲线,在,处的法线方程,_.,4,、,已知,则,=_,；,=_.,5,、,设,则,=_.,二、,求下列方程所确定的隐函数,y,的二阶导数,：,1,、,；,2,、,；,3,、,.,三、,用对数求导法则求下列函数的导数：,1,、,；,2,、,；,3,、,.,四、,求下列参数方程所确定的函数的二阶导数,：,1,、,；,2,、,设,存在且不为零,.,五、,求由参数方程,所确定的函数的,二阶导数,.,六、设,满足,，求,.,练习题答案,一、,1,、,；,2,、,3,、,；,4,、,；,5,、,.,二、,1,、,；,2,、,-,；,3,、,.,三、,1,、,；,2,、,1,5,3,4,),2,(