数学建模-优化问题.ppt

1、约束优化constrained optimization的简单分类,数学规划mathematical programming 或连续优化continuous optmization,线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数 Linear programming 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 Nonlinear programming 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性 Quadratic programming,一般优化问题概述,整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数 Integer programming 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP

2、) 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) Pure (mixed) Integer programming 一般整数规划，0-1（整数）规划 Zero-one programming,离散优化discrete optimization 或组合优化combinatorial optimization,一般优化问题概述,无约束最优化问题,求解无约束最优化问题的的基本思想,*无约束最优化问题的基本算法,返回,标准形式：,求解无约束最优化问题的基本思想,求解的基本思想 ( 以二元函数为例 ),5,3,1,连续可微,多局部极小,唯一极小 (全局极小),搜索过程,最优点 (1 1) 初始点 (-

3、1 1),-1,1,4.00,-0.79,0.58,3.39,-0.53,0.23,2.60,-0.18,0.00,1.50,0.09,-0.03,0.98,0.37,0.11,0.47,0.59,0.33,0.20,0.80,0.63,0.05,0.95,0.90,0.003,0.99,0.99,1E-4,0.999,0.998,1E-5,0.9997,0.9998,1E-8,返回,无约束优化问题的基本算法,最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接

4、近极值点时，宜选用别种收敛快的算法.,1最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：,2牛顿法算法步骤：,如果f是对称正定矩阵A的二次函数，则用牛顿法经过一次迭代 就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达到极值点， 但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因此牛顿法的收 敛速度还是很快的.,牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求Hessian矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了计算机计算量和存储量.,Matlab优化工具箱简介,1.MATLAB求解优化问题的主要函数,2. 优化函数的输入变量,使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时, 输入变量见下表:,3. 优化函数的输出变量下表:,用

5、Matlab解无约束优化问题,其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。,常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）x，fval= fminbnd（.） （4）x，fval，exitflag= fminbnd（.） （5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（.）,To Matlab(wliti1),主程序为wliti1.m: f=2*

6、exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作图语句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8),例2 对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？,解,先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;,主程序为wliti2.m: x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval,运算结果为: xmax = 0.500

7、0,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.,To Matlab(wliti2),命令格式为: （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）x，fval= fminunc（.）； 或x，fval= fminsearch（.） （4）x，fval，exitflag= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag= fminsearch （5）x，fval

8、，exitflag，output= fminunc（.）； 或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.）,2、多元函数无约束优化问题,标准型为：min F(X),3 fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法， 由options中参数LineSearchType控制： LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合的二次和三 次多项式插值； LineSearchType=cubicpoly，三次多项式插,使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.,说明:,fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc

9、的算法见以下几点说明：,1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制： LargeScale=on(默认值),使用大型算法 LargeScale=off(默认值),使用中型算法,2 fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由 options中的参数HessUpdate控制： HessUpdate=bfgs（默认值），拟牛顿法的BFGS公式； HessUpdate=dfp，拟牛顿法的DFP公式； HessUpdate=steepdesc，最速下降法,例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)

10、*exp(x1),To Matlab(wliti3),1、编写M-文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、输入M文件wliti3.m如下: x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x),3、运行结果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10,To Matlab (wliti31),To Matlab (wliti32),3.用fminsearch函数求解,To Matlab(wliti41),输入

11、命令: f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2; x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, -1.2 2),运行结果: x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1 output = iterations: 108 funcCount: 202 algorithm: Nelder-Mead simplex direct search,4. 用fminunc 函数,To Matlab(wliti44),(1)建立M-文件fun2.m function f=fun2(x) f=100*(x(2)-x

12、(1)2)2+(1-x(1)2,(2)主程序wliti44.m,Rosenbrock函数不同算法的计算结果,可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.,例5 产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.,基本假设,1价格与销量成线性关系,2成本与产量成负指数关系,模型建立,若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280, a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015,c1=20, r2=100,

13、2=0.02,c2=30,则 问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使 总利润z最大.,为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70, 我们把它作为原问题的初始值.,总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2,模型求解,1.建立M-文件fun.m: function f = fun(x) y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp

14、(-0.015*x(1)+20)*x(1); y2=(280-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2); f=-y1-y2;,2.输入命令: x0=50,70; x=fminunc(fun,x0), z=fun(x),3.计算结果: x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003 即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.,To Matlab(wliti5),返回,练习,（1）线性逼近法,基本思想：,将目标函数和约束函数近似为线性函数，转 化为线性规划问题求解，重复这个过程。,步骤：,给定

15、控制误差0，初始可行点xk,初始步长k0,在xk线性化得线性规划问题：,非线性规划有约束问题,求出此线性规划问题得最优解xk1，检验 是否为原问题的的可行解，若是转，否则缩短 步长转；,判断精度。,则取最优解x*=xk+1,停，否则令k=k+1转。,非线性规划有约束问题,（2）罚函数法,转化为无约束最优化问题：,M为足够大的正数。称为罚因子。,算法分析：,设可行域为S，构造函数：,非线性规划有约束问题,求无约束问题得最优解为X(M),直观看出， 只有当X(M) S才可能真正取得极小值，若,就加大罚因子M，使X(M) 向S逼近，,当M时，点列,非线性规划有约束问题,计算步骤：（第k次迭代）,非线

16、性规划有约束问题,有约束问题matlab解法,x,fval = fmincon(myfun,x0,A,b) x,fval = fmincon(myfun,x0,A,b,Aeq,beq) x,fval = fmincon(myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x ,fval= fmincon(myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,comfun) 缺省的用代替myfun与confun是M- 函数的地址具体如:,目标函数： Function f=myfun(x) 非线性约束： function c, ceq = confun(x) %Nonlinear inequa

17、lity constraints c = c1(x);c2(x);.; %Nonlinear equality constraints ceq = ceq1(x); ceq2(x);.;,M-函数,1先建立M文件 fun4.m,定义目标函数: function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0,例3,2再建立M文件mycon.m定义非线性约束： function g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2)

18、;1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;,例4,1先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);,2再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;,应用实例： 供应与选址,某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：千米 ）及水泥日用量d(吨)由下表给出。目前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场到工地之间均有直线道

19、路相连。 （1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨千米数最小。 （2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量各为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？,（一）、建立模型,记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为di，i=1,6;料场位置为(xj，yj)，日储量为ej，j=1,2；从料场j向工地i的运送量为Xij。,当用临时料场时决策变量为：Xij， 当不用临时料场时决策变量为：Xij，xj，yj。,（二）使用临时料场的情形,使用两个临时料场A(5,1)，B(2,7).求从料场j向工地i的运送量为Xij，在各工地用量必须

20、满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，这是线性规划问题. 线性规划模型为：,设X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6 X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11, X62= X 12 编写程序gying1.m,MATLAB（gying1）,计算结果为：,x = 3.0000 5.0000 0.0000 7.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 6.0000 10.0000 fval =

21、136.2275,（三）改建两个新料场的情形,改建两个新料场，要同时确定料场的位置(xj,yj)和运送量Xij，在同样条件下使总吨千米数最小。这是非线性规划问题。非线性规划模型为：,设 X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6 X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11, X62= X 12 x1=X13, y1=X14, x2=X15, y2=X16,（1）先编写M文件liaoch.m定义目标函数。,MATLAB（liaoch）,(2) 取初值为线性规划的计算结果及临时料场的坐标: x0=3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7; 编写主程序gying2.m.,MATLAB（gying2）,(3) 计算结果为：,x= 3.0000 5.