函数的连续性优质课教案

1、.课题： 2.5 函数的连续性教学目的：1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.2.要会说明函数在一点不连续的理由.3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理授课类型：新授课课时安排： 1 课时教学过程：一、复习引入：limf (x) alim f ( x)lim f (x)ax x0x xx x01.0lim f ( x) a表示当 x 从左侧趋近于lim f ( x)ax0 时其中 xx0x0 时的左极限， x x

2、0表示当 x 从右侧趋近于的右极限2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的 .而数列的定义域是自然数集， 是一个一个离散的点 .而在我们日常生活中，也会碰到这种情况 .比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方： 20 克以内是8 毛钱邮票， 21 克30 克是 1 元， 31 克40 克是 1.2 元 )等等 .这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题二、讲解新课：1.观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一

3、点x=x0 处连续，就是说图象在点 x=x0 处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0 处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x0 是否连续 .第二，在 x0 是否有极限，若有与f(x0) 的值关系如何：图 (1)，函数在x0连续，在 x0处有极限，并且极限就等于f(x0).图 (2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0) ，因为函数在x0 处没有定义 .图 (3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限 .图 (4)，函数在x0处不连续，在x0 处有极限，但极限不等于f(x0) 的值 .函数在点 x=x0 处要有定义，是根据图(2

4、) 得到的，根据图(3)，函数在 x=x0 处要有极限，根据图(4)，函数在 x=x0 处的极限要等于函数在x=x0 处的函数值即f(x0).函数在一点连续必须满足刚才的三个条件.函数 f(x) 在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件.lim(1)函数 f(x) 在点 x=x0 处有定义； (2) xx0 f(x) 存在；lim(3) xx0 f(x)=f(x0) ，即函数 f(x) 在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x) 在点 x0 处不连续 .那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义limlim2. 函数在一点连续的定

5、义: 如果函数 f(x) 在点 x=x0 处有定义， xx0 f(x) 存在，且 xx0f(x)=f(x0)，那么函数 f(x) 在点 x=x0 处连续 .limlim由第三个条件，x x0 f(x)=f(x0) 就可以知道 x x0f(x) 是存在的， 所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f(x) 在点 x0 处连续的定义 .如果函数 y=f(x) 在点 x=x0lim，就说函数 f(x) 在点 x0 处连续 .处及其附近有定义，并且x x0 f(x)=f(x0)那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a，b)内连续的定义区间是由点构成的，只要函数 f(x) 在开区间内的每一个点都连

6、续，那么它在开区间内也就连续了.3.函数 f(x) 在 (a， b)内连续的定义：如果函数 f(x) 在某一开区间 (a， b)内每一点处连续，就说函数f(x) 在开区间 (a，b)内连续，或 f(x) 是开区间 (a， b)内的连续函数 .f(x) 在开区间 (a，b)内的每一点以及在a、b 两点都连续，现在函数f(x) 的定义域是 a，b，若在 a 点连续，则 f(x) 在 a 点的极限存在并且等于f(a) ，即在 a 点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x) 在 (a，b)内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f(a)，在 b 点处左极限存在等于 f(b).4.函数 f(x

7、) 在 a， b上连续的定义：limlim如果 f(x) 在开区间 (a，b)内连续，在左端点 x=a 处有 x a f(x)=f(a)，在右端点 x=b 处有 x b f(x)=f(b), 就说函数 f(x) 在闭区间 a，b上连续 ,或 f(x) 是闭区间 a， b上的连续函数.如果函数 f(x) 在闭区间 a， b上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.我们来看这张图，它是连续的，在a、 b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在 x1 这点最高；那么它的函数值最大，就是说a，b区间上的各个点的值都不大于x1 处的值，用数学语言表示就是f(x1) f(x) ，x

8、 a， b，同理，设x2 是最低点， f(x2) f(x) ， x a， b .5.最大值f(x) 是闭区间 a， b上的连续函数，如果对于任意x a，b，f(x1) f(x) ，那么 f(x) 在点x1 处有最大值f(x1).6.最小值f(x) 是闭区间 a， b上的连续函数，如果对于任意x a，b，f(x2) f(x) ，那么 f(x) 在点x2 处有最小值f(x2).由图我们可以知道，函数f(x) 在 a，b上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个.性质 .最大，最小值可以在(a，b) 内的点取到，也可以在a， b 两个端点上取到.7.最大值最小值定理如果 f(x) 是闭区

9、间 a， b上的连续函数，那么f(x) 在闭区间 a， b上有最大值和最小值我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的三、讲解范例：例 1 讨论下列函数在给定点处的连续性.1(1)f(x)= x ，点 x=0.(2)g(x)=sinx ，点 x=0.分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0 处函数连续的情况，11函数 f(x)=x 在点 x=0 处不连续，因为函数f(x)= x 在点 x=0 处没有定义 .limlim函数 g(x)=sinx 在点 x=0 处连续，因为函数 g(x)=sinx ，在 x=0 及附近都有定义， x 0sinx 存在且 x 0 sinx=0而 sin0=0.1解： (1)函数 f(x)= x 在点 x=0 处没有定义它在点 x=0 处不连续 .lim解： (2) n0 sinx=0=sin0 ，函数 g(x)=sinx 在点 x=0 处是连续的 .点评：写 g(x)=sinx 在点 x=0 处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了四、课堂练习：p104 1,2五、小结 ：这节课