电磁场与电磁波课件之镜像法.ppt

1、1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,一. 接地导体平面的镜像,上半场域边值问题,(导板及无穷远处),(S为包围q的闭合面),(除q所在点外的区域),导体表面上感应电荷,由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。,电场线与等位面的分布电偶极子的上半部分完全相同。,电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。,可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。,根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。,半空间等效：上述等效

2、性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。,例 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。,解: 设点电荷 离地面高度为h,方向指向地面,整个地面上感应电荷的总量,例 真空中，电量为 的点电荷位于点 处， 平面是一个无限大的接地导体板。求 轴上电位为 的点的坐标；计算该点的电场强度。,解: 根据镜像法可知上半空间的电位,由,可解得,将 代入，得, 当 时， 轴上的电场强度,将 代入，得,当 时， 轴上的电场强度,2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像,在 的上半空间中，电位函数为,沿 轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方,其镜像电荷仍是无限长线电

3、荷,3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀，由个点电荷所引起的。,半无限大导体平面形成劈形边界。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。,若两导体平面相交成 角,， 为整数,为 个,只要,就可用镜像法求解，,其镜像电荷数为有限的，,例 线电荷密度为 的无限长直导线位于无限大导体平板（ 处）的上方 处，沿 轴方向。试求该导体板上的点 处的感应电荷密度。,解: 去掉导体平板，在 处放置线电荷密度为 的镜像线电荷替代其作用。,P点电

4、场强度为,P点处的感应电荷面密度则为,1. 点电荷对接地导体球面的镜像,二. 导体球面的镜像,设点电荷 位于一个半径为 的接地导体球外，与球心距离为 。,导体球面将产生感应电荷，导体球外的电位应由点电荷 和感应电荷共同产生。这类问题可用镜像法求解。,把导体球面移去，用一个镜像电荷来等效球面上的感应电荷。,为了不改变球面上的电荷分布，镜像电荷必须放置在导体球面内。,由于对称性镜像电荷应位于球心与点电荷 的连线上。,设镜像电荷 ，与球心距离为 。,任一点电位函数为,导体球接地,有,解得,（舍去）,由惟一性定理，球外的电位函数为,球面上的感应电荷面密度为,导体球面上的总感应电荷为,当点电荷 位于接地

5、导体球内，与球心距离为 （ ）。,镜像电荷应放置在球外，且在球心与点电荷 的连线的延长线上。,设镜像电荷 ，与球心距离为 。,可得,由于 ，所以必有 。,即在这种情况下，镜像电荷的电荷量大于点电荷 的电荷量。,球壳外的电位 ，球壳内的电位函数为,球面上的感应电荷面密度为,导体球面上的总感应电荷为,这种情况下，镜像电荷并不等于感应电荷。,2. 点电荷对不接地导体球面的镜像,设点电荷 位于一个半径为 的不接地导体球外，与球心距离为 。,注意到：导体球面是一个电位不为零的等位面；,由于导体球未接地，在点电荷的作用下，球面上总的感应电荷为零。,可用镜像法计算球外的电位函数。,分析：先设想导体球接地，情

6、况如前。,点电荷 和镜像电荷 使导体球的电位为零，不符电位条件，球面上总感应电荷也不为零。,再断开接地线，并将电荷 加于导体球上，球面感应电荷为零。且使 在球面上均匀分布，保证为导体球面为等位面。这样电荷 可用一个位于球心的镜像电荷 来替代。,球外任一点电位函数为,点电荷位于不接地导体球附近的场图,三. 导体圆柱面的镜像,1. 线电荷对导体圆柱面的镜像,一根线电荷密度为 的无限长线电荷位于半径为 的无限长接地导体圆柱面外，且与圆柱轴线平行，线电荷到轴线的距离为 。,为使导体圆柱面成为电位为零的等位面，镜像电荷应是位于圆柱面内部且与轴线平行的无限长线电荷。,设镜像线电荷密度为 ，由于对称性其必定

7、位于线电荷 与圆柱轴线所决定的平面上，设镜像电荷 距圆柱的轴线为 。,对任意 都成立，再对 求导，可得,有,解得,（舍去）,由惟一性定理，导体圆柱面外的电位函数为,由 得,导体圆柱面上的感应电荷面密度为,导体圆柱面上单位长度的总感应电荷为,即，导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。,由于电场相互影响，导致导体表面电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度较大，而相背的一侧电荷密度较小。,2. 两平行圆柱导体的电轴,应用线电荷对接地导体圆柱面的镜像法，分析两半径相同、带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱周围的电场问题。,两半径都为 的平行导体圆柱，轴线间距为 ，单位长度分别带电荷 和 。,

8、带电细导线所在的位置称为带电圆柱导体的电轴，这种方法又称电轴法。,设想：将两导体圆柱撤去，其表面电荷用线密度分别为 和 、且相距为 的两根无限长带电细线来替代。,实际是将 和 看成是互为镜像。,电轴的位置,解得,导体圆柱外空间任一点的电位函数（为线电荷密度分别为 和 的两平行双线产生的电位叠加）,电轴法的基本原理也可以应用到两个带有等量异号电荷但不同半径的平行无限长圆柱导体间的电位函数的求解问题。,四. 介质平面的镜像,1. 点电荷对电介质分界平面的镜像,含有无限大介质分界平面的问题，也可采用镜像法求解。,在计算电介质1中的电位时，用置于介质2中的镜像电荷 来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质。,在计算电介质2中的电位时，用置于介质1中的镜像电荷 来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质。,空间任意一点的电位函数为,和 的量值，由边界条件确定,得,解得,点电荷 位于不同介质平面上方的场图,2. 线电荷对磁介质分界平面的镜像,在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流 来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质。,在计算磁介质2中的磁场时，用置于介