《线性代数》电子教程之十四.ppt

1、1,线 性 代 数 电子教案之十四,2,主要内容,第十四讲 二次型,二次型的概念，二次型的秩，二次型的矩阵 表示式等概念；,二次型的标准形，合同矩阵，用正交变换将 二次型化为标准形的方法和步骤；,配方法化二次型为标准形的方法，惯性定理；,二次型的正定性，正定二次型的性质与判别法.,3,基本要求,熟悉二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩， 掌握用正交变换把二次型化为标准形的方法；,会用配方法化二次型为标准形(规范形)，知道 惯性定理.,知道二次型的正定性及其判别法.,4,一、二次型的概念,第五节 二次型及其标准形,1. 概念的引入,5,2. 二次型的定义,定义 含有个变量 的二次齐次函数,称为二次

2、型.,当系数 为复数时， 称为复二次型；当系,数 为实数时， 称为实二次型.,6,3. 二次型的矩阵表示式,令 ，则,于是,7,8,记,9,则,其中 为对称阵： .,二次型的矩阵表示式,说明,对称阵与二次型一一对应；,若 ，,二次型的矩阵 满足：, 的对角元 是 的系数；, 的 元是 系数的一半.,则对称阵 称为 二次型 的矩阵；二次型 称为对称阵 的 二次型；,10,例如 二次型,的矩阵为,于是,11,二、二次型的标准形概念,二次型研究的主要问题是：,寻找可逆变换 ，使,这种只含平方项的二次型称为二次型的标 准形(法式).,特别地，如果标准形中的系数 只在 三个数中取值，那么这个标准形称为二

3、次型 的规范形.,标准形的矩阵是对角阵.,12,三、化二次型为标准型,1. 经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：,因为有,所以 与 的关系为：,13,2. 矩阵的合同关系,定义 设 和 是 阶矩阵，,若有可逆矩阵 ， 使,则称矩阵 与 合同.,说明,合同关系是一个等价关系.,设 与 合同，若 是对称阵，则 也对称阵.,对称阵一定合同相似与一个对角阵.,若 与 合同，则 .,经可逆变换 后，二次型的矩阵由 变 为与 合同的矩阵 , 且二次型的秩不变.,14,3. 化二次型为标准形,相当于对对称阵 作合同变换；,即寻找可逆阵 , 使 .,定理8 任给二次型 , 总,其中 是 的矩阵 的特征值.,

4、即任何二次型都可用正交变换化为标准形.,存在正交变换 ，使 化为标准形,15,推论 任给二次型 ，总,有可逆变换 ，使 为规范形.,即任何二次型都可用可逆变换化为标准形.,4. 用正交变换化二次型为标准形的步骤：,证明, 写出二次型的矩阵 ；, 求出 的特征值；, 求出 的两两正交的单位特征向量；, 用 表示在中求得的特征向量构成的矩 阵，写出所求的正交变换 和二次型 的标准型.,16,例1 已知二次型,用正交变换把二次型 化为标准形，并写出相 应的正交矩阵.,解 析：此题是一道典型例题. 目的是熟悉用正 交变换化二次型为标准形的“标准程序”., 写出二次型对应的矩阵,二次型 对应的矩阵为,1

5、7, 求 的特征值,由 ，求得 的特征值为,例1解答,18, 求 的两两正交的单位特征向量,例1解答,对应 ，解方程 ，由,得基础解系为,将其单位化，得,19,例1解答,对应 ，解方程 ，由,得基础解系为,将其单位化，得,20,例1解答,对应 ，解方程 ，由,得基础解系为,将其单位化，得,21,例1解答, 写出正交矩阵和二次型的标准形,令矩阵,则 为正交阵，于是，经正交变换,原二次型化为标准形,22,例2 已知二次型,的秩为2., 求参数 以及此二次型对应矩阵的特征值；, 指出 表示何种曲面.,解, 二次型 的矩阵,因为 的秩为2，,所以 的秩也为2，因而,23,例2解答,当 时， 的特征多项

6、式为,24,例2解答,于是， 的特征值为, 由定理8知，必存在正交变换,其中 为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型,于是，曲面,这表示准线是 平面上椭圆、母线平行于 轴的椭圆柱面.,在新变量 下称为标准形,25,26,一、情形1,第六节 配方法,例3 用拉格朗日配方法化二次型,成标准形，并求所用的变换矩阵.,解,27,用到的线性变换为,即,用到的线性变换为,即,28,29,所用的变换矩阵为,于是， 的标准形为,30,二、情形2,例4 用拉格朗日配方法化二次型,成规范形，并求所用的变换矩阵.,解,先用下面可逆变换，使二次型中,即,31,用到的线性变换为,即,32,用到的线性变换为,即,33,34

7、,35,于是，,36,于是，,所用的变换矩阵为,因此， 的规范形为,37,三、惯性定理,设有二次型 ，它,的秩为 ，有两个可逆变换,及,使,及,则,正数的个数相等.,中正数的个数与,中,38,说明,二次型的标准形正系数的个数称为二次型的,负系数的个数称为负惯性指数.,正惯性指数；,若二次型 的正惯性指数为 ，秩为 ，则,的规范形变可确定为,只有用正交变换把二次型化为标准形，标准 形的系数才是二次型矩阵的特征值.,39,例5 下列矩阵中，与矩阵,合同的矩阵是哪一个？为什么？,40,解 析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性 定理解题.,容易求得 的特征值 ，,于是可知， 所对应的二次型的正惯性指数

8、,为 ；负惯性指数为 .,合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，,故选(B).,应选(B)，理由是:,41,一、正定二次型的概念,第七节 正定二次型,定义 设有二次型 ，, 如果对任何 ，都有, 如果对任何 ，都有 ，则称 为负定二次型，并称对称阵 是负定的；,阵 是正定的；,(显然,0 )，,则称 为正定二次型，,并称对称,42,说明,按定义，当变量取不全为零的值时，二次型 若是正定 ( ) 二次型，则它的对应值总是 正数 ( ) .,负定,负数,若 是正定二次型，则,就是负定二次型.,43,二、正定二次型的性质与判别法,定理10 二次型 为正定的充要条件,是：它的标准形的 个系数全为正数，

9、即它的,正惯性指数等于 .,推论1 正定二次型 (正定矩阵) 的秩为 .,推论2 对称阵 为正定矩阵的充要条件是：,的特征值全为正.,证明,44,定理11 (霍尔维茨定理), 对称阵 为正定的充要条件是： 的各阶 主子式都为正. 即, 对称阵 为负定的充要条件是： 的奇数 阶主子式为负，偶数阶主子式为正. 即,45,正定,的正惯性指数,的 个特征值全为正,的规范形为,合同于单位阵,可逆,的各阶主子式全为正,证明,46,例6 判定二次型,的正定性.,解 析：此题的目的是熟悉定理11，用定理11 判定二次型的正定性.,的矩阵为,1 阶主子式：,2 阶主子式：,47,3 阶主子式：,根据定理11知，

10、,为负定.,48,三、本讲小结,个变量的二次齐次函数称为二次型.,只含平方项的二次型称为二次型的标准形，,将二次型化为标准形相当于把二次型的矩阵 合同对角化.,对于任何一个二次型一定存在正交变换将它 化为标准形.,配方法是化二次型成标准形(或规范形)的一 种较方便的方法；惯性定理.,如果 ，总有 (或 )，则称 二次型 是正定(或负定)的，并称 的矩阵 是正定(或负定)的.,49,矩阵的三大关系：, 它们的定义,存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使,存在可逆阵 ，使,存在正交阵 ，使,存在可逆阵 ，使,等价、相似(正交相似) 、合同,50, 关系不变量,等价关系的不变量：,相似关系的不变量：,秩，即, 秩，即, 特征多项式，即, 特征值.,合同关系的不变量：, 秩，即, 对称性，即若 是对称阵，则 也是 对称阵；, 对称阵 对应的二次型的正惯性指 数和负惯性指数；, 对称阵 对应的二次型的规范形.,51,作业：,P140 25. 26. 27.(1) 31. 32.,52,定理8推论的证明,证 设有二次型,由定理8知，存在正交变换 ，使,设二次型 的秩为 ，则特征值 中恰有 个 不为0，不妨设 不等于0，,于是，令,其中,则 可逆，且变换 把 化为,53,记 ，,则可逆变换 能把 化为规范形,证