医用高等数学课件：微分方程在医学上的应用

1、医用高等数学,”,第五节 微分方程在医学上的应用,一、细菌的繁殖,二、药物动力学模型,三、流行病数学模型,随着整个科学技术的数学化，现代医学也加快了向数学化发展的速度.普遍地、有效地应用数学方法来解决医学科研中的问题，提示其中的数量规律性，已成为现代医学发展的潮流.这种提示医学问题中各变量之间关系的解析式，称为数学模型.而微分方程是建立数学模型时应用得最为广泛的工具之一.下面我们举几个例子，初步说明现代医学定量分析研究的方法和一些途径.,在例5.1中曾提到过“理想环境”中的细菌增殖模型.所谓理想环境是指所论及的系统满足三个条件:,一、细菌的繁殖,(3)温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜.因此

2、“理想环境”至多只是实验室内人为制造的环境.自然环境中的空间和资源总是有限度的.,(1)没有由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外迁出等情况;,(2)系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制;,实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处的环境的影响：当资源丰富、生存条件较好时，出生率增加，死亡率减少；当该生物总数过多资源供不应求时，出生率减少而死亡率增加.,现假定出生率p和死亡率q都是生物总数x的函数,即,所以有,称为相对增殖速率.,解: 将检验人员测得的关于相对增殖速率的关系式进行分离变量，得,即,例5-17 检验人员对某蓄水池定期抽取单位容积水样观察,测得该水池中大肠杆菌的相对增殖速率为,其

3、中 、 均为正数.试分析该水池中大肠杆菌的繁殖规律.,两边积分，得,整理，得,设初次取样时 ,测得 将此初始值代入上式,则可解得,所以,分析:,上式称为自然生长方程，也称 logistic方程，它对表达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义.式中的图形为S形曲线，称为logistic曲线。,解得,是该蓄水池中大 肠杆菌密度的极限值.,二、药物动力学模型,药物动力学是一门研究药物、毒物及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄过程定量规律的科学.这里仅以最简单的一室模型为例,说明微分方程在这方面的应用.,例5-18 假定药物以恒定的速率 进行静脉滴注，试求体内药量随时间的变化规律.,解 把机体设

4、想为一个同质单元,并假定药物在体内按一级速率过程消除,消除的速率常数为 .这样的一室模型如图所示.,设静脉滴 时刻体内的药量为 ,则有以下数学模型：,分析:,药量在静脉注射后随时间上升,经过相当长的时间 后,体内的药量将趋于一个稳定的水平 .而且静脉滴 注的速率越大,最后体内药量的稳定水平就越高.,三、流行病数学模型,这里举一个最简单的一类流行病模型-无移除的流行病模型.这类模型假定:,（1）感染通过一个团体内成员之间的接触而传播,感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；,（2）团体是封闭的,总人数为N,开始时不妨只有一个感染者；,（3）团体中各成员之间的接触机会均等,因此易感者转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比.,记时刻t的易感人数为S,感染人数为I,根据以上假设可以建立以下的微分方程,其中,分离变量并积分得,即,根据初始条件得,所以,整理后得,描述了易感人数随时间变化的动