医用高等数学课件：3 导数与微分

1、,第三章 导数与微分,学习内容,导数的概念,导数的性质,求导法则,微分,应用,从切线（tangent line）说起,问题：计算函数在点处的切线斜率。,从切线（tangent line）说起,从切线（tangent line）说起,解决方案：以过点，及曲线上另一点的直线斜率逼近点处的切线斜率。,从切线（tangent line）说起,函数在点处存在切线，当且仅当存在，且切线斜率为。,例题：计算抛物线在点处的切线方程。,1. 先计算切线斜率（slope）,2. 由点斜式方程得,观察函数在点处的曲线,观察函数在点处的曲线,观察函数在点处的曲线,一般情况下，若在处的曲线存在切线，设其斜率为，则有,例

2、题：计算在点处的切线方程。,应用前面的公式，计算切线斜率,例题：计算在点处的切线方程。,速度（velocity）,平均速度（average velocity）,瞬时（instantaneous）速度,函数表示时刻物体在数轴上的位置，则在时刻物体的瞬时速度满足,导数（derivative）的定义,导数（derivative）的定义,函数 在存在导数，是指下面的极限存在,导数（derivative）的定义,由前面的定义可知，导数是一个极限，还可记作,导数（derivative）的定义,导数的记法有多种，各有优点及应用场景。如下所示,导数（derivative）的定义,其中被称为微分算子 (diff

3、erentiation operators),应理解为，即微分算子 作用在函数上。,导数（derivative）的定义,因此,函数在处的导数记作,导数（derivative）的定义,函数在处可导当且仅当存在。在区间或 或或上可导，当且仅当其在区间的每个点都可导。,例1. 函数何时可导，并求其导数。,分区间讨论,1. 当时，我们有,例1. 函数何时可导，并求其导数。,2. 当时，我们有,分区间讨论,例1. 函数何时可导，并求其导数。,3. 当时，若有，则应满足,例1. 函数何时可导，并求其导数。,分别计算在的左右极限，得到 易见左右极限不相等，故在处不存在导数。,在处不存在导数。,定理1. 函数

4、在处可导，则在处连续（反之不然）。,证明：,所以：,在处连续,思考：函数何时不可导？,分析：若函数在处不可导，即说明 不成立。,左右导数 不相等,不连续,导数为无穷,情形1. 左右导数存在，但不相等。尖锐点,情形2. 函数在处不连续。间断点,情形3. 导数为,求 导 法 则,1. 常数函数,求 导 法 则,2. 幂函数,幂函数的导数为,求 导 法 则,2. 幂函数,例题：计算的导数。,解：应用导数公式，有,求 导 法 则,2. 幂函数,例题：计算的导数。,解：应用导数公式，有,求 导 法 则,3. 指数函数,导数公式：,求 导 法 则,3. 指数函数,例题：计算的导数。,解：,求 导 法 则,

5、4. 对数函数,例题：计算的导数。,求 导 法 则,5. 三角函数,求 导 法 则,4. 三角函数,另一种记法：,导数的四则运算法则,前提：为可导函数。,1. 2. 3. 4.,导数的四则运算法则,证明：,证：设,导数的四则运算法则,证明：,由 有,导数的四则运算法则,证明：,其中：,导数的四则运算法则,证明：,导数的四则运算法则,证明：,导数的四则运算法则,例题：计算函数的导数 。,导数的四则运算法则,例题：计算的导数 。,导数的四则运算法则,例题：计算的导数 。,三角函数的导数公式,导数的四则运算法则,例题：计算的导数 ，在哪些点上。,一天，有个年轻人来到鞋店里买了一双鞋子。这双鞋子的成本

6、是15元，标价是21元。这个年轻人掏出50元买这双鞋。鞋店当时没有零钱，用那50元向街坊换了50元零钱，找给年轻人29元。但是街坊后来发现那50元是假的，鞋店无奈之下，还了街坊50元。 问鞋店损失了多少钱？,一道小题,链锁法则（chain rule）,链锁法则（chain rule）,大致过程，非严格证明,链锁法则（chain rule）,这里的点象链条的一节， 将2个导数相乘（连接起来）,链锁法则（chain rule）,例题：计算的导数,解：先将函数分解为基本初等函数的复合 所以：,链锁法则（chain rule）,例题：计算和的导数,链锁法则（chain rule）,例题：计算的导数,解

7、：分解为：,链锁法则（chain rule）,例题：计算的导数,解：分解为：,用链锁法则求反函数的导数,例题：计算的导数。,解： 等价于 ，对后者等式两边求关于变量的导数。,用链锁法则求反函数的导数,例题：计算的导数。,所以：,用链锁法则求反函数的导数,例题：计算的导数。,解： 等价于 ，对后者等式两边求关于变量的导数。,用链锁法则求反函数的导数,例题：计算的导数。,所以：,用链锁法则求反函数的导数,链锁法则的应用,对数求导法 多项相乘或相除复合根式的情况,例题：计算下面函数的导数。,链锁法则的应用,对原式两边取对数，得到 对等式两边求关于的导数 两边同乘以即得。,链锁法则的应用,隐函数的导数,例题：求方程中关于的导数。 解：对等式两边求关于的导数，得到 有,例题：计算的导数,例题：计算的导数,高 阶 导 数,若的导函数仍是可导的，则有的二阶导数。 记作：,高 阶 导 数,三阶导数： 四阶导数： 阶导数：,高阶导数的意义,设，其中为时间，为距离，则,1. 表示 瞬时速度。,2. 表示 加速度。,函数的各阶导数及其图像,例1. 一把长为10m的梯子，靠在垂直地面